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MATEMÁTICAS I
CURSO ACADÉMICO 2016- 2017
4 .- Pon un ejemplo de cada uno de los siguientes tipos de funciones:
(a) Función real de variable real.
(b) Función real de varias variables que sea un polinomio.
(c) Función escalar de varias variables que no sea un polinomio.
(d) Función vectorial de R
3
a R
2
cuyas funciones componentes sean lineales.
(e) Función de R a R
3
. ¿Es escalar o vectorial?
(f) Función vectorial de R
2
a R
4
definida en un subconjunto de R
(g) Función vectorial de R
2
a R
4
definida en todo R
2
(h) Función vectorial de R
2
a R definida a trozos en un subconjunto de R
5 .- Sea la siguiente función:
t
x y siy 4
0.3y b siy 4
f(x, y)
Se pide:
(a) Calcula el valor del parámetro b para que la función f(x,y) tenga límite en el punto (x,y)=(0,4).
(b) Calcula el dominio de f(x,y). Obtén un punto que pertenezca al dominio y otro que no.
(c) Estudia la continuidad de f(x,y) en los puntos (1,1) y (0,4) para el caso b=1.
6 .- La función de demanda de un producto viene dada por:
p
r
4 4
2 2
e
r p
2 r p
D( p,r )
donde p es el precio del producto y r la renta media de los consumidores.
(a) Calcula el dominio matemático y el dominio con sentido económico de esta función.
(b) Estudia su continuidad.
(c) Estudia si la función es homogénea.
(d) Si el precio depende a su vez del precio de dos materias primas según la relación:
p = 2m 1
+m 2
. Calcula la expresión de la demanda respecto a estos precios.
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TEMA 3: DERIVABILIDAD DE FUNCIONES
Definición e interpretación económica de derivada de una función real. Cálculo de
derivadas
1.- Estudia la derivabilidad en x=0 y x=1 de la función
x - 1 x 0
f(x)
2
2
t
2.- Estudia la derivabilidad de f(x) |x 2 |. Calcula la función f ´(x).
3.- Estudia la derivabilidad de:
x - 4 x 4
x- 2 0 x 4
2 x 0
f(x)
2
°
d d
4.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
(a)
F
x
√x
2
+2x
(b)
F
x
1 - x
1 - x
(c)
F
x
=ln
x
2
2x
(d)
F(x) =
x
x
2
(e)
F(x) = e
x+ 1
x− 1
(f) F(x) = sen
2
( 4 x
2
(g) F(x) = 3
x
2
F(x) = 4 x
1
2
⁄
− 1
2
⁄ (i)
F(x) =
4 − x
2
5.- Sea C(x) x 3x 100
2
la función de costes de una empresa. Prueba que la tasa media de
variación cuando x varía de 100 a 100+h es 203 h (h 0)
h
C(100 h) C(100)
z
. ¿Cuál es el
coste marginal C’(100)?
6.- Si el ahorro total de un país (S) es una función del producto nacional (Y), entonces S’(Y) se
llama propensión marginal al ahorro (PMA). Encuentra la PMA para las funciones siguientes:
(a) S(Y) abY
(b)
2
S(Y) 100 10Y 2Y
7.- Supongamos que la relación entre la renta bruta Y y el total de impuestos T sobre la renta de
los contribuyentes con renta entre 80.000 y 120.000 € viene dada por la ecuación
T a(bY c) kY
p
donde a,b,c,p i k son constantes positivas.
(a) Encuentra la expresión del tipo marginal del impuesto dT dY.
(b) Un estudio empírico dedujo las estimaciones siguientes de las constantes anteriores:
a=0,000338 ; b=0,81 ; c=6.467 ; p=1,61 ; k=0,053. Utiliza estas cantidades para encontrar los
valores de T y dT dYcuando Y=100.
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d
x si x 3
x y si x 3
f(x, y)
2
2
(a) Halla las derivadas parciales de primer orden en (2,0).
