El Péndulo simple
Hoy vamos a describir el movimiento de un péndulo simple.Pero antes que nada, tenemos que saber qué es un péndulo simple.
Bien, pues un péndulo simple se va a definir como una partícula de masa m que está suspendida del punto o por un hilo inextensible de longitud l y masa despreciable.
Si separamos la masa de la posición de equilibrio, un ángulo que llamaremos teta sub- cero y lo dejamos oscilar, esta masa irá realizando un movimiento armónico simple, ya lo adelanto.
Para poder estudiar este movimiento, como siempre, vamos a ver qué fuerzas actúan sobre la masa.
Vemos que tenemos por el hecho de tener un hilo vamos a tener una tensión.
Y por el hecho de tener una masa vamos a tener un peso que, como siempre, es vertical y hacia abajo.
Y la tensión siempre, siempre va en la dirección del hilo.
Para poder estudiar estas dos fuerzas, como no están en los mismos ejes, tenemos que definir unos ejes y vamos a definir estos.
Llamaremos x a la dirección tangencial al movimiento y llamaremos y a la dirección radial del movimiento, ya que esta masa va a describir un movimiento circular, bien.
Entonces ahora lo que vamos a hacer es aplicar la segunda ley de Newton a cada uno de los ejes.
¿Qué ocurre con el eje y?
En el eje y, lo que vamos a tener, es que sumatoria de fuerzas va a ser igual a la masa por la aceleración normal.
¿Por qué la aceleración normal?
Porque hemos definido al eje y como una dirección radial del movimiento por esa aceleración que se va a aplicar, es la normal.
¿Qué fuerzas nos encontramos en este eje?
Pues, nos encontramos la tensión hacia arriba, es signo positivo hemos considerado y una de las de las componentes del peso.
La componente según el eje y, este es el ángulo theta.
Por lo tanto, tendremos que es P por el coseno de theta.
Y a esto lo hemos igualado a la masa por la aceleración normal, que sabemos que es la velocidad al cuadrado, partido del radio de giro.
El radio de
giro, en este caso coincidirá con la longitud del hilo inextensible que tenemos.
Si operamos un poco con esta, con esta ecuación y despejamos la tensión del hilo, lo que obtenemos es la ecuación que veis aquí.
Como veis, la tensión va a depender del ángulo theta donde nos encontremos y de la velocidad que también va a ir modificándose en cada punto.
Entonces vamos a tener dos puntos o extremos.
Tendremos que en la posición del equilibrio, justo cuando la masa se encuentra sobre la vertical.
O sea, cuando la cuerda está vertical, tendremos que el ángulo vale cero y la velocidad será la velocidad máxima, ya que la velocidad irá de cero en los extremos a la velocidad máxima en esa posición de equilibrio.
Por lo tanto, en esta posición, la tensión va a venir dada por la ecuación que veis aquí.
Coseno de cero es uno, entonces, nos queda la masa por la gravedad, más la masa, por la velocidad máxima al cuadrado partido de la longitud del hilo.
Con esta ecuación, ya podemos obtener dependiendo de qué datos tengamos, pues, la tensión o la velocidad máxima,, etcétera.
En el otro punto extremo, son justamente los extremos.
Este punto que está aquí dibujado y el otro, que sería el simétrico hacia el otro lado.
En este caso, el ángulo será el theta sub-cero que hemos definido como el ángulo inicial en el que empezaba el movimiento y la velocidad será cero.
Justo, en este punto, la velocidad cambia de sentido por lo que tiene que pasar por un punto en el que sea cero.
Sí a esto lo introducimos en la ecuación de la tensión, lo que obtenemos es que, en los puntos extremos, la tensión será la masa, por la gravedad, por el coseno de theta cero.
Como la velocidad es cero el término, el término de la situación normal, se nos va a anular.
Vale, hemos estudiado el movimiento según el eje y.
Vamos a ver ahora qué ocurre en la dirección tangencial del movimiento.
Bien, lo que tenemos, según el eje x, es que el sumatorio de fuerzas en este caso será la masa por la aceleración tangencial, tangencial porque hemos definido el eje x de esta manera, como tangencial al movimiento.
Si sustituimos aquí las fuerzas que actúan, vemos que en el eje x solamente va a actuar el peso por el seno de alfa, esta componente del peso que hemos puesto negativa porque se opone al movimiento y esto será igual a masa por alfa, por l ¿Qué es este alfa por l.
Pues, la aceleración tangencial sabemos que se define como la aceleración angular por el radio de giro.
De nuevo, el radio es l, la aceleración angular es alfa.
Si, si operamos un poquito con estos números, lo que vemos es a alfa, le hemos llamado la derivada segunda theta respecto al tiempo dos veces, es una aceleración angular.
Entonces, como aquí teníamos la l, la l se nos va a quedar aquí abajo.
No queda g partido de l, por el seno de theta y esto tiene que ser igual a cero.
Bien, esta ecuación podríamos ver una cierta semejanza con la ecuación que define el movimiento armónico simple, que es aquí, bueno, las… Normalmente la posición la vamos a dar como x.
Como éste es un péndulo, iba a ser un movimiento circular, lo vamos a dar con theta, pero en realidad representan lo mismo.
Con el movimiento armónico simple.
Sabemos que la aceleración es menos la aceleración angular al cuadrado por esa misma posición, dada en x o dada en alfa.
¿Aquí qué ocurre?
Si esto lo pasó al otro lado me queda por ahí un seno de alfa, en vez de quedarme un alfa, que es lo que me tendría que quedar.
Theta, perdonad, me tendría que dar theta.
Entonces, ¿Qué pasa?
Que cuando las oscilaciones son muy pequeñitas, cuando estamos muy cerca de la posición de equilibrio el seno del ángulo y el ángulo toman el mismo valor, el mismo valor, o al menos podemos hacer esa aproximación.
Entonces, si tenemos oscilaciones pequeñas, sí que tendremos ya algo muy parecido a la ecuación del movimiento armónico simple.
Por lo tanto, un péndulo simple, sólo va a ser un movimiento armónico simple, en el caso de que tengamos oscilaciones pequeñas.
Y entonces, a partir de aquí y haciendo la equivalencia con la ecuación del movimiento armónico simple, ya podemos sacar la expresión de la velocidad angular del péndulo simple, que es la raíz de la gravedad partido de la longitud del hilo.
A partir de la, de la frecuencia angular o la velocidad angular, ya podemos sacar el período del movimiento, la frecuencia del movimiento, etcétera.
Y así es como se analiza el movimiento de un péndulo simple.
