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Tema 2.- Límite y continuidad de
funciones
Las referencias al manual del curso (Ivorra y Juan, 2007) corresponden a los Temas 1 y 4. Referencias Repaso “Matemáticas Elementales”: Gallegos, J. (2015)
Matemáticas I. 1º Bachillerato.
Textos Marea Verde
.
González, L. (2015)
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. 2º Bachillerato.
Textos Marea
Verde
.^
Encabo, JA. y Moya, P (2015)
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I. 1º Bachillerato.
Textos Marea Verde
.
Ramos, MF. y Latasa, MM. (2014)
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas: 4ºB ESO.
Nociones de topología en R Textos
n
Funciones de una y varias variables: función homogénea,compuesta e implícitaGráficas de funciones. Curvas de nivelConceptos de límite y continuidad
Caso Práctico: A Crisóstomo le gusta la cerveza
Caso práctico:
A Crisóstomo le gusta la cerveza
A Crisóstomo le gusta la cerveza
(Ivorra, C y Juan C., 2007, pp. 47-48)
El número de litros de cerveza que Crisóstomo consume al mes viene dado por la función D(I,p) donde p es precio dellitro e I es la renta del consumidor. Pongamos que el precio actual del litro de cerveza es de p=2 u.m. y que Crisóstomodispone de una renta de I=20 u.m. La figura muestra las funciones D(I,2) y D(I,3).1.
Calcula el dominio y subdominio con sentido económico de D. Estudia su continuidad.
Razona estudiando la figura qué curva corresponde a p=2 y cuál a p=3. ¿La cerveza es, para Crisóstomo un biennormal (el consumo del bien aumenta con la renta disponible) o inferior (lo contrario)?
¿Cuántos litros de cerveza mensuales consumirá Crisóstomo en las condiciones actuales?
A partir de la gráfica, determina si el número de litros consumidos aumentará o disminuirá si Crisóstomo pasa atener una renta de 4 u.m.
A partir de la gráfica, estima aproximadamente cuántos litros de cerveza al mes estaría dispuesto a consumir comomáximo Crisóstomo mientras el precio sea de 2 u.m. ¿De qué renta debería disponer para ello, aproximadamente?
Estudia analíticamente si Crisóstomo consumirá más o menos cerveza si, manteniendo su renta de I=20 u.m., elprecio se incrementa en 1 u.m. ¿Y si la renta pasa a ser I=25 u.m. y el precio p=3 u.m.?
Determina analíticamente a partir de qué precio Crisóstomo no estará dispuesto a comprar cerveza en función de surenta.
Dibuja la gráfica de la función D(20,p). ¿La cerveza es, para Crisóstomo, un bien Griffen (el consumo del bienaumenta con su precio) o no para su renta actual?
Nociones de topología en R
n
Referencia manual: 1.1, 1.2, 1.3.2 y 1.
El espacio R
n
.^
Se llama R
n^
(n
- al conjunto
formado por todas las n-tuplas
x
=(x
,…,x 1
)n
t^ de
números reales. Subconjuntos de R
n
.^
Es el conjunto formado
por
aquellos
vectores
(equivalentemente
puntos)
de
R
n^
que
cumplen
una
o
varias
condiciones
que
se
expresan
en
forma
de
igualdades o desigualdades.^
Subconjuntos especiales
:
^
Dominio matemático y/o económico
^
Conjunto de oportunidades
n
1
n
x
cumplir x
de
han
que
s
condicione
R
D
x
Nociones de topología en R
n
Referencia manual: 1.1, 1.2, 1.3.2 y 1.
Distancia
euclidea.
La
distancia
euclidea
entre dos puntos
x
,^
y
R
n^
se define como:
n
n
2 1
1
) y
x(
...
) y
(x
) ,
d(
|| y x ||
y x
-
Conjunto abierto.
Un subconjunto D
R
n^
es
abierto si dado un punto
x
D existe un
0 tal
que si ║
y
║<
entonces
y
D
Un
entorno
de
un
punto
x
de
D
es
un
subconjunto abierto de D tal que para un
dado contiene al punto
x
y todos los puntos
y
que cumplen ║
y
║<
Plan de Docencia
Nociones de topología en R
n
Funciones de una y varias variables: función homogénea,compuesta e implícitaGráficas de funciones. Curvas de nivelConceptos de límite y continuidad
Funciones reales 1
Una
función real
es una aplicación entre dos subconjuntos reales en la que a cada elemento
del primer conjunto (
dominio
) se le asocia un único elemento (
imagen
), definido por la
ecuación
ሻݔሺ ݂ൌ ݕ
del segundo.
