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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Amérique du Sud novembre 1992 \
EXERCICE 1 5 points
Dans le plan orienté, on considère la figure ci-contre : ABC et DEF sont deux tri- angles équilatéraux directs et
(−−→ AB ,
AC
DE ,
DF
π 3
On note G et H les points tels que EDBG et CDFH soient des parallélogrammes. Le but de l’exercice est de démontrer de deux manières (l’une utilisant les affixes complexes, l’autre utilisant des composées de déplacements) que le triangle AGH est équilatéral.
b
b b
b
b
b
b
b
A
B
C
D
E
F
G
H
I Le plan orienté étant rapporté à un repère orthonormal direct, on note a , b , c , d , e , f , g , h les affixes respectives des points A, B, C, D, E, F, G, H.
1. Montrer que :
c − a = ei^
π (^3) ( b − a ).
2. Exprimer ( f − d ) en fonction de ( e − d ). 3. Exprimer g en fonction de b , d , e et h en fonction de c , d , f. 4. Démontrer que :
h − a = ei^
π (^3) ( g − a ).
En déduire que le triangle AGH est équilatéral.
II. On note : t 1 la translation de vecteur
BD ,
t 2 la translation de vecteur
DC ,
R la rotation de centre D et d’angle de mesure
π 3
On pose T = t 2 ◦ R ◦ t 1.
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
1. Justifier que T est une rotation et préciser son angle. Déterminer l’image de B par T et en déduire le centre de la rotation T. 2. Déterminer l’image de G par T et montrer que le triangle AGH est équilatéral.
EXERCICE 2 4 points
On considère la suite ( un ) n ∈N à termes positifs, telle que u 0 = 5 et vérifiant pour tout entier naturel n :
un + 1 =
un + 12.
1. Montrer que, pour tout entier naturel n , un > 4.
2. On se propose, dans cette question, d’étudier de deux manières la conver- gence de cette suite.
A. Première méthode
a. Montrer que la suite est décroissante. b. Déduire de ce qui précède que la suite est convergente, puis trouver sa limite.
B. Deuxième méthode
a. Montrer que, pour tout entier naturel n ,
un + 1 − 4 6
( un −^ 4).
b. Montrer que, pour tout entier naturel n ,
0 6 un − 4 6
4 n^
c. En déduire que la suite converge et trouver sa limite.
PROBLÈME 12 points
Partie A
Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f ( x ) = −e
p x . On appelle ( C ) sa courbe représentative dans le plan orienté P rapporté à un repère
orthonormal direct
O,
u ,
v
[unité graphique : 2 cm].
1. a. Justifier la dérivabilité de f sur ]0 ; +∞[ et calculer f ′( x ) pour tout réel x de cet intervalle. La fonction f est-elle dérivable en O? b. Préciser le sens de variation de f sur [0 ; +∞[. Étudier la limite de f en +∞. Dresser le tableau de variation de f. 2. Donner une équation de la tangente (T) à la courbe ( C ) au point A d’abscisse 1. 3. Soit ϕ la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par ϕ ( t ) = e t − e t^ et g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :
g ( x ) = −e
p x
e 2 x +
e 2
a. Étudier les variations de ϕ sur ]0 ; +∞[.
Amérique du Sud 2 novembre 1992
