¡Descarga Relacion 5 y más Apuntes en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity!
Matem´aticas (G.A.D.E.)
Curso 2014/
Relaci´on de Ejercicios del Tema 5
- Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y de concavidad y convexidad, de las siguientes funciones: (a) f (x) = x^2 + x + 1 (b) f (x) = x^5 − x^3 (c) f (x) = x^3 + x + 1 Soluci´on:
(a) f es estrictamente decreciente en (−∞, − 12 ), f es estrictamente creciente en (− 12 , +∞). f es convexa en R. (b) f es estrictamente creciente en (−∞, −
5 ) y (
5 ,^ +∞),^ f^ es estrictamente decreciente en (−
f es c´oncava en (−∞, −
103 ) y (0,
103 ),^ f^ es convexa en (−
103 ,^ 0) y (
103 ,^ +∞).
(c) f es creciente en R. f es c´oncava en (−∞, 0), f es convexa en (0, +∞).
- Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funci´on f (x) = (48 − 6 x)ex.
Soluci´on: f (x) es creciente en (−∞, 7), f (x) es decreciente en (7, +∞).
- Considera la funci´on f : [0, 10] −→ R definida por
f (x) =
x^2 − 6 x + 8, si 0 ≤ x < 5 | 8 − x|, si 5 ≤ x ≤ 10 (a) Estudia la continuidad y derivabilidad de f. (b) Estudia el crecimiento y decrecimiento de f y halla sus extremos relativos y absolutos. (c) Determina el conjunto imagen de f. Soluci´on:
(a) f es continua en [0, 10]. f es derivable en (0, 10) − { 5 , 8 }. (b) f es estrictamente creciente en (3, 5) y (8, 10), f es estrictamente decreciente en (0, 3) y (5, 8). M´ınimos relativos en x = 3 y x = 8. M´aximos relativos en x = 0, x = 5 y x = 10. M´ınimo absoluto en x = 3. M´aximo absoluto en x = 0. (c) Im(f ) = [− 1 , 8].
- Halla los extremos absolutos de las siguientes funciones: (a) f : [1, 4] → R, definida por f (x) = − 3 x + 2. (b) f : [1, 4] → R, definida por f (x) = x^2 − 4 x + 3. (c) f : [1, 4] → R, definida por f (x) = −x^2 + 4x − 3. (d) f : [1, 4] → R, definida por f (x) = x^3 − 6 x^2 + 9x. (e) f : [1, 4] → R, definida por f (x) = e−x. (f) f : (1, 4) → R, definida por f (x) = − 3 x + 2. (g) f : (1, 4) → R, definida por f (x) = x^2 − 4 x + 3. Soluci´on:
(a) M´ınimo en x = 4, m´aximo en x = 1. (b) M´ınimo en x = 2, m´aximo en x = 4. (c) M´ınimo en x = 4, m´aximo en x = 2. (d) M´ınimo en x = 3, m´aximo en x = 1 y x = 4. (e) M´ınimo en x = 4, m´aximo en x = 1. (f) No hay m´aximo ni m´ınimo. (g) M´ınimo en x = 2, no hay m´aximo.
- Calcula el m´aximo valor que alcanza la funci´on f (x) = 2x^3 + 3x^2 − 12 x + 6 en el intervalo [− 1 , 2].
Soluci´on: 19
- Calcula el m´aximo valor que alcanza la funci´on f (x) = (^200) x + x^2 en el intervalo (0, +∞).
Soluci´on: No alcanza un valor m´aximo, pues el valor de la funci´on se acerca a +∞ todo lo que queramos.
- Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y de concavidad y convexidad, de la funci´on:
f (x) = e−x^2
Soluci´on: f es estrictamente creciente en (−∞, 0) f es estrictamente decreciente en (0, +∞) f es convexa en (−∞, −
(^12) ) y en (
f es c´oncava en (−
- Calcula el punto de inflexi´on que tiene la funci´on f (x) = (2x − 5)e^2 x.
Soluci´on: x = (^32)
- Considera la funci´on f : [− 12 , 1] → R definida por
f (x) =
{ (^) a + b log(1 − x), si − 1 c^2 ≤^ x <^0 x+1 ,^ si 0^ ≤^ x^ ≤^1 (a) Estudia la continuidad y derivabilidad de f en funci´on de los par´ametros a, b y c. (b) Para los valores a = b = c = 1: (1) ¿Satisface f las hip´otesis del Teorema de Bolzano? (2) ¿Tiene f m´aximos y m´ınimos absolutos? ¿Cu´ales son? (3) Determine los intervalos en los que f es c´oncava y convexa.
