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[ Baccalauréat C Amérique centrale juin 1988 \
EXERCICE 1 4 POINTS
Le plan ( P ) est rapporté au repère orthonormal direct
O,
u ,
v
. On considère l’en- semble ( E ) des points M de ( P ) de coordonnées ( x ; y ) vérifiant l’équation
(1) 25
x^2 + y^2
= (3 x − 16)^2.
1. En interprétant géométriquement l’équation (1) démontrer que ( E ) est une conique de foyer O et de directrice la droite (∆) d’équation x =
. Donner la nature et l’excentricité de ( E ). Dans toute la suite de l’exercice, M désigne un point de ( E ) et θ une détermi- nation de l’angle de vecteurs
u ,
O M
2. a. Déduire de l’équation (1) une relation du premier degré entre O M et l’abscisse x de M. b. Démontrer que O M =
5 + 3cos θ
3. On suppose ici que θ appartlent à
]
π 2
π 2
[
La droite (O M ) coupe (∆) en I et recoupe ( E ) en un point M ′.
a. Démontrer que
O M
O M ′^
est une constante indépendante de M.
b. Démontrer que
O M
O M ′^
O I
EXERCICE 2 4 POINTS
On considère dans le plan orienté ( P ), deux points distincts A et B. Pour tout point
M de ( P ), on appelle M ′^ l’image de M dans la rotation r A de centre A, d’angle −
π 3
et
M ′′^ l’image de M dans la rotation r B de centre B, d’angle
2 π 3
1. De l’étude de r B ◦ ( r A)−^1 , déduire que pour tout point M de ( P ), le milieu de [ M ′^ M ′′] est un point fixe J dont on démontrera qu’il appartient au cercle de diamètre [AB]. 2. Le but de cette question est de déterminer l’ensemble des points M pour les- quels M , M ′, M ′′^ sont alignés. a. Pour tout point M de ( P ) distinct de A et B, démontrer que (−−−−→ M M ′^ ,
M M ′′^
M A ,
M B
π 2
modulo 2 π.
b. En déduire l’ensemble des points M du plan tels que M , M ′, M ′′^ soient alignés.
PROBLÈME 12 POINTS
Partie A
On considère la fonction numérique g définie sur I = [−1 ; +∞[ par :
g ( x ) = ln(1 + x ) − x +
x^2 2
x^3 3
Le baccalauréat de 1989 A. P. M. E. P.
1. a. Démontrer que pour tout t de I on a : t
g ′( t ) = − t^3 1 + t
b. En déduire que pour tout t de I on a
∣ g ′( t )
∣ 6 2 | t |^3.
c. Par application de l’inégalité des accroissements finis, déduire de ce qui
précède que pour tout x de 1 on a | g ( x )| 6 2 x^4 [on pourra distinguer deux
cas suivant le signe de x ].
Partie B
Soit f la fonction numérique définie sur ] − 1,+∞[ par
f ( x ) =
x − ln(1 + x ) x^2 si x 6 = 0
f (0) =
On note (C ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère ortho-
normal
O,
ı ,
1. En utilisant les encadrements obtenus au A., démontrer que la fonction f est dérivable en zéro et préciser une équation cartésienne de la tangente au point d’abscisse 0 à la courbe (C ). 2. Soit h la fonction numérique définie sur ] − 1 ; +∞[ par :
h ( x ) =
− x^2 − 2 x 1 + x
a. Étudier le sens de variation de h (on ne demande pas d’étude aux bornes). b. Préciser h (0). En déduire le signe de h ( x ) sur ] − 1 ; +∞[.
3. Calculer f ′( x ) pour x appartenant à ] − 1 ; O [∪]0 ; +∞[ et l’exprimer à l’aide de h ( x ). En déduire le sens de variation de f. 4. Étudier les limites de f en −1 et +∞. 5. Construire avec soin la courbe (C ) en précisant ses asymptotes (on prendra 2 cm pour unité).
Partie C
1. a. Démontrer que, pour tout réel t positif ou nul, on a :
− t^2 6 h ′( t ) 6 0.
b. Pour tout réel x positif ou nul, en déduire par intégration, un encadre- ment de h ( x ) et démontrer que
f ′( x )
2. Soit φ la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par φ ( x ) = f ( x ) − x. De l’étude des variations de φ , déduire que l’équation f ( x ) = x admet une seule solution réelle strictement positive notée a. Vérifier que a < 1.
Partie D
1. On pose u 0 = 1 et un + 1 = f ( un ) pour tout entier naturel n. Montrer par ré- currence sur n , en utilisant le sens de variation de f , que cette suite est bien
définie et que, pour tout entier naturel n , on a : 0 6 un 6 1.
Amérique centrale 2 juin 1988
