Tema 2. Econometria, Apuntes de Econometría

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TEMA 2: MODELO DE REGRESIÓN LINEAL GENERAL MARIOLA ESTUDILLO MARTÍNEZ DPTO. ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA (BASADO EN LOS APUNTES DE ANTONIO CONDE SÁNCHEZ)

INTRODUCCIÓN • REGRESIÓN Técnica estadística que consiste en buscar la mejor función queexprese la relación existente entre dos o más variables. Y  variable dependiente (endógena) X  variable independiente (exógena)^

 )(^ xfy^  

• REGRESIÓN LINEAL^ Técnica^ estadística^ que

consiste^ en^ buscar^ la^

mejor^ función LINEAL o recta que exprese la relación existente entre dos omás variables.

INTRODUCCIÓN • MODELO DE REGRESIÓN LINEAL GENERAL Es un modelo que explica la relación existente entre una variabledependiente o variable endógena y varias

variables independientes o exógenas mediante una función lineal:^ ^ ^

   ^ ^  ... YX XX^ u 0 1 1 2 2 k^ k

donde los parámetros^ son los coeficientes de regresión.j^ Si disponemos den observaciones,

, el modelo puede escribirse como:

(^ ,^ ,^ ,^ )Y X^ X^1 i^ iki

...^0 1 1 2

iii

k^ kii YX^ X

X^ u^ in ^ 



^ ^ ^ ^

^ ^ 

donde^ urepresenta el error o perturbación aleatoria.j^

INTRODUCCIÓN • MODELO DE REGRESIÓN LINEAL GENERAL Otra forma de expresar el modelo es utilizando notación matricial:^ y = Xβ^ + u donde^11

0 1

1 (^12 2 )

2 1 k 1 k; ;^ ; 11 nknkn

n XXY

u XXY

u XXY   u ^ ^ ^

 ^ ^

^  ^ ^ ^

 ^ ^

^  ^ ^ ^

 ^ ^

^  ^ ^

^   ^  ^ ^

^  ^ ^ ^

 ^ ^

^  ^ ^

^  ^ ^ ^

 ^ ^

^  ^ ^ ^

 y^ X^

β^ u      ^



INTRODUCCIÓN • HIPÓTESIS DEL MODELO 3. La perturbación aleatoria se distribuye: 4. Los elementos de la matriz^ X^ son no estocásticos, aunque sedistribuyen independientemente de^ u.

(^2) ,N  (^) u 0 I   n

5.^ El número de observaciones ha de ser superior al número deparámetros, es decir,^ n

>^ k + 1.

6.^ Los coeficientes son constantes a lo largo de toda la muestra yaparecen de forma lineal. 7.^ Todas las variables explicativas son linealmente independientes(ausencia de multicolinealidad). Así, el rango de la matriz

X^ es

igual ak + 1 y, por lo tanto, la matriz

X’X^ es no singular.

INTRODUCCIÓN • HIPÓTESIS DEL MODELO Consecuencias e interpretación de las hipótesis 1. Supongamos que se fija el valor de^ X , entonces: 2. El comportamiento^ de^ la^ variable

Y^ viene^ dado^ por^ dos

componentes:^ ^ Uno determinista, que es su valor medio

X .

^ Y otro aleatorio, que es

(^2) ,N  (^) y Xβ I   n u.

INTRODUCCIÓN • INTERPRETACIÓN DE LOS PARÁMETROS 3. Los coeficientes de regresión miden el efecto de cada

Xsobrej^

Y. El problema es que, como entre las variables exógenas existecasi siempre alguna relación (no son incorreladas), no miden losefectos individuales, sino que reflejan un efecto parcial sobre

Y.

Cuando la relación entre las variables exógenas es pequeña, lamezcla es poco importante, pero si la relación es fuerte, loscoeficientes tienden a ser menos precisos y no expresan losefectos individuales de cada una de ellas sobre

Y.

4.^ Es^ interesante^ tomar

variables^ exógenas^ que

tengan^ poca relación^ entre^ sí.^ En^ ese

caso^ los^ efectos^ individuales

y

parciales sobreY son muy similares.

INTRODUCCIÓN • DESARROLLO DEL TEMA 1. Objetivo: determinar el valor de los coeficientes de regresión.^ ,^ 0,1, ...,jk^ ^  2. Los valores de^ no son conocidos y se estiman aj^ ˆ ,^ partir de los datos observados:

0,1, ...,^ .jk  j

3.^ Se^ estudiarán^ las^ propiedades

de^ los^ estimadores^ bajo

las hipótesis establecidas. 4. Se tratará^ de dar respuesta a las siguientes cuestiones:^ ^ ¿Se ajusta bien la ecuación a los datos?^ ^ ¿Es válido el modelo? ¿Tienen un efecto significativo lasvariables explicativas sobre

Y?

^ ¿Es útil el modelo como predictor? ^ ¿Se viola alguna de las hipótesis básicas?

ESTIMACIÓN POR MC DE^ LOS PARÁMETROS Utilizando notación matricial:^

^  ˆˆˆ^ ^ ^  u^ y^ y^ y^ Xβ , y Xβ

Por lo que la suma de los residuos al cuadrado es:

ˆ^ ˆ^ ˆˆ ˆ (^)   ^ ^ ^  (^2) S     u u y y β^ X y^ β^ X Xβ Derivando e igualando a 0 se obtienen las ecuaciones normalesde regresión: Despejando, obtenemos los estimadores MCO de los parámetros:

ˆ  X y X Xβ (^1) ˆ   β X X X y   siempre y cuando exista la matriz

. Dicha matriz existe si las^ variables^ explicativas

son^ linealmente^ independientes (hipótesis 7).

(^1)   X X  

ESTIMACIÓN POR MC DE^ LOS PARÁMETROS Las expresiones de las matrices anteriores son:^11

nnn nXXYikii^1 1 iii^ ^ ^  nnnn^2 XXX XX Y 1 1 1 1 iii^ kii^ i 1 1 1 1 iiii ^ ^  nnnn^2 X X XXX Y^1 kii^ kikiki^ i 1 1 1 1 iiii  ^ 

^

^ ^  

^

^ ^ 

^

^ ^ 

^

^ ^ 

^

^ ^ 

^

^

^

^ ^ 

^

^ ^ 

^

^ ^ 

^

^ ^ 

^

^ ^ 

^

^ ^  ^ ^  ^ ^ ^

 ^ ^ 

 X X^

X y ^ ^ ^ ^

El vector de valores estimados es:

1 ˆˆ   ( )   y Xβ X X X X y^

Hy

Y los residuos se pueden expresar:

ˆ^ ˆ^ (^

)      u y y y Hy I H yn

ESTIMACIÓN POR MC DE^ LOS PARÁMETROS • EJEMPLO 1 Interpretación de los coeficientes de regresión

ESTIMACIÓN POR MC DE^ LOS PARÁMETROS • PROPIEDADES 1. El hiperplano^ de regresión pasa por el punto:

,^ ,^ ,Y X^ X  ^1 k

2.^ La suma de los residuos es cero:

n ˆ^0 u i^1 i^ 

3.^ Los residuos están incorrelados

con las variables explicativas.

4.^ Los residuos están incorrelados

con los valores estimados de la

Esto significa que:^1 variable^ Y.

nn ˆ^ ˆY^ Y^ Y^ Y^ ^ ^ ii^1 ii^ ^  n ˆ^ 0,^ 1,^ ,X ujk^ ^ ji^ i (^1) i  n ˆˆ^0 Yui^ i^1 i^ 