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[ Baccalauréat S Japon juin 1996 \
EXERCICE 1 4 points
Dans cet exercice, les résultats demandés seront donnés sous forme de fractions.
On dispose de trois dés à 6 faces, parfaitement équilibrés. Sur le premier, 2 faces sont bleues ; sur le deuxième, 3 faces sont bleues ; sur le troi- sième, 5 faces sont bleues ; les autres faces sont rouges.
Partie A
Dans un premier temps, on considère le premier dé. On le lance 5 fois de suite, les lancers sont indépendants.
1. Quelle est la probabilité d’obtenir 4 fois une face bleue et une face rouge dans cet ordre? 2. Quelle est la probabilité d’obtenir 4 fois une face bleue et une face rouge? 3. Quelle est la probabilité d’avoir au moins une face bleue?
Partie B
On considère maintenant les trois dés.
1. On prend au hasard et de façon équiprobable l’un des trois dés et on le lance. Quelle est la probabilité d’obtenir une face bleue? 2. Quelle est la probabilité d’avoir lancé le troisième dé sachant que l’on a ob- tenu une face bleue?
EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
[unité gra- phique 2 cm]. À tout complexe z , distinct de 4, on associe le nombre :
Z =
i z − 4 z − 4
On note A le point d’affixe 4 et on considère l’ensemble C des points M du plan, distincts de A, et d’affixe z telle que Z soit un nombre réel. On se propose de déterminer et de construire cet ensemble C par deux méthodes différentes.
1. Méthode analytique
a. On pose : z = x + i y et Z = X + i Y avec x , y , X , Y réels. Exprimer X et Y en fonction de x et y. b. Écrire une équation cartésienne de C. Reconnaître la nature de C et ca- ractériser cet ensemble. Construire C.
2. Méthode géométrique On considère le point B d’affixe −4i.
a. Vérifier que
i z − 4 z − 4
est réel si et seulement si le nombre
z + 4i z − 4
est imagi- naire pur. On pourra remarquer que :
i z − 4 = i( z + 4i).
b. Quelles sont les affixes des vecteurs
A M et
B M? En interprétant géo- métriquement la condition ci-dessus, établir que M appartient à C si et seulement si
A M et
B M sont orthogonaux. En déduire la nature de C , et caractériser cet ensemble.
EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
O,
ı ,
, unité graphique : 2 cm.
1. Étude d’une courbe paramétrée C On considère la courbe C définie paramétriquement par : t { x = f ( t ) = t^ 2 2 +^ t y = g ( t ) = − t^ 2 2 +^ t^
t ∈ R.
a. Étudier conjointement les variations sur R des fonctions f et g. b. Préciser les points de C où la tangente est parallèle à l’un des axes de coordonnées. c. Préciser les points d’intersection de C avec chacun des axes O x et O y. Donner un vecteur directeur des tangentes aux points obtenus. Dessiner C.
2. On se propose de démontrer que la courbe C est une parabole, en étudiant son image par une transformation particulière du plan. a. Le plan est assimilé au plan complexe. On considère l’application R qui, à tout point M du plan d’affixe z , associe le point M ′^ d’affixe z ′^ =
(1 + i) p 2
z.
Quelle est la nature de R? Déterminer ses éléments géométriques. b. Calculer en fonction de t l’affixe de M ′^ lorsque M est le point d’affixe : f ( t ) + i g ( t ). En déduire l’expression en fonction de t des coordonnées x ′ et y ′^ du point M ′. Écrire une équation cartésienne de la courbe C ′^ image par R de la courbe C. Représenter C ′^ sur la même figure que C. Pourquoi peut-on affirmer que C est une parabole?
PROBLÈME 11 points
Le graphique ci-dessous présente dans un même repère orthonormal le tracé de deux courbes, C (^) f et C g. L’une, la courbe C (^) f est la courbe représentative de la fonction f définie sur l’inter- valle [0 ; +∞[ par : x 7 −→ f ( x ) = (1 − x )
p x. L’autre, la courbe C g , représente la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
{ g ( x ) = − x ln x pour x strictement positif g (0) = 0
3. a. Calculer : lim a → 0 ( I ( a ) − J ( a )). [On admettra que lim x → 0
x^2 ln x
= 0].
b. Donner une interprétation géométrique de cette limite.
Partie C - On considère l’équation, définie dans R+^ par : g ( x ) = −24. Dans cette par- tie, on se propose de déterminer une valeur approchée de la solution α de cette équation.
1. Justifier que l’équation proposée a dans R+^ une solution α et une seule et que : 9 < α < 11. Vérifier que α est solution de l’équation :
x =
ln x
2. Soit h la fonction définie sur [9 ; 11] par :
h ( x ) =
ln x
a. Démontrer, que pour tout réel x de l’intervalle [9 ; 11], h ( x ) appartient aussi à l’intervalle [9 ; 11]. b. Démontrer, pour tout x de l’intervalle [9 ; 11], la double inégalité :
∣∣ h ′( x )
3(ln 3)^2
c. En déduire, pour tout réel x de l’intervalle [9 ; 11], l’inégalité :
| h ( x ) − h ( α )| 6 0,56| x − α |.
3. On considère la suite ( un ) définie par récurrence : { u 0 = 9 un + 1 = h ( un ) pour tout entier naturel n. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , un appartient
à l’intervalle [9 ; 11], puis que l’inégalité | un + 1 − α | 6 0,56| un − α | est vé-
rifiée.
b. En déduire, que, pour tout entier naturel n l’inégalité | un − α | 6 2(0,56) n
est vérifiée. Démontrer que la suite ( un ) converge vers α. c. Trouver le plus petit entier naturel n pour lequel on a l’inégalité :
2(0,56) n^ < 0,01.
Soit n 0 cet entier, que représente pour α le terme un 0 correspondant? À l’aide de votre calculatrice, donner une approximation décimale à 10−^2 près de un 0.
