Tema 6. Econometria, Apuntes de Econometría

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TEMA 6: HETEROCEDASTICIDAD MARIOLA ESTUDILLO MARTÍNEZ DPTO. ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA (BASADO EN LOS APUNTES DE ANTONIO CONDE SÁNCHEZ)

NATURALEZA DEL PROBLEMA Una^ de^ las^ hipótesis^ básicas

del^ modelo^ de^ regresión^ lineal general es que la varianza de los términos de la perturbaciónaleatoria es constante e igual a

(^2) . Se trata de la hipótesis de

homocedasticidad:^ ^ ^ Sin embargo, no siempre se cumple dicha hipótesis. En caso deque no se verifique, estamos en el caso de heterocedasticidad: es decir, la matriz de varianzas-covarianzas tiene la siguienteexpresión:

2 1 Var uin  ^  ,^ ,..., i 2 1 Var uin  ^  ,^ ,...,   ii^2 ^ ^0 0 ^ ^1 ^ ^20 0 ^ ^2 VE  u uu'    ^ ^ ^ ^ ^ ^2 ^ ^0 0 n^ 

NATURALEZA DEL PROBLEMA • CAUSAS 2.^ La presencia de datos atípicos (observaciones que son muydiferentes^ con^ relación^ a

las^ demás^ observaciones^ de

la muestra) provoca una mayor variabilidad del error. 3. Cuando^ se^ promedian^ los^ valores

deY^ para^ conjuntos^ de

observaciones.^ Las^ varianzas

dependen^ del^ número^ de observaciones^ que^ se^ promedian,

por^ lo^ que^ no^ existe homocedasticidad. 4. Error de especificación en el modelo. La omisión de variablesimportantes en el modelo o una forma funcional incorrecta puede ocasionar que al efectuar la regresión, los residuos quese obtienen presenten heterocedasticidad.

NATURALEZA DEL PROBLEMA • CONSECUENCIAS 1.^ Estimación sesgada de la varianza, 2.^ Los estimadores MCO son insesgados, pero menos eficientesque los^ MCG (es decir, no tienen varianza mínima). 3.^ Los intervalos de confianza y los estadísticos utilizados pararesolver contrastes de hipótesis ya no son fiables. Por tanto,existe la posibilidad de extraer conclusiones erróneas.

(^2)  ˆ Por tanto, en presencia de heterocedasticidad es convenienteutilizar los estimadores MCG.

DETECCIÓN DE LA HETEROCEDASTICIDAD • PROCEDIMIENTOS INFORMALES Son algo subjetivos y exigen la representación gráfica de losresiduos:  Calcular los residuos estimando el modelo por MCO. ˆˆ^ ˆ^ ˆ^ ^ ^ ^  u^ y^ Xβ^ y^ y  Representar los^ frente a los valores estimados

Ŷ o bieni^ frente^ a^ la^ variable^ que

se^ cree^ que^ provoca^

la

2 ˆ ˆ ou uii heterocedasticidad, con la idea de encontrar algún patrón en elcomportamiento de los mismos.

DETECCIÓN DE LA HETEROCEDASTICIDAD • PROCEDIMIENTOS INFORMALES  Si el gráfico muestra un patrón de comportamiento (lineal,cuadrático,^ exponencial,^ etc.)^ es^

probable^ que^ haya ^ Si los puntos se disponen en el gráfico de forma aleatoria, nohay^ evidencia^ de^ que^ se heterocedasticidad entre los términos del error aleatorio.

incumpla^ la^ hipótesis^ de homocedasticidad.

DETECCIÓN DE LA HETEROCEDASTICIDAD • PROCEDIMIENTOS INFORMALES En el gráfico^ podemos^ observar^ que^ los

residuos^ dependen

linealmente de la variableX. En consecuencia, los residuos alcuadrado^ y^ su^ varianza^ dependen

de^ forma^ cuadrática^ de^ la

2 variable X. Esto permite proponer el siguiente modelo para lavarianza de los términos de error aleatorio:^ ^

2 2 Var uX  ii

(^2) siendo una constante positiva desconocida.

