02 - Fundamentos Matematica III, Notas de estudo de Engenharia de Produção

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FUNDAMENTOS

DA

MATEMÁTICA III

Fundamentos da Matemática III

Apresentação da Disciplina

Prezado aluno,

Este texto compreende uma série de conteúdos em Matemática, elabo-

rado especialmente na forma de resolução de problemas para a modali-

dade de ensino a distância que aposta e só se torna possível por acredi-

tar na auto-aprendizagem.

Nossa intenção, aqui, é o de apresentar alguns tópicos vistos no ensino

médio e que serão separados em quatro temas: Trigonometria, Números

Complexos, Polinômios e Equações Algébricas, incluindo seus aspec-

tos históricos. Enfim, o conteúdo exposto, de forma clara e didática, foi

concebido de modo a facilitar o seu aprendizado.

Para um bom aproveitamento, procure compreender passo a passo to-

das as deduções e definições. Resolva todos os exercícios propostos

e não deixe de fazer os desenhos, pois, em geral, eles facilitam a com-

preensão. O estudo do conteúdo aqui apresentado proporcionará a você

um belíssimo reencontro com a Matemática.

Bons estudos!

Prof. Gilclécio Dantas.

Fundamentos da Matemática III

Trigonometria e Números

Complexos

Trigonometria

Trigonometria

1.1 Introdução

Historicamente, existem vestígios de um estudo de Trigonometria entre os babilônios, que a usavam para resolver problemas práticos de navegação, de Astronomia e de Agrimensura.

As correspondências entre relações das medidas dos lados de um triângulo retângulo e da medida dos seus ângulos foram, sistematicamente, empregadas, pela primeira vez, pelo astrônomo grego Hiparco, por volta do ano 140 a.C.

A Trigonometria não se limita ao estudo de triângulos. Sua aplicação hoje em dia se estende, por exemplo, à Análise, à Eletricidade, à Mecânica, à Acústica, à Topografia, etc. Do ponto de vista etimológico, a palavra Trigonometria significa “medida dos triângulos”, sendo formada por três radicais gregos tri = três, gonos = ângulo e metron = medir.

1.2 Ângulos

β α

Vértice

Um ângulo no plano é uma região delimitada por duas semi-retas de origem no mesmo ponto. Na figura, α é a menor região delimitada pelas semi-retas. Outro ângulo definido pelas semi-retas é o ângulo β, que é uma região de abertura visivelmente maior que a o ângulo α. Os ângulos α e β na figura ao lado dizem respeito a ângulos no plano (Existem os chamados ângulos sólidos , definidos no espaço, mas estão fora do âmbito deste estudo). No plano, o sentido positivo atribuído aos ângulos é contrário ao dos ponteiros do relógio. Na figura ao lado está indicado o sentido de cresci- mento de um ângulo. O ângulo α aumenta se a abertura aumentar no sentido indicado pela seta. O sentido negativo é definido pela semi-reta OA movendo-se no sentido horário.

α O

A

Fundamentos da Matemática III

Exemplo 1.2. Converter 25 π rad em graus.

Solução: Temos 180 ◦^ —— π rad x —— 25 π rad

Então,

x =

2 π 5 ·^180 π = 72

Exemplo 1.3. Exprimir 300 ◦^ em radianos.

Solução: Estabelecemos a seguinte regra de três simples:

180 ◦^ ——— πrad 300 ◦^ ——— x

Daí,

180 ◦ 300 ◦^ =^

π x ⇒^

5 =^

π x ⇒^ x^ =

5 π 3 rad

1.2.3 Classificação de Ângulos

(i) quanto à abertura:

1. Ângulo nulo: α = 0◦.
2. Ângulo agudo: 0 ◦^ < α < 90 ◦.
3. Ângulo reto: α = 90◦.
4. Ângulo obtuso: 90 ◦^ < α < 180 ◦.
5. Ângulo raso: α = 180◦.
6. Ângulo giro: α = 360◦. (ii) quanto ao posicionamento (relativamente a outros ângulos):
7. Ângulos complementares: α+β = 90◦. Diz-se que α e β são complementares se a soma α+β for um ângulo reto. Neste caso, diz-se também que 90 ◦^ − α é o complementar ou o complemento de α, e vice-versa. Naturalmente, 0 ◦^ < α < 90 ◦^ e 0 ◦^ < β < 90 ◦, com 0 < α + β < 90 ◦.
8. Ângulos suplementares: α + β = 180◦. Diz-se que α e β são suplementares se a soma α + β for um ângulo raso. Neste caso, diz-se também que 180 ◦^ − α é o suplementar ou o suplemento de α, e vice-versa. Naturalmente, 0 ◦^ < α < 180 ◦^ e 0 < β < 180 ◦, com 0 < α + β < 180 ◦.
9. Ângulos replementares: α + β = 360◦. Diz-se que α e β são replementares se a soma α + β for um ângulo giro. Neste caso, diz-se também que 360 ◦^ − α é o replementar ou o replemento de α, e vice-versa. Naturalmente, 0 ◦^ < α < 360 ◦^ e 0 ◦^ < β < 360 ◦, com 0 < α + β < 360 ◦.
10. Ângulos explementares: α + β = 720◦. Diz-se que α e β são explementares se a soma α + β for um ângulo de dois giros. Neste caso, diz-se também que 720 ◦^ − α é o explementar ou o explemento de α, e vice-versa. Naturalmente, 0 ◦^ < α < 720 ◦^ e 0 ◦^ < β < 720 ◦, com 0 < α + β < 720 ◦. Exemplo 1.4. O complemento do suplemento do triplo de um ângulo mede 30 ◦. Classifique este ângulo quanto a abertura.

