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[ Baccalauréat S Amérique du Nord \
juin 1996
EXERCICE 1 4 points
On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On imagine n sacs de jetons S 1 , S 2 ,... , S n. Au départ, le sac S 1 contient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc, et chacun des autres sacs contient 1 jeton noir et 1 jeton blanc. On se propose d’étudier l’évolution des tirages successifs d’un jeton de ces sacs, ef- fectués de la façon suivante :
- Première étape : on tire au hasard un jeton de S 1 ,
- Deuxième étape : on place ce jeton dans S 2 et on tire, au hasard, un jeton de S 2 ,
- Troisième étape : après avoir placé dans S 3 le jeton sorti de S 2 on tire, au ha- sard, un jeton de S 3 et... ainsi de suite,...
S 1 S 2 S 3
Pour tout entier naturel k tel que 1 6 k 6 n , on note Ek l’évènement : « le jeton sorti
de S k est blanc », et Ek l’évènement contraire.
1. a. Déterminer la probabilité de E 1 notée p ( E 1 ) et les probabilités condi- tionnelles : p ( E 2 / E 1 ) et p
E 2 / E 1
En déduire la probabilité de E 2 notée p ( E 2 ).
b. Pour tout entier naturel k tel que 1 6 k 6 n , la probabilité de Ek est notée
pk. Justifier la relation de récurrence suivante :
pk + 1 =
pk +
2. Étude d’une suite ( uk ) : On note ( uk ) la suite définie par u 1 =
et, pour tout entier k > 1,
uk + 1 =
uk +
a. On considère la suite ( vk ) définie par, pour tout élément k de N∗^ par vk = uk −
Démontrer que ( vk ) est une suite géométrique, b. En déduire l’expression de uk en fonction de k. Montrer que la suite ( uk ) est convergente et préciser sa limite,
3. Dans cette question, on suppose que n = 10. Déterminer pour quelles valeurs de k on a :
0,4999 6 pk 6 0,5.
EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire
L’espace étant rapporté à un repère orthonormal de sens direct
O,
OI ,
OJ ,
OK
on considère le cube de sommets O, I, R, J, N, K, L, M dont une représentation est donnée ci-dessous
O I
R
J
K
L
N M
On note A le milieu de [IL] et B le point défini par :
−−→ KB =
KN.
On appelle P le plan passant les points O, A et B.
1. a. Préciser les coordonnées des points A et B. b. Déterminer les coordonnées du vecteur
u tel que
u =
OA ∧
OB.
2. a. En déduire que l’aire du triangle OAB vaut
p 14 6
b. Le point C
appartient-il à P? Justifier votre réponse.
3. On considère le tétraèdre OABK. a. Montrer que le volume vaut
b. En déduire la distance du point K au plan P. N. B. : on rappelle que le volume d’un tétraèdre est le tiers du produit de l’aire d’une base par la longueur de la hauteur correspondante.
EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité
Dans le plan orienté, on considère quatre points distincts A, B, C et D se succédant dans le sens trigonométrique sur un même cercle.
b
b
b
b
A
B
C
D
4. a. Montrer que l’équation f ( x ) = 0 admet une seule solution notée α et que − 1 < α < 0. b. Compléter le tableau suivant :
x −0,95 −0,94 −0,93 −0,92 −0,91 −0, f ( x )
Remarque : Pour f ( x ), on donnera une approximation décimale à 10−^2 près. Donner un encadrement d’amplitude 10−^2 de α.
Partie C
Soit J =
α
f ( x ) d x , où α est le réel défini dans la partie B, mais il n’est pas indispen-
sable d’avoir traité les questions de la partie B pour traiter cette partie jusqu’au 5. a. inclus.
1. Interpréter graphiquement J.
Sans chercher à calculer J , montrer géométriquement que 0 6 J 6 − α.
2. a. Montrer que, pour tout x > −1,
x x + 1
x + 1
b. Calculer
α
x x + 1
d x en fonction de α.
3. Calculer, à l’aide d’une intégration par parties : ∫ 0
α
ln( x + 1) d x en fonction de α.
4. a. Calculer l’intégrale J en fonction de α. b. En utilisant le fait que α est solution de f ( x ) = 0, montrer que J = α − 1 + e− α ( α + 2). 5. Soit g la fonction définie sur R par :
g ( x ) = x − 1 + e− x^ ( x + 2).
a. Calculer g ′. Montrer que pour tout élément x de R, g ′( x ) = e− x^ h ( x ), où h est la fonction définie dans la partie A. En déduire le signe de g ′( x ) et le sens de variation de g. b. Utiliser en particulier l’encadrement d’amplitude 10−^2 de α pour donner un encadrement de J puis une valeur approchée de J en indiquant la précision. Remarque : On indiquera sur la copie les résultats utilisés fournis par la calculatrice.