Soluci´on: (a) f es continua si a = c. f es derivable si b = c. (b)(1) f no verifica las hip´otesis del Teorema de Bolzano. (b)(2) f tiene el m´aximo en x = − 12 y el m´ınimo en x = 1. (b)(3) f es c´oncava en (− 12 , 0), f es convexa en (0, 1).
Soluci´on:
(a) B(q) = 3q^4 − 200 q^3 + 3600q^2 − 100 (b) El beneficio m´aximo es 319900 y se obtiene para q = 20 yates.
- Dada la funci´on de beneficio B(q) = − 2 q^3 + 21q^2 − 72 q + 87, calcula el m´aximo beneficio en el intervalo q ∈ [2, 5]. Soluci´on: 11
- Dada la funci´on de beneficio B(q) = 2q^3 − 27 q^2 + 84q + 6, calcula el m´aximo beneficio en el intervalo q ∈ [1, 8]. Soluci´on: 82
- Se considera la funci´on: f (x) = ex−^1 + e^1 −x a) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f (x). b) Calcula f (1) y determina si la funci´on corta al eje X en alg´un punto. c) Determina el dominio de la funci´on g(x) = ln(f (x)). d) Calcula, si existe, (^) x→lim+∞ g(x).
Soluci´on:
a) Decreciente en (−∞, 1). Creciente en (1, +∞). b) f (1) = 2. No corta al eje X en ning´un punto. c) Dom(g) = R. d) (^) x→lim+∞ g(x) = +∞.
- La empresa NewSur pretende editar una revista y ha realizado un estudio de mercado. En la siguiente tabla se relacionan el precio de venta de la revista con el n´umero de ventas potenciales: precio (p) 15 20 25 30 n´umero de ejemplares (q) 2020 2000 1980 1960 mientras que el coste medio por unidad es
CM (q) = 15 +^190000 q
donde q representa el n´umero de ejemplares editados (la tirada). a) Determina la ecuaci´on de demanda de la revista suponiendo que la relaci´on entre precio y cantidad es lineal: p = a + bq b) Calcula la funci´on de beneficios de la empresa en funci´on de la cantidad q de ejemplares editados. c) Determina el umbral de rentabilidad de la funci´on de beneficios de la revista. d) ¿Cu´al es el precio de venta p con el que se consigue el m´aximo beneficio?
Soluci´on:
a) p = 520 − 14 q. b) B(q) = − 14 q^2 + 505q − 190000. c) Tiene dos umbrales de rentabilidad: q = 500 y q = 1520.
d) p = 5352 = 267.5.
- Una empresa que produce y comercializa un producto exclusivo de lujo. tiene los siguientes datos sobre el precio de venta y la cantidad demandada: precio (p) cantidad demandada (q) 9100 30 7500 50 3600 80
Se supone que la funci´on de costes totales es lineal: C(q) = r q + Cf. (a) Determina la ecuaci´on de la demanda p = D(q) que interpola esos datos. (b) Determina cu´al debe ser el coste por unidad r para que el beneficio m´aximo se alcance para una producci´on q = 55. (c) Si los costes fijos son Cf = 20000, calcula de manera aproximada un umbral de ganancias (al menos la parte entera).
Soluci´on:
(a) p = 10000 − q^2. (b) r = 925. (c) Hay dos umbrales de ganancias. Puedes encontrar cualquiera de ellos. El primero se encuentra en el intervalo (2, 3), as´ı que su parte entera es 2. El segundo en el intervalo (94, 95), as´ı que su parte entera es 94.
- La funci´on de beneficio marginal para un producto en un mercado es
(q − a)e−bq^ , donde q es la cantidad producida y a > 0. Se sabe que:
- La funci´on de beneficio tiene un punto cr´ıtico en el punto xc:
xc =
0
2 b 5 x(3x
(^2) − 1) (^3) dx.
- La funci´on de beneficio tiene un punto de inflexi´on en el punto xi:
xi = lim x→ 2 a(x
(^2) + 4x − 12) x^2 − 4. (a) Si el beneficio total es 0 cuando q = 0: (a1) Calcula la funci´on de beneficio total. (a2) ¿Crees que merece la pena introducirse en este mercado?, ¿por qu´e? (b) Si el beneficio total es 10 cuando q = 0: (b1) Calcula la funci´on de beneficio total. (b2) ¿Crees que merece la pena introducirse en este mercado?, ¿por qu´e?
Soluci´on:
(a1) B(q) = − 12 qe−^2 q (a2) No, la funci´on beneficio siempre es negativa. (b1) B(q) = − 12 qe−^2 q^ + 10
