Conceptos de Cinemática
Vamos a ver la velocidad y aceleración de un movimiento en una sola dirección.
Imaginaos que tenemos un móvil, que describe este movimiento en el eje x en función del tiempo.
Para cada instante del tiempo tenemos una posición del móvil.
Entonces imaginaos que tomamos dos de estas posiciones, aquí tomamos la posición P1 y aqui tomamos la posición P2.
¿Cómo podemos definir la velocidad media?
La velocidad media no es más que la pendiente de la recta que une P1 con P2.
¿Cómo se define la pendiente?
Variación de y, en este caso, la y es la x, entre variacion de x, que en este caso será la variación en el tiempo.
De esta forma, tenemos el vector velocidad media.
¿Qué pasa si cada vez vamos haciendo esta variación de t más pequeña, la vamos haciendo que tiende a cero?
Pues entonces lo que podemos calcular es la velocidad instantánea del móvil en ese punto.
En el punto P1, esa velocidad instantánea corresponderá a la pendiente de la recta tangente a la curva por el punto P1, sería la velocidad instantánea y, ¿cómo se define la velocidad instantánea?
Pues si hacemos el intervalo de tiempo tan pequeño como queramos, en realidad, lo que estamos haciendo es un límite.
El límite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero de la variación de x entre la variación de t.
Esto nos nos debería de sonar y este es el concepto de derivada.
Por eso la velocidad instantánea es la pendiente de la recta tangente en el punto de estudio.
Es muy importante tener en cuenta que, tanto la velocidad media como la velocidad instantánea, son vectores.
Por lo tanto, tienen dirección y sentido.
¿Qué representan los signos que tenga la velocidad?
Pues en el caso del movimiento en una dimensión, como el que tenemos, si tenemos una velocidad positiva significa que el móvil se está moviendo hacia la derecha en el sentido del eje positivo.
Si tenemos una velocidad negativa, por el contrario, el móvil se estará moviendo hacia la izquierda, en el sentido de x negativas.
Y, ¿qué pasa cuando la velocidad es cero?
Pues que el móvil no se mueve.
Un concepto equivalente, pero que obviamente no es el mismo es el concepto de aceleración.
Para definir este concepto lo que necesitamos es representar la velocidad del móvil frente al tiempo.
Como veis, la velocidad del móvil podría ir cambiando de signo, pasar de negativo a positivo, pasar por el punto cero, etcétera, si el móvil, se va moviendo hacia la derecha, hacia la izquierda o está parado en algún momento.
¿Cómo podemos definir
la aceleración?
Pues de la misma forma que antes, tomamos dos puntos en nuestra gráfica, P1 y P2, y la aceleración media se define de una forma equivalente a la velocidad media y es la pendiente de la recta que une estos dos puntos, la pendiente que recuerdo que se define como variación en el eje y, que en este caso tenemos la velocidad, entre la variación en el eje x, que en este caso lo que nos aparece es el tiempo De nuevo si voy haciendo este intervalo cada vez más pequeño, de forma que tienda a cero, el concepto que me voy a encontrar es el de aceleración instantánea.
La aceleración instantánea se define como el límite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero de la variación de la velocidad respecto al tiempo.
Y esto de nuevo es la derivada.
Por lo tanto, la aceleración, por ejemplo, en el punto P1 sería este vector, este sería el vector aceleración.
De nuevo nos encontramos con otro vector.
La aceleración, al igual que la velocidad, es un vector y puede tener diferentes signos.
Entonces, en este caso, si la aceleración es menor que cero, si la aceleración es negativa, significa que el movimiento es decelerado, es decir, la velocidad cada vez va siendo más pequeña, por eso la aceleración es negativa.
En el caso de tener una aceleración positiva, nos encontraremos con un movimiento acelerado, es decir, la velocidad va siendo cada vez mayor.
En un coche, estoy pisando el pedal de acelerador.
¿Qué pasa si la aceleración es cero?
En este caso, no significa que el móvil esté quieto.
Significa que se está moviendo, pero a una velocidad constante.
Es decir, en el coche no estoy pisando ningún pedal y no tengo rozamiento, entonces el coche, en principio se mantendría a una velocidad constante.