(b) Halla las derivadas parciales de primer orden en (4,3).
12.- Escribe la definición de derivada parcial para una función de n variables (x
1
,…, x n
) respecto
de x i
. Escribe la definición de derivada parcial de una función de 3 variables (x,y,z) respecto de z.
Escribe la definición de derivada parcial de una función de 3 variables (x,y,z) respecto de z en el
punto (a,b,c).
13.- Calcula e interpreta económicamente el signo de la derivada o de las derivadas parciales de
las siguientes funciones económicas.
(a) Función de demanda-precio: Q
p
25
p
, p > 0
(b) Función de producción per cápita ( k es el capital per cápita):
y(k) = 10 k
∝
, 0 <∝< 1 , k > 0
(c) Función de producción Cobb-Douglas: F
K, L
= 10 K
∝
L
1 −∝
, 0 <∝< 1 , K > 0 , L > 0
(d) Función de utilidad CESS:
U
x, y
= (ax
∝
1 − a
y
∝
1
∝
, ∝ > 1 , 0 < a < 1 , x > 0 , y > 0
14.- Dada la función de producción del tipo Cobb-Douglas:
F(K, L) = AK
∝
L
1 −∝
, 0 <∝< 1 , A > 0 , K > 0 , L > 0
donde Y es la producción, A es un coeficiente tecnológico, K es el input capital y L es el input
trabajo, calcula la productividad marginal del capital y del trabajo. Determina su signo e
interprétalo económicamente.
15.- La función de beneficios de una empresa depende del precio de venta de su producto (p
0
) y
de los precios a los que adquiere sus dos inputs (p 1
y p 2
B
p
0
, p
1
, p
2
p
0
4
64 p
2
p
1
2
, p
0
0 , p
1
0 , p
2
Calcula el signo de las tres derivadas parciales e interprétalas económicamente.
16.- La función de demanda de un bien relaciona la cantidad demandada de ese bien (x) en
unidades físicas, la renta per cápita del país (Y) en €, el precio de ese bien (p 0
) en €, y el precio
del resto de bienes (p) en €:
x
Y, p
0
, p
Y
2
p
3 p
0
2
, Y > 0 , p
0
0 , p > 0
Calcula el signo de las derivadas parciales, sus unidades de medida e interprétalas
económicamente.
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17.- Indica el signo y las unidades de medida que tendrán en condiciones normales las derivadas
siguientes:
(a) El salario de un trabajador respecto del tiempo.
(b) La demanda de un artículo respecto de su precio.
(c) El volumen de ventas de una empresa respecto de su inversión en publicidad.
(d) El ahorro medio de los habitantes de un país respecto del índice de precios.
Derivadas sucesivas de funciones de una o más variables
18.- Sea U(x) la función de utilidad de un consumidor, donde x es la cantidad consumida de un
bien.
(a) Explica la diferencia de interpretación entre
10
dx
dU
y
1000
dx
dU
(b) ¿Cuál es el signo que cabría esperar en estas dos derivadas?
(c) ¿Cuál de las dos es de esperar que sea mayor?
(d) ¿Cuál es el signo que cabría esperar para
10
2
2
dx
d U
(e) Si U(10)=3’65 y 0'
dx
dU
10
, calcula aproximadamente U(10’5)
19.- Dadas las funciones
2 2
2 2
x (1 y)
1 x y
f(x, y)
2 2
x (1 y)
2x
g(x, y)
definidas en
D ^(x, y) R /(x,y) (0, 1)`
2
z
(a) Comprueba que
y
g
x
f
w
w
w
w
y que
x
g
y
f
w
w
w
w
(b) Calcula
2
2
2
2
y
f
x
f
w
w
w
w
y
2
2
2
2
y
g
x
g
w
w
w
w
20.- Razona si las siguientes funciones son de clase C
f
(a) f
x, y, z, t
e
x−t
y
2
+2z
(b) f(x.y.z) = x
3
4
(c) f(x) = √𝑥
7
3
21 .- Dada la función
2 2
2 2
x y
xy(x y )
f(x, y)
. Calcula (1,1)
x
f
w
w
y
x y
f
2
w w
w
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29 .- Calcula la matriz hessiana de las funciones:
(a) f(x,y) = sen(3x
2
(b)
3
2
2
1
f(x, y,z) x (yz) , en el punto (9,4,2)
(c)
3
2 3
z
2x 3y
f(x, y, z)
, en el punto (2,0,1)
30 .- Sabiendo que el vector gradiente de una función real de dos variables reales, f(x,y), es,
∇f(x, y) = ( 6 xy + 10 xy
3
, 3 x
2
2
y
2
− 6 y
5
), calcula la matriz hessiana de f(x,y).
