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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Métropole groupe 3^1 juin 1991 \
EXERCICE 1 4 points
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
. À tout point M du plan affixe z , z 6 = 0, on associe le point M ′^ d’affixe
z ′^ = 1 2
z + 1 z
1. On pose z = x + i y où x et y sont des réels. a. Exprimer en fonction de x et y la partie réelle x ′^ et la partie imaginaire y ′ de z ′. b. Déterminer l’ensemble E des points M tels que M ′^ appartienne à l’axe réel. 2. On suppose que M décrit le cercle de centre O et de rayon 2. On écrit alors z sous la forme
z = 2ei t^ , t ∈ [0 ; 2 π ]. a. Exprimer x ′^ et y ′^ en fonction de t. b. En déduire que M ′^ décrit une conique C dont on déterminera le centre et les sommets.
EXERCICE 2 5 points
Dans le plan orienté on considère un carré ABCD de centre O tel que
DA ,
DC
π 2
Soit E le milieu du segment [CD]. On considère alors le carré DEFG de centre O′^ tel que
DE ,
DG
π 2
1. Faire une figure soignée avec AB = 6 cm. 2. Soit s la similitude directe de centre D qui transforme A en B. a. Déterminer les éléments caractéristiques de s. Préciser l’image de E par s. En déduire l’angle
AE ,− BF→
b. On note Γ le cercle circonscrit au carré ABCD et I le point d’intersection des droites (AE) et (BF). Placer Γ et I sur la figure. Montrer que I appartient à Γ. c. Montrer que les droites (ID) et (BF) sont orthogonales.
3. Soit Γ′^ le cercle circonscrit au carré DEFG. Placer Γ′^ sur la figure. Montrer que I appartient à Γ′. 4. Établir que les points C, G et I sont alignés.
- Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
PROBLÈME 11 points
A
1. Déterminer les solutions h sur R de l’équation différentielle (E) :
y ′′^ + 4 y ′^ + 4 y = 0.
2. On considère l’équation différentielle (F)
y ′′^ + 4 y ′^ + 4 y = − 4 x. a. Déterminer les nombres réels a et b tels que la fonction ϕ : x 7 −→ ax + b soit solution de (F). b. Montrer qu’une fonction f est solution de (F) si, et seulement si, f − ϕ est solution de (E). c. En déduire toutes les solutions de (F). d. Donner la solution f de (F) qui vérifie
f (0) = 2 et f ′(0) = −2.
B
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
f ( x ) = x e−^2 x^ + e−^2 x^ + 1 − x.
On appelle C la courbe représentative de f.
On se propose d’étudier cette fonction ainsi que l’équation f ( x ) = 0.
1. a. Calculer la fonction f ′^ dérivée de f. Dresser le tableau de variations de f ′^ sur [0 ; +∞[. Indiquer la limite de f ′^ en +∞. En déduire le signe de f ′^ sur [0 ; +∞[. b. Dresser le tableau de variations de f sur [0 ; +∞[. Indiquer la limite de f en +∞. c. Montrer que C admet une asymptote d que l’on déterminera. Construire d et C , sur un même graphique. 2. a. Établir que l’équation f ( x ) = 0 admet sur [0 ; +∞[ une solution et une seule. On note α cette solution.
b. Justifier l’encadrement : 1 6 α 6 2.
C
On se propose d’étudier une méthode d’approximation de α. On observe pour cela que α est l’unique solution de l’équation g ( x ) = x où g est la fonction définie sur l’intervalle J = [1 ; +∞[ par :
g ( x ) = x e−^2 x^ + e−^2 x^ + 1.
1. Étudier les variations de g sur J. On ne demande pas de construire sa courbe représentative. En déduire que pour tout élément x de J, g ( x ) appartient encore à J.
Métropole groupe 3 2 juin 1991
