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Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 7, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

Université Bordeaux-IMéthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

Exercitation sur les méthodes d'analyse numérique – 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le repère orthonormal direct, les images de B et C par F.

Typologie: Exercices

2013/2014

Téléchargé le 10/04/2014

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[Baccalauréat S groupe II bis(groupes II–III) \
juin 1996
EXER CIC E 1 4 points
On dispose de deux urnes :
•une urne U1dans laquelle se trouvent trois boules blanches et deux boules
noires ;
•une urne U2dans laquelle se trouvent deux boules blanches et trois boules
noires.
Une épreuve consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules de chaque
urne : on obtient ainsi quatre boules, les tirages dans chaque urne étant équipro-
bables.
1. Montrer que la probabilité de l’évènement E :
« parmi les quatre boules tirées, il y a exactement deux boules blanches » est
égale à 0,46.
2. On note X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre deb oules
blanches obtenues.
a. Déterminer la loi de probabilité de X.
b. Le joueur doit verser 2,50 F avant d’effectuer le tirage; il reçoit à l’issue
du tirage 1 F par boule blanche obtenue. Le jeu est-il équitable ?
3. Calculer la probabilité d’avoir tiré une et une seule boule blanched el’urne U1
sachant qu’on a tiré deux boules blanches.
4. On ne considère que l’urne U1, de laquelle on tire toujours au hasard et simul-
tanément deux boules. On nomme succès le tirage de deux boules blanches.
On renouvelle dix fois la même épreuve (en remettant chaque fois les boules
tirées dans l’urne). Déterminer la probabilité d’avoir au moins un succès sur
les dix tirages.
EXER CIC E 2 5 points
Enseignement obligatoire
Dans le plan complexe P, muni d’un repère orthonormal direct ³O, −→
u,−→
v´, on consi-
dère les points A, B, C et D d’affixes respectives :
zA=−2i, zB=4−2i, zC=4+2i, zD=1.
1. a. Placer les points A, B, C et D sur une figure, qui sera peu à peu complétée.
On prendra pour unité graphique 2 cm.
b. Préciser la nature du triangle ABC.
2. On désigne par Fl’application qui, à tout point Mde P, d’affixe zet distinct de
A, associe le point M′d’affixe :
z′=z−(4+2i)
z+2i .
a. Déterminer les images de B et C par F.
b. Déterminer l’ensemble Edes points Md’affixe ztelsque ¯
¯z′¯
¯=1. Construire
E.
3. a. Montrer que, pour tout nombre complexe zdistinct de −2i, on a :
¡z′−1¢(z+2i) =−4−4i.
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[ Baccalauréat S groupe II bis(groupes II–III) \

juin 1996

EXERCICE 1 4 points

On dispose de deux urnes :

  • une urne U 1 dans laquelle se trouvent trois boules blanches et deux boules noires ;
  • une urne U 2 dans laquelle se trouvent deux boules blanches et trois boules noires. Une épreuve consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules de chaque urne : on obtient ainsi quatre boules, les tirages dans chaque urne étant équipro- bables. 1. Montrer que la probabilité de l’évènement E : « parmi les quatre boules tirées, il y a exactement deux boules blanches » est égale à 0,46. 2. On note X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de boules blanches obtenues. a. Déterminer la loi de probabilité de X. b. Le joueur doit verser 2,50 F avant d’effectuer le tirage ; il reçoit à l’issue du tirage 1 F par boule blanche obtenue. Le jeu est-il équitable? 3. Calculer la probabilité d’avoir tiré une et une seule boule blanche de l’urne U 1 sachant qu’on a tiré deux boules blanches. 4. On ne considère que l’urne U 1 , de laquelle on tire toujours au hasard et simul- tanément deux boules. On nomme succès le tirage de deux boules blanches. On renouvelle dix fois la même épreuve (en remettant chaque fois les boules tirées dans l’urne). Déterminer la probabilité d’avoir au moins un succès sur les dix tirages.

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

Dans le plan complexe P, muni d’un repère orthonormal direct

O,

u ,

v

, on consi- dère les points A, B, C et D d’affixes respectives :

z A = −2i, z B = 4 − 2i, z C = 4 + 2i, z D = 1.

1. a. Placer les points A, B, C et D sur une figure, qui sera peu à peu complétée. On prendra pour unité graphique 2 cm. b. Préciser la nature du triangle ABC. 2. On désigne par F l’application qui, à tout point M de P, d’affixe z et distinct de A, associe le point M ′^ d’affixe :

z ′^ =

z − (4 + 2i) z + 2i

a. Déterminer les images de B et C par F. b. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z tels que

∣ z ′

∣ (^) = 1. Construire E.

3. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z distinct de −2i, on a : ( z ′^ − 1

( z + 2i) = − 4 − 4i.

b. Montrer que, pour tout point M , distinct de A, et dont l’image par F est notée M ′, on a :     

M ′^6 = D

D M ′^ · A M = 4

p 2 (−→ u ,

D M ′^

u ,

A M

5 π 4

( mod 2 π )

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

A B

D C

M

N

P

Q

E

F

G

H

O

Dans le plan orienté, on considère la figure ci-dessus. ABCD est un carré de centre

O et tel que

OA ,

OB

π 2

Les points M, N, P et Q sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. Le but de l’exercice est de prouver que le quadrilatère EFGH est un carré, puis de comparer son aire à celle du carré ABCD. Dans chacune des questions, on énoncera avec précision les propriétés utilisées.

1. On se propose de démontrer que EFGH est un carré. Soit r la rotation de centre O et d’angle −

π 2

a. Déterminer l’image par r du point N, puis celle du segment [AN]. Déterminer l’image par r du point P, puis celle du segment [BP]. En dé- duire r (F) et la nature du triangle FOG. b. Expliquer alors comment terminer la démonstration demandée.

2. Comparaison des aires des carrés ABCD et EFGH. a. Justifier les égalités AE = EH = DH et AE = 2QH. b. Soit K l’image de H par la symétrie s de centre Q. Démontrer que AEHK est un carré et comparer son aire à celle du triangle AED. c. En déduire le rapport entre les aires des carrés ABCD et EFGH. 3. Généralisation de la question 1. On suppose maintenant que les points M′^ , N′, P′^ et Q′^ vérifient respectivement les égalités :

−−−→ AM′^ =

AB ,

BN′^ =

BC ,

CP′^ =

CD et

DQ′^ =

DA.

Partie C - Étude de la fonction h

1. Quelle est la fonction dérivée de h? Étudier le sens de variation de h. 2. Soient I ( x ) =

∫ x

0

t e− t^ d t et J ( x ) =

∫ x

0

t^2 e− t^ d t.

a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer I ( x ). Déterminer la limite de I ( x ) en plus l’infini. b. À l’aide de deux intégrations par parties, calculer J ( x ). Déterminer la limite de J ( x ) en plus l’infini. Expliciter h ( x ) et déterminer la limite de h ( x ) en plus l’infini.