31 .- Calcula el valor de a para que la matriz hessiana de
2z
f(x, y,z) xLny e en el punto
(2,1, a) sea:
Hf(2,1, a)
32 .- Sea
2 4
f :R o R una función derivable en un punto (a,b). Escribe la expresión de la matriz
Jacobiana Jf(a,b) y la de la matriz hessiana Hf 1 (a,b) (asegúrate de que el punto (a,b) aparece
donde corresponda en la expresión).
Ejercicios de revisión
1.- Estudia la continuidad y derivabilidad de la función
x 1
|x |
f(x)
2.- La función de coste total de un artículo determinado es
2
C(x) 30 10x 2x ,valorada en
euros, y el precio unitario del artículo viene dado por la expresión p(x) 60 2xdonde p viene
expresado en euros. Determina:
(a) Los dominios de definición de las dos funciones.
(b) El coste marginal.
(c) La función de ingresos.
(d) La función de beneficios B=I-C_._
(e) El ingreso marginal.
(f) El beneficio marginal
3.- ( a) Calcula la matriz jacobiana en el punto (1,0) de la función:
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f(x, y) (sen(x y ),Ln(x y ))
2 2 2 2
(b) Calcula la matriz hessiana en el punto (1,0) de la función:
y
2
x
g(x, y) e
4.- Dada la función
y
2
x
f(x, y) e
(a) Calcula el vector gradiente de la función en el punto (1,1).
(b) Calcula la matriz hessiana de la función en el punto (1,1).
5.- ( a) Calcula la matriz jacobiana de la función ¸
,sen(xy)
x 1
xy
f(x, y).
(b) Calcula la matriz hessiana de la funcióng(x, y) sen(xy).
6.- Los ingresos impositivos por IVA (en % del PIB) se estiman con la siguiente función:
I(x,y,z) = 0,00006 (100-y) x z
donde x es el tipo impositivo (en %), actualment x=18; y es el peso de la economía sumergida
(en %), actualmente y=20; y z es el consumo (en % del PIB), actualmente z=76.
Se pide:
(a) Calcula la derivada parcial de los ingresos impositivos por IVA respecto al peso de la
economía sumergida en la situación actual e interpreta económicamente su signo.
(b) Calcula aproximadamente como cambiarían los ingresos impositivos por IVA si el tipo
impositivo aumenta a x=20 desde la situación actual, suponiendo que el resto de variables se
mantienen constantes.
(c) Calcula la elasticidad respecto al tipo impositivo en la situación actual, es decir, la expresión:
(18,20,76)
I
x
x
I
E
w
w
7.- Responde razonadamente a las siguientes cuestiones:
(a) Sea C(x, y)la función de costes (en euros) de una empresa que fabrica x unidades de un
producto A e y unidades de un producto B. Sabemos que:
(x,y) x
y
C
(x,y) 2x y,
x
C
C(40,23) 2550 ,
w
w
w
w
Con esta información, el coste de fabricación de 40 unidades de A y 28 de B será
aproximadamente de:
i) 3090 € ii) 540 € iii) 2750 € iv) 2752’38 €
