Tema 5. Econometria, Apuntes de Econometría

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TEMA 5: PERTURBACIONES NO ESFÉRICAS MARIOLA ESTUDILLO MARTÍNEZ DPTO. ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA (BASADO EN LOS APUNTES DE ANTONIO CONDE SÁNCHEZ)

INTRODUCCIÓN En este tema^ vamos^ a^ debilitar

dos^ de^ las^ hipótesis

más relevantes del modelo lineal general: la homocedasticidad y laausencia de autocorrelación; y, a continuación, veremos cómo seven afectados los estimadores mínimo-cuadrático-ordinarios. Una de las afirmaciones que hicimos sobre los términos de errordel modelo fue la siguiente:

2 N  u 0, I  u^ n

que implica tres hipótesis básicas del modelo de regresión:^ ^ Homocedasticidad.^ ^ Ausencia de autocorrelación (independencia).^ ^ Normalidad.

INTRODUCCIÓN En ambos casos, la matriz no es escalar y se puede escribir como: De esta forma,^ estamos^ alterando

las^ hipótesis^ de homocedasticidad^ y/o

ausencia^ de^ autocorrelación, pero no la Siendo^ tanto^ V^ como normalidad.

 ,^ matrices^ cuadradas

de^ ordenn,^ de

elementos constantes,

simétricas y definidas positivas. Obsérvese que las únicas restricciones que se imponen sobreestas matrices es que sean simétricas y definidas positivas, peroesto no significa que tengan que ser diagonales, ni tampoco quetodos los elementos de la diagonal sean iguales.

VE^  u^ uu'^ V^ ^ ^ ^  O bien:

(^2) VE   u uu' Ω    

INTRODUCCIÓN CONSECUENCIAS SOBRE LOS ESTIMADORES MCO Si consideramos el modelo de regresión con matriz de varianzas- covarianzas no escalar tenemos:^ ^  y^ Xβ^ u^ ^ ^ El estimador MCO de los parámetros sería: que sigue siendo lineal e insesgado pero su matriz de varianzas- covarianzas es:

(^2) E   V u uu' Ω   (^1)  ˆ  β X' X X' y   ^ ^   (^1 1)   (^2)  (^)  ^  ˆV β^ X' X^ X'^ X

X' X

ESTIMACIÓN MÍNIMO CUADRÁTICO GENERALIZADA Como la matriz^ ^ es definida positiva, también lo es donde

-1 . Por tanto,^ es^ posible^ hallar

una^ matriz^ P^ no^ singular

(es^ decir, invertible) cuadrada y de orden

-1n tal que =^ P’P. Consideramos

entonces un nuevo modelo obtenido como ya que ^ ^ ^ ^ ^ con^ ^ ^ ^

 y^ Xβ^ u^ Py^ PX

β^ Pu w^ Zβ^ v^ w^

Py, Z^ PX, v^ Pu^20 N   v Pu ,^ I ^ n

^ ^ ^ ^ ^

^ ^

(^12 2 1 2)  n

VEE

^ ^

^ ^ ^

 v^ vv '^ Puu'P '

P^ P '^ PP^ P '

P '^ I

ESTIMACIÓN MÍNIMO CUADRÁTICO GENERALIZADA En consecuencia, tenemos un nuevo modelo en el que se verificanlas hipótesis del modelo lineal general y son aplicables todos losresultados^ obtenidos^ para

dicho^ modelo.^ Concretamente,

la estimación de^ ^ correspondiente es la siguiente: Es claro que el estimador mínimo cuadrático generalizado para elmodelo^ original^ o^

inicial^ coincide^ con^

el^ estimador^ mínimo ^ ^ cuadrático ordinario para el modelo transformado y verifica quees lineal, insesgado y eficiente. ^ ^

