Pobierz ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ 0 ˙ , i więcej Publikacje w PDF z Algebra tylko na Docsity!
Definicja Niech m i 1. n będą liczbami naturalnymi. Macierzą prostokątną o ݉ wierszach i ݊ kolumnach,
nazywamy ሻ ݆,݅ሺ , gdzie ݅ funkcj œሼ1,2, … ,݉ ሽę przyporz ,݆ œሼ1,2, … ,݊ ሽądkowują c,ą liczb każędej ܽ uporządkowanej parze liczb naturalnych
Twierdzenie 1) ܣ ܤ ൌ ܤ ܣ 1. (własności działań na macierzach)
- ሺ ܣ ܤሻ ܥൌ ܣ ሺ ܤ ܥሻ ܣ 0 ൌ ܣ
gdzie^ 10) ܫ ܣoznacza^ ÿܫ ൌ ܫ^ ÿܣ ൌ ܣ macierz, jednostkową a 0 macierz zerową.
Rozpatrzmy macierz kwadratową stopnia ݊ :
⎥⎥
n n nn
nn a a a
A aa aa aa ... ... ...... ...
1 2
2111 2212 21
Z elementów każdego wiersza żadne macierzydwa nie ܣ nalewybieramyżały do potej jednym samej elemenciekolumny. tak,Otrzymamy aby spoś ródw ten wybranych sposób ݊ elementów, z których tworzymy iloczyn: a 1 (^) i 1 (^) ⋅ a 2 i 2 ⋅...⋅ anin , pisz drugieąc jegowska (^) źczynnikiniki okre wś (^) lajkolejnoące numeryści odpowiadaj kolumn ątworzcej numeromą jedną z wierszymożliwych macierzy. permutacji Wówczas liczb 1,2, … ,݊ porządku. naturalnym,Jeżeli w dowolnej to mówimy, permutacji że permutacja podzbioru zawiera liczb naturalnych inwersję. występują liczby nie w
Definicja Niech ݇ oznacza 2. liczbę inwersji w permutacji ݅
( 1 ) ଵ^ ݅,^ ଶ^ , … ,݅...^ .^ Wyra, żenie gdzie sumowanie przebiega po∑ wszystkich−^ k^ ⋅ a^1 i^1 ⋅ a mo^2 i^2 ż⋅liwych⋅ anin permutacjach ݅ naturalnych 1,2, … ,݊ nazywamy wyznacznikiem macierzy ܣ i oznaczamy symbolemଵ^ ݅,^ ଶ^ , … ,݅ det ܣ^ ^ liczb. Definicja Minorem 3. ܯ z macierzy ܣ poprzez^ macierzy usuni^ kwadratowejęcie ݅ ‐tego^ ܣwiersza^ stopnia oraz^ ݊ nazywamy ݆ ‐tej kolumny.^ wyznacznik^ macierzy^ powstałej Definicja Dopełnieniem 4. algebraicznym elementu ܽ
iloczyn ሺെ1ሻା ÿܯ ,^ które^ oznaczamy^ symbolem^ ܦ,^ nazywamy
Twierdzenie Wyznacznik (^) równy 2. (Laplace’a) jest sumie wszystkich iloczynów każdego elementu dowolnego wiersza (kolumny) i odpowiadającego temu elementowi dopełnienia algebraicznego: det A = ai 1 Di 1 + ai 2 Di 2 +...+ ainDin , 1 ≤ i ≤ n lub det A = a 1 j D 1 j + a 2 jD 2 j +...+ anjDnj , 1 ≤ j ≤ n.
Twierdzenie 1) Jeżeli (^) 3. jakikolwiek(własności wyznaczników)wiersz (lub kolumna) macierzy składa się z samych zer to jej
- wyznacznikWyznacznik^ jestmacierzy^ równy równy^ zero, jest wyznacznikowi macierzy transponowanej,
- Przestawienie wyznacznika, dwóch wierszy (kolumn) w macierzy powoduje zmianę znaku jej
- WyznacznikWspólny czynnik macierzy wszystkich o dwóch elementówjednakowych danego wierszach wiersza (kolumnach) (danej jestkolumny) równy mozeru,żna wyłączyć przed znak wyznacznika,
Twierdzenie Rząd macierzy 6. jest równy najwyższemu ze stopni jej nieosobliwych podmacierzy.
Twierdzenie Rząd macierzy 7. nie ulega zmianie, gdy:
- przestawimydo dowolnego dwa wierszawiersze (kolumny)(kolumny) macierzy, macierzy dodamy inny wiersz (kolumnę)
- pomnopomnożżonyymy^ przez dowolny^ dowoln wierszą^ liczb (kolumnę^ rzeczywistę) macierzyą, przez dowolną liczbę różną od zera,
- usuniemytransponujemy z macierzy macierz. wiersz (kolumnę) złożoną z samych zer,
Definicja Przekszta 7. łceniami elementarnymi macierzy nazywamy następujące działania:
- przestawimydo dowolnego dwa wierszawiersze (kolumny)(kolumny) macierzy, macierzy dodamy inny wiersz (kolumnę)
- pomnopomnożżonyymy^ przez dowolny^ dowoln wierszą^ liczb (kolumnę^ rzeczywistę) macierzyą, przez dowolną liczbę różną od zera. Twierdzenie Przekształcenia 8. elementarne nie zmieniają rzędu macierzy.
Definicja Macierz kwadratowa 8. ିܣଵ (^) stopnia n spełniająca warunek: A ⋅ A −^1 = A −^1 ⋅ A = I , gdzie ܣ stopnia ܫ jest ݊ (^) .macierzą jednostkową, nazywamy macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej
Twierdzenie Jeżeli macierz 9. kwadratowa ܣ jest macierzą nieosobliwą, to istnieje do niej macierz odwrotna ିܣଵ^ , przy czym A −^1 =det^1 AAd.
Symbol algebraicznych. ܣௗ^ oznacza macierz dołączoną , czyli transponowaną macierz dopełnień
Twierdzenie Jeżeli ܣ i ܤ są 10. nieosobliwymi macierzami tego samego stopnia, to
( A ⋅ B ) −^1 = B −^1 ⋅ A −^1.
Twierdzenie Wyznacznik macierzy 11. odwrotnej ିܣଵ (^) jest odwrotnością wyznacznika macierzy ܣ, to jest
det A −^1 =det^1 A.
Twierdzenie Macierz odwrotna 12. do macierzy odwrotnej ିܣଵ (^) jest identyczna z daną macierzą, to jest
( A −^1 ) −^1 = A.
Twierdzenie Macierz transponowana 13. macierzy odwrotnej równa jest macierzy odwrotnej do macierzy transponowanej, to jest
( A −^1 ) T = ( AT )− 1.
