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[ Baccalauréat S Centres étrangers \
juin 1996
EXERCICE 1 4 points
1. Soit a un nombre réel. On considère la suite ( un ) de nombres réels définie
pour tout entier naturel n > 1 par la relation de récurrence
un + 1 =
un
et par la condition initiale u 1 = a.
a. Soit ( vn ) la suite de nombres réels définie pour tout entier naturel n > 1
par vn = 13 un − 4. Montrer que ( vn ) est une suite géométrique et déterminer sa raison k. Exprimer vn en fonction de n et a.
b. Prouver que pour tout entier naturel n > 1,
un =
a −
) n − 1 .
c. Déterminer la limite de la suite ( un ).
2. Un professeur oublie fréquemment les clés de sa salle de classe. Pour tout en-
tier naturel n > 1, on note En l’évènement : « le professeur oublie ses clés le
jour n » et En l’évènement contraire de En. Soit pn la probabilité de En et qn celle de En. On note a la probabilité p 1 qu’il oublie ses clés le premier jour. On suppose en outre que les deux conditions suivantes sont réalisées :
- Si le jour n , il oublie ses clés, la probabilité qu’il les oublie encore le jour suivant n + 1 est
- Si le jour n , il n’oublie pas ses clés, la probabilité qu’il les oublie le jour suivant n + 1 est
a. Montrer que, pour tout n > 1, pn + 1 =
pn +
qn. Pour cela, on pourra d’abord calculer les probabilités conditionnelles p ( En + 1 / En ) et p
En + 1 / En
En déduire l’expression de pn + 1 en fonction de pn. b. À l’aide des résultats de la question 1., donner l’expression de pn en fonc- tion de a et n. La limite p de pn dépend-elle de la condition initiale a?
EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire
Le plan P est rapporté au repère orthonormal direct
O,
u ,
v
. Lorsqu’un point de
P est désigné par une lettre majuscule (A, B, G,... , M 1 ,... , M′,... ), on convient de désigner son affixe complexe par la lettre minuscule correspondante ( a , b , g , ... , m 1 , ... , m ′, ...). Soient A, B, C trois points du plan P. On note G leur isobarycentre. À tout point M du plan P on associe les points M 1 , M 2 , M 3 isobarycentres respectifs de {M, B, C},{M, A, C} et {M, A, B}. On note enfin M′^ l’isobarycentre de {M 1 ,M 2 ,M 3 }.
1. a. Tracer le triangle ABC et son isobarycentre G sur une figure. Exprimer
OG , en fonction de
OA ,
OB et
OC. En déduire l’expression de g en fonction de a , b , c. b. Exprimer de même m 1 , m 2 , m 3 puis m ′^ en fonction de a , b , c , m.
2. Soit f la transformation qui à tout point M de P associe le point M′. a. Montrer que m ′^ − g = 13 ( m − g ). b. En déduire la nature de la transformation f et ses éléments caractéris- tiques. c. Placer sur la figure l’image A′B′C′^ du triangle ABC par la transformation f. d. Déterminer le rapport des aires de ces deux triangles.
EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité
On considère deux points distincts donnés F et F′^ du plan orienté. On note O le milieu de [FF′] et ∆ la médiatrice de ce segment. On pose c = OF. On note A et B les points de ∆ tels que OA = OB = c. On note s la symétrie centrale de centre F et r la rotation de centre F et d’angle dont
une mesure est
π 2
Soient D et D′^ les droites symétriques de ∆ par rapport à F et F′. Ces différents éléments sont placés sur la figure ci-dessous. Il convient de reproduire cette figure sur la copie.
1. a. On considère les points P = r (A) et Q = s (A). Prouver que r (Q) = B. Déterminer la nature du quadrilatère APQB et tracer ce quadrilatère sur la figure. b. Déterminer les images respectives du segment [AB] par s , par r et par r ◦ s. c. À tout point N du segment [AB], on associe les points H = s (N), I = r (N), et J = r (H) = ( r ◦ s )(N). Déterminer la nature du quadrilatère NIHJ et tracer ce quadrilatère sur la figure. 2. On note Γ le cercle de centre N et de rayon NI. a. Montrer que pour tout point M du plan,
MH^2 + MN^2 = 2
MF^2 + NF^2
b. En déduire que Γ est l’ensemble des points M du plan vérifiant MH^2 − 2MF^2 = 0.
3. On note K la projection orthogonale de H sur ∆ et on pose α = ON où
0 6 α 6 c.
Exprimer NK en fonction de α , puis NF et NI en fonction de α et de c. En déduire que le cercle Γ coupe la droite (HK) en deux points M 1 et M 2 dis- tincts ou confondus.
4. Prouver que
M1F
M1H
p 2
En déduire que lorsque N parcourt le segment [AB], les points M 1 et M 2 appar- tiennent à une ellipse E dont F est un foyer et dont on précisera l’excentricité et la directrice associée à F. Placer les sommets de E et tracer cette ellipse.
1. Dérivée de fk a. Calculer fk ( x ) sur ]0 ; 1]. b. Soit A k le point de C k d’abscisse 1. Montrer que la tangente T k à C k au point A k est la droite (OA k ). 2. Étude à l’origine a. Établir que fk est continue en 0. b. Déterminer la tangente à C k en O. On ne demande pas d’étudier les variations de fk.
C. Étude et représentation de f 1 et f 1/
1. Étude de f 1 et tracé de C 1 a. Prouver que pour tout x ∈]0 ; 1], f (^) 1 ′( x ) = (ln x + 1)^2. b. Déterminer la position relative des courbes C 0 et C 1. c. Établir le tableau de variation de f 1 et tracer C 1 sur le même graphique que C 0 en précisant le coefficient directeur de la tangente T 1 à C 1 au point A 1. 2. Étude de f 1/2 et tracé de C 1/ a. Prouver que pour tout x ∈ [0 ; 1],
f 1/2( x ) = f 0 ( x ) + f 1 ( x ) 2
b. En déduire une construction de C1/2 à partir de C 0 et C 1 et tracer C1/ sur le même graphique que C 0 et C 1 en précisant la tangente T1/2 à C1/ au point A1/2.
Partie II - Partage du carré OILJ en quatre parties de même aire
Soit α un nombre réel tel que 0 < α 6 1.
1. Calcul d’une intégrale
On pose : I ( α ) =
α
x (ln x )^2 d x.
a. Prouver, en effectuant une intégration par parties, que :
I ( α ) = −
α^2 2
(ln α )^2 −
α
x ln x d x.
b. En effectuant à nouveau une intégration par parties prouver que :
I ( α ) = −
α^2 2
(ln α )^2 +
α^2 2
ln α +
α^2 4
c. Déterminer la limite I de I ( α ) lorsque α tend vers 0.
2. Calcul d’aires
a. On pose : Sk ( α ) =
α
fk ( x ) d x. Exprimer Sk ( α ) en fonction de α. En déduire la limite Sk de Sk ( α ) quand α tend vers 0. On admettra que cette limite représente l’aire (exprimée en unités d’aire) du domaine plan limité par la courbe C k , l’axe (O x ) et la droite d’équa- tion x = 1. b. En déduire que les courbes C 0 , C1/2 et C 1 partagent le carré OIU en quatre parties de même aire.