1 1

1 1 G

 ^ ^

^  ^ ^

^ ^  ˆβ^ Z ' Z^ Z 'w^

X'P 'PX^ X'P 'Py^

X'^ X^ X'^ y Este^ estimador^ se

denomina^ estimador

mínimo^ cuadrático generalizado de Aitken para el modelo original y se denota

ˆβ^ G

1  1 1   ˆ    β X' X X'^ y   G

• INFERENCIA

^ ^ ^  

^ ^   1 ,^1

1 ,^1 2

2

ˆ^ ˆ

ˆ^

GjGj

GjGj

Gj n^ k

n^ k tVar

tVar 

 ^ 

^ 

 ^ ^ ^

^ ^ 

^

^ ^

^

^

^

C. Hipótesis^

Estadístico Criterio de rechazo^

Rechazo Hsi^0 F^ F^ exp^1 , ,^1 q n^ k^ ^ ^  :H^ Tβ^ = c 0 :H  Tβ^ c^ 1

^  (^)  1 ^ 1 ˆ^ exp 2

Gˆ

G ^ F qG

^

-1-1  Tβ - c ' T X' X T' Tβ^ - c   

ESTIMACIÓN MÍNIMO CUADRÁTICO GENERALIZADA^ INTERVALO DE CONFIANZA PARA^ CONTRASTE DE HIPÓTESIS

 j

IC para la predicción del valor medio de Y IC para la predicción del valor individual de Y

(^11)   (^0 0) GG 1 1 n k   (^2) E^ Y

t^ ^ 

 ^ ^ ^ 

^ ^ ^

^

^

^ ^ ^

^

'^ ' 0

0 ˆ , / X^ x^ x^

ˆ^ x^ X'^ X^ x^11 ^ ^   0

Yt^ ^ GGn^ k

 ^ ^ ^ 

^ ^

^ 

^

^

^

'^

' 0

0 ˆx ˆ^ x^ X'^ ,

X^ x

ESTIMACIÓN MÍNIMO CUADRÁTICO GENERALIZADA • PREDICCIÓN

ESTIMACIÓN MÍNIMO CUADRÁTICO GENERALIZADA • EJEMPLO Los datos que aparecen en la siguiente tabla son los resultadosde este experimento y la última fila representa el número deveces que se pasó^

el lote para cada velocidad de línea. 0.5 4.67^ 6.25^10 13.

13.7^ 17.5^23 X^10 20 30 i^

40 50 60 70

80 n^14 3 25 i^

2 3 22 5

2 Y Dado que la varianza de un promedio es

(^22) /ndonde^ es lai^ varianza de la perturbación aleatoria, se tiene que la matriz devarianzas covarianzas es:

ESTIMACIÓN MÍNIMO CUADRÁTICO GENERALIZADA • EJEMPLO^ ^ ^ por lo que tenemos una matriz no escalar.

1 0 0 n^12 20 1 020 0 1 n

V

^  ^  n^   n

^  ^ ^

 ^

 ^

 /^  u /  /  Estimar el modelo mediante el método de mínimos cuadrados ymediante^ el^ método

de^ mínimos^ cuadrados

generalizados. Comparar los resultados obtenidos.

ESTIMACIÓN MÍNIMO CUADRÁTICO GENERALIZADA • EJEMPLO

ESTIMACIÓN MÍNIMO CUADRÁTICO GENERALIZADA • EJEMPLO

ESTIMADORES DE MÍNIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS^ FACTIBLES De igual forma, el estimador MCGF de

^ ya no será insesgado. ^ ^  ^ ^

^  1 1

1 2 1

1 GG

G Gn^ k

n^ k ^  ^    ^ ^

   ^ ˆ^ ˆˆ  ^ ^ ^  y^ Xβ^ y^ Xβ^

ˆˆ ˆy ' y β^ X'^ y ˆ Sin embargo,^ el^ estimador

MCGF^ es^ consistente

y asintóticamente más eficiente que el estimador MCO.

TEMA 5: PERTURBACIONES NO ESFÉRICAS MARIOLA ESTUDILLO MARTÍNEZ DPTO. ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA (BASADO EN LOS APUNTES DE ANTONIO CONDE SÁNCHEZ)