Vamos a ver algunos ejemplos de estos conceptos para afianzarlos y que os quedan bien claros.
El primer ejemplo, nos dan la posición de un móvil en función del tiempo que es una ecuación: t al cubo más 3t, y lo que nos piden es la velocidad y la aceleración instantáneas.
Muy bien, pues sabemos que la velocidad no es más que la derivada de x respeto a tiempo.
Por lo tanto, si derivamos esta función, tendremos 3 t cuadrado, que es la derivada de t al cubo más 3.
Y esta será nuestra velocidad instantánea.
¿Qué pasa con la aceleración?
La aceleración no es más que la derivada de la velocidad respecto al tiempo.
Si yo derivo de nuevo esta función, tendremos que la aceleración es 3.
Fijaos que hemos definido la aceleración como la derivada de la velocidad respecto al tiempo, pero en el fondo también podemos definirla como la derivada dos veces de x respecto al tiempo dos veces, es decir, si derivamos la función que nos da la posición dos veces, lo que vamos a obtener es la aceleración.
Este ejemplo es muy sencillo, vamos a ver uno un poquito más complicado.
En este caso, tenemos el caso contrario.
Lo que nos dan es la aceleración y lo que quiero calcular es la velocidad y la posición.
Y en este caso me dan dos datos más, que es que la velocidad en el instante inicial es un metro por segundo y la posición en el instante inicial es 0.
Vamos a empezar con la velocidad.
Hemos dicho que la aceleración se definía como la derivada de la velocidad respecto del tiempo.
Esto, en realidad viene de la variación de la velocidad respecto al tiempo, cuando la variación de tiempo tiende a cero, por lo que lo puedo tratar como una fracción.
Entonces puedo decir que el diferencial de velocidad es la aceleración por el diferencial del tiempo.
Como bien sabéis, la inversa de la derivada es la integral.
Entonces podremos integrar la derivada de la velocidad y esto será igual a la integral de la aceleración diferencial de tiempo En física siempre trabajamos con integrales definidas, por lo que necesitamos extremos de integración.
¿Qué extremos vamos a tener aquí?
Pues por abajo tendremos la velocidad en el tiempo inicial, que me dicen que es cero.
Y aquí tendré la velocidad en el tiempo t porque estoy integrando respecto a la velocidad.
Aquí estoy integrando respecto al tiempo entonces, tendré como límite inferior cero y como límite superior t.
Entonces tengo que, la velocidad en 0, me dicen que es 1, entre 1 y v de diferencial de v, será la integral entre 0 y t de menos t, que es la aceleración diferencial de t.
La primera integral es muy sencillita.
Entonces tendremos que la velocidad definida entre 1 y v será igual a la integral de menos t, sabemos que es menos t al cuadrado partido de dos, entre 0 y t.
Sustituyo los extremos de integración, y aquí obtengo v(t) menos 1 será igual a menos t al cuadrado partido de 2 menos 0.
Por lo tanto, la velocidad en función del tiempo, será menos t cuadrado partido de 2 más 1.
Y este es el resultado que estábamos buscando.
Ahora vamos a ir con la posición.
Sabemos que la velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo.
Entonces, vamos a hacer de forma similar a lo que habíamos hecho con la aceleración y la velocidad.
Entonces, lo que tenemos al final es la integral entre x en 0 y el x en t de diferencial de x va a ser igual a la integral entre tiempo 0 y t de diferencial de t.
He seguido los mismos pasos que había hecho aquí previamente.
En este caso, ¿qué extremos tenemos?
Pues me dicen que la posición en tiempo igual a 0 es 0.
Aquí directamente tendré entre 0 y x diferencial de x será igual a la integran entre 0 y t de menos t al cuadrado partido por 2 más 1, todo ello multiplicado por diferencial de t.
Entonces ahora hacemos las integrales y lo que obtenemos es a la izquierda de la ecuación, tendré x entre cero y x, y a la derecha, si integro esto, lo que obtengo es menos t al cubo partido de 6 más t entre cero y t.
Por lo tanto, obtengo que la posición será igual a menos t al cubo partido de 6 más t.
Y aquí tengo las dos variables que me pedían.
