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[ Baccalauréat S Polynésie juin 1996 \
EXERCICE 1 4 points
Un sondage effectué récemment dans une région montagneuse à propos de la construc- tion d’un barrage donne les résultats suivants :
- 65 % des personnes interrogées sont contre la construction de ce barrage ;
- parmi les personnes qui sont contre cette construction, 70 % sont des écolo- gistes ;
- parmi les personnes favorables à la construction, 20 % sont des écologistes. On note C l’évènement : « la personne interrogée est contre la construction », et C l’évènement contraire. On note E l’évènement : « la personne interrogée est écologiste ». On note F l’évènement : « la personne interrogée est contre la construction et n’est pas écologiste ». 1. Calculer les probabilités p ( C ), p ( E / C ), p
E / C
a. Calculer la probabilité qu’une personne interrogée soit contre la construc- tion du barrage et soit écologiste. b. Calculer la probabilité pour qu’une personne interrogée soit pour cette construction et soit écologiste. c. En déduire la probabilité qu’une personne interrogée soit écologiste.
2. a. Montrer que la probabilité de F est égale à 0,195. b. On choisit au hasard 5 personnes parmi celles qui ont été interrogées lors du sondage. Quelle est la probabilité qu’il y en ait au moins une qui soit contre la construction du barrage et ne soit pas écologiste? (On suppose que les choix des 5 personnes sont indépendants les uns des autres.)
EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire
La lettre C désigne l’ensemble des nombres complexes.
Partie A
Soit P le polynôme défini sur C par :
P ( z ) = z^2 + 2 z
p 3 + 4.
1. Résoudre dans C l’équation P ( z ) = 0. 2. Écrire les solutions sous forme trigonométrique.
Partie B
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
(unité 4 cm).
Soient A, B et C les points d’affixes respectives a = 2i, b = −
p 3 + i et c = −
p 3 − i.
1. Placer les points A, B et C sur une figure. 2. Soit Z =
a − b c − b
a. Interpréter géométriquement le module et un argument de Z. b. Écrire Z sous forme algébrique et sous forme trigonométrique. c. En déduire la nature du triangle ABC ainsi qu’une mesure, en radians, de l’angle
BC ,
BA
3. Calculer l’aire du triangle ABC en centimètres carrés.
Baccalauréat S A. P. M. E. P.
EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
Soit Ω le point de coordonnées (−2 ; 3).
Soit S la similitude plane directe de centre D, d’angle
π 4
et de rapport
p
À tout point M d’affixe z = x + i y ( x et y réels), S associe le point M ′^ d’affixe z ′^ = x ′^ + i y ′^ ( x ′^ et y ′^ réels).
1. Exprimer z ′^ en fonction de z. Quelle est la similitude réciproque S ′^ de S? 2. En déduire l’expression de x ′^ et de y ′^ en fonction de x et de y. 3. Soit C ′^ la conique dont une équation cartésienne dans le repère
O,
u ,
v
est :
9 x^2 + 16 y^2 − 144 = 0.
Quelle est la nature de C ′^? Préciser les coordonnées des foyers et des sommets de C ′. Calculer l’excentricité de C ′^ et tracer C ′^ à l’aide des éléments trouvés.
4. Soit C la conique image de C ′^ par la similitude S ′^ (autrement dit C ′^ est l’image de C par la similitude S ). Sans chercher à déterminer une équation cartésienne de C , donner la nature de C , placer son centre et ses sommets et donner son allure sur la même figure.
PROBLÈME 11 points
Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormal
O,
ı ,
(unité graphique : 4 cm).
Partie A - Étude d’une fonction
1. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :
f ( x ) = x + ln
( (^) x 2 x + 1
On désigne par C (^) f la courbe représentative de f dans le repère
O,
ı ,
a. Calculer les limites de f aux bornes de ]0 ; +∞[. b. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations. 0,75 0, c. Montrer que la droite (∆) d’équation y = x − ln 2 est asymptote à C (^) f. Étudier la position de C (^) f par rapport à (d). d. Montrer que l’équation f ( x ) = 0 admet une solution unique α et justifier que α appartient à l’intervalle
[
]
2. Soit la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par
g ( x ) = (2 x + 1)e− x^.
a. Étudier la limite de g en +∞. b. Étudier les variations de g et dresser son tableau de variations. c. Tracer la courbe C g représentative de g dans le repère
O,
ı ,
et sa tangente à l’origine. d. Soit b un réel strictement positif. Déterminer, en cm^2 , l’aire A ( b ) de la partie du plan limitée par l’axe des ordonnées, l’axe des abscisses, la courbe C g et la droite d’équation x = b. (On pourra utiliser une intégration par parties.)
Polynésie 2 juin 1996