Funciones reales 3
Las
funciones raíz
݂
ݔ
ൌ
,ݔ
ݔ య^
, …
son funciones continuas en todos los puntos de su
dominio (R si la potencia es impar,
ሼ ݔ∈ ݔ/ ܴ 0ሽ
si la potencia es par).
Funciones reales 4
Las
funciones
݂
ݔ
݂ ,ݔ ݊݁ݏ ൌ
ݔ
ܿൌ
ݔ ݏ
forman parte de las
funciones
trigonométricas
o funciones periódicas.
Su dominio es R y son contínuas entodos los puntos de su dominio.
Funciones de una y varias variables: función
homogénea, compuesta e implícita
Referencia manual: 1.3.1 y 4.1-4.2-4.3 (definiciones)
Función.
Una
función
f:
D
R
n
R
m
es
cualquier criterio que a cada punto
x
D le
asigna un único punto f (
x
) de R
m
.
^
D es el
dominio (matemático)
de la función.
^
f (
x ) es la
imagen
de
x
por f.
^
f (
x ) = (f
( 1 x
),..., f
m
( x
)), donde f
:Di
R
n
R son
las
funciones coordenadas
de f.
Según el valor de m y n se dice:
^
Si m >1, f es una
función vectorial
.
^
Si m=1, f es una
función escalar
.
^
Si m=n=1, f es una
función real
.
Funciones de una y varias variables: función
homogénea, compuesta e implícita
Referencia manual: 1.3.1 y 4.1-4.2-4.3 (definiciones)
Determinación del dominio
,^
se tendrá en cuenta
lo siguiente: ^
Los polinomios tiene por dominio R
n^.
^
El denominador de una facción no puede anularse. ^
El radicando de una raíz de índice par es positivo. ^
El argumento del logaritmo ha de ser mayor quecero. ^
El dominio de la exponencial, el seno y el coseno ylas raíces impares es todo R. ^
La base de una potencia de exponente variable hade ser mayor que 0.
Algunos ejemplos más de funciones:
Funciones reales:
f(x)= x
3 -x
2 -4x +4, f(x)=e
x^ , f(x)=ln (x), f(x)=sen (x), f(x)=cos(x),..
Funciones escalares:
f(x,y)=x
2 +y
2 , f(x,y)=x
2 -y, f(x,y)= xy/(x
2 +y
2 ), f(x
,x2 1
,x
) = x
(^2 )
(^22)
x
( función polinómica
), f(x
,x 1
,x 2
) = 2x 3
-x2 1
3
( función lineal
).
Función vectorial:
f(x,y,z)=(x
2 /y,x+y+z)
Funciones de una y varias variables: función
homogénea, compuesta e implícita
Referencia manual: 1.3.1 y 4.1-4.2-4.3 (definiciones)
Dominio económico
.^
Es el subconjunto (o subdominio) del dominio en el que el cálculo de la
función tiene sentido económico.
Funciones de una y varias variables: función
homogénea, compuesta e implícita
Referencia manual: 1.3.1 y 4.1-4.2-4.3 (definiciones)
Función homogénea.
Una función f:D
R
n
R
definida en un abierto D tal que para todo
x
D y
todo
0 se cumple que
x
D, se dice que es
homogénea de grado m si:
0
λ
D,
), f( λ
)
f(λ
m
x
x
x
Funciones de una y varias variables: función
homogénea, compuesta e implícita
Referencia manual: 1.3.1 y 4.1-4.2-4.3 (definiciones)
Función compuesta.
Si f:A
R
n
R
m
y g:B
R
m
R
k^
son
funciones tales que f(A)
B, podemos calcular la función
compuesta, g
f:A°
R
n
R
k^
definida como la función dada por
(g°
f)(
x ) =g(f(
x
)). Esto es:
Funciones de una y varias variables: función
homogénea, compuesta e implícita
Referencia manual: 1.3.1 y 4.1-4.2-4.3 (definiciones)