DETECCIÓN DE LA HETEROCEDASTICIDAD • PROCEDIMIENTOS INFORMALES Ejemplo La siguiente^ tabla^ presenta^ los^ gastos^

de^ consumo,Y,^ y^ el

ingreso,X, de 20 familias.^ X22.3^ 32.3^ 36.6^ 12.1^ 42.3i^

6.2^ 44.7^ 26.1^ 10.3^ 40.2 Y19.9 31.2 31.8 12.1 40.7 6.1^ 38.6^ 25.5^ 10.3^ 38.8i (^) X8.1 34.5 38 14.1 16.4 24.1^ 30.1^ 28.3^ 18.2^ 20.1i (^) Y 8 33.1 33.5 13.1 14.8 21.6^ 29.3^25 17.9^ 19.8i Queremos ajustar el modelo:^

YX^ u^ ^ ^ ^ ^0 1 ii^ i

DETECCIÓN DE LA HETEROCEDASTICIDAD • PROCEDIMIENTOS INFORMALES Los valores estimados de Y junto con los residuos aparecen en la siguiente tabla:

DETECCIÓN DE LA HETEROCEDASTICIDAD • PROCEDIMIENTOS INFORMALES El gráfico de los residuos frente a los valores estimados de Ymuestra una cierta tendencia lineal creciente. La disposición noes aleatoria, de modo que sospechamos que, en efecto, la variableX provoca heterocedasticidad entre los términos de error.

DETECCIÓN DE LA HETEROCEDASTICIDAD • PROCEDIMIENTOS FORMALES Algunos de ellos^ son^ constructivos,^ es

decir,^ que^ una^ vez rechazada la hipótesis de homocedasticidad aportan informaciónsobre la forma que tendrá^ la matriz de varianzas-covarianzas. Los contrastes de hipótesis que vamos a ver son:^ Contraste de Goldfeld-Quandt^ Contraste de Glesjer^ Contraste de White

DETECCIÓN DE LA HETEROCEDASTICIDAD • PROCEDIMIENTOS FORMALES CONTRASTE DE GOLDFELD-QUANT Supuesto La heterocedasticidad viene determinada por una de las variables explicativas del modelo de regresión. Básicamente^ consiste^ en^ comparar^ los^

residuos^ del^ modelo obtenidos^ al^ emplear^ los^ valores

pequeños^ y^ grandes^ de^ la variable^ explicativa^ presumiblemente

causante^ de^ la heterocedasticidad. Se supone que para los valores pequeños lavarianza será^ menor que para los valores grandes.

DETECCIÓN DE LA HETEROCEDASTICIDAD • PROCEDIMIENTOS FORMALES CONTRASTE DE GOLDFELD-QUANT Pasos 4. Calcular la suma de cuadrados del error o de los residuosasociados a las dos estimaciones: SCEy SCE^1

5.^ Bajo el supuesto de homocedasticidad se verifica que^ Con lo cual, fijado un nivel de significación

^ rechazaremos la hipótesis de homocedasticidad si SCE^2 F^ n^ cn^ c^ ^1 1 kk^ ^ ^  ,^ ^ ^ ^ SCE^1 2 2 SCE^2 F^ n^ cn^ c^ ^1 1 1 kk^ ^ ^ ^ ^ ^  ,^ ,^ ^ ^ ^ SCE^1 2

DETECCIÓN DE LA HETEROCEDASTICIDAD • PROCEDIMIENTOS FORMALES CONTRASTE DE GOLDFELD-QUANT Inconvenientes  El contraste^ se^ efectúa^ suponiendo

que^ si^ hay heterocedasticidad, ésta no es inversa (es decir, existe unarelación^ directa^ entre^ la^ magnitud

de^ la^ variable^ Xy^ laj^ dispersión^ del^ modelo).^ Sin^

embargo,^ si^ se^ obtiene^ que SCE>SCE, el estadístico del contraste se debe reformular^12 como^ SCE/SCE,^ tomando^ como^12

hipótesis^ alternativa^ del contraste la existencia de heterocedasticidad inversa.  No^ es^ un^ procedimiento^ constructivo

porque^ no^ tenemos información respecto a la matriz

V.