Solução: O triplo de um ângulo: 3 x. O suplemento do triplo de um ângulo: 180 ◦^ − 3 x, e o complemento do suplemento do triplo de um ângulo: 90 ◦−(180◦− 3 x). Este último é igual a 30 ◦, ou seja, 90 ◦−(180◦− 3 x) = 30 ◦. Resolvendo-se esta equação encontramos x = 40◦. Logo, o ângulo é agudo.

1.2.4 Exercícios Propostos

1.1. Uma pista circular de atletismo tem um diâmetro de 50 m. Calcule a distância percorrida por um atleta ao dar 6 voltas completas nessa pista. Adote π = 3, 14.

1.2. Calcule o raio de uma circunferência, sabendo que seu comprimento é 3, 14 m. Use π = 3, 14. 1.3. Faça a conversão:

(a) 270 ◦^ em radianos; (^) (b) 2 π 3 em graus;^ (c)^37

◦ 30 ′ (^) em radianos; (d) π 16 em graus; 1.4. O replemento do explemento de um ângulo é o suplemento do quíntuplo deste. Determine este ângulo.

1.5. A metade do suplemento da quarta parte do complemento é igual ao replemento do triplo de ângulo. Determine o quíntuplo desse ângulo.

1.3 A Circunferência Trigonométrica

Considere uma circunferência de raio unitário com centro na origem de um sistema cartesiano ortog- onal. Essa circunferência será denominada ciclo ou circunferência trigonométrica. O ponto A = (1, 0), interseção da circunferência com o semi-eixo positivo OX , será chamado origem do ciclo.

Os pontos A, B, C e D, interseções do ciclo com os eixos coordenados, dividem o ciclo em quatro partes congruentes de- nominadas quadrantes. Os quadrantes são numerados, a partir de A, no sentido anti-horário (de A para B para C ), conforme in- dicamos na figura abaixo. Convencionamos que o ponto divisor de dois quadrantes está em ambos; assim, por exemplo, B está no 1 ◦^ quadrante e também no 2 ◦^ (ele é o ponto final do 1 ◦^ e o ponto inicial do 2 ◦^ quadrante).

X

Y

O

A

B

C

D

Os quadrantes são usados para localizar pontos e a caracterização de ângulos trigonométricos. Por convenção, os pontos situados sobre os eixos não pertencem a qualquer um dos quadrantes.

Já sabemos associar os números reais aos pontos de uma reta. Veremos agora como associar a cada número real x a um ponto na circunferência trigonométrica. Sabemos também que ao número x = 0 está correspondido o ponto A, que é a origem do ciclo. Se x 6 = 0, associamos a x o ponto final do seguinte percurso realizado sobre a circunferência:

• partimos de A;
• se x > 0 , percorremos o ciclo no sentido anti-horário;
• se x < 0 , percorremos o ciclo no sentido horário;
• o comprimento de percurso é |x|.

O ponto associado ao número x é denominado imagem de x no ciclo.

1.3.2 Números Congruentes

Os números x e x + 2π têm representação no mesmo ponto da circunferência trigonométrica. Nesse mesmo ponto são representados, de fato, todos os seguintes números,

x, x ± 2 π, x ± 4 π, x ± 6 π, x ± 8 π,... , etc,

que denominamos números congruentes (ou côngruos) a x. Podemos notar que cada número congruente a x se escreve na forma x + ( número par )π e, portanto, pode ser representado por x + 2kπ, em que k ∈ Z.

Assim, o conjunto dos números congruentes a x é {x + 2kπ; k ∈ Z}.

Exemplo 1.6. Listamos abaixo alguns números congruentes a π 3.

k = 1 π 3 + 2π =^73 π; k = − 1 π 3 − 2 π = − 35 π ↓ 1 volta

k = 2 π 3 + 4π =^133 π ; k = − 2 π 3 − 4 π = −^113 π ↓ 2 voltas

k = 3 π 3 + 6π =^193 π ; k = − 3 π 3 − 6 π = −^173 π ↓ 3 voltas

O conjunto dos números congruentes a π 3 é

n π

3 + 2kπ^ :^ k^ ∈^ Z

o

. Todos os números desse conjunto tem

no ciclo imagens coincidentes com a imagem de π 3.

Exemplo 1.7. Calcular cos(9π/4).

Solução: Podemos escrever 94 π = 2π + π 4. Assim, temos cos

= cos

2 π + π 4

= cos

1.3.3 Arcos

Ponto Móvel Sobre uma Curva

Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre esta curva, sim- plesmente dizemos P pertence à curva e que P é um ponto fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel. Partindo de um ponto A, um ponto móvel, localizado sobre uma circunferência, pode percorrer esta em dois sentidos. Por convenção, o anti-horário (contrário ao sen- tido dos ponteiros de um relógio) é adotado como sentido positivo.

A

B

anti-horário

Fundamentos da Matemática III

Arcos da Circunferência

Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele descreve um arco AM. O ponto A é a origem do arco e M é a extremidade do arco. Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é de- nominado arco orientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A. O sentido é positivo quando o ponto móvel se desloca no sentido anti-horário. Caso contrário, o sentido é negativo. Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre uma circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades.

A

B

A

B +

A

B −

Observe que a um arco na circunferência está associado um ângulo, ou seja, se tiver- mos uma circunferência de raio r , podemos determinar um arco se conhecemos o ângulo associado. Arco de 360 ◦^ Arco de 180 ◦

Exemplo 1.8. Uma circunferência de raio r = 20 cm tem comprimento ℓ = 2πr = 2π · 20 = 40π cm. Aproximadamente, ℓ = 40 · 3, 14 = 125, 60 cm.

O Número π e o Comprimento da Circunferência

A razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência é constante. Esta, é denotada pela letra grega π, que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para o número π é dada por

π = 3, 1415926535897932384626433832795...

Imagine que você possa “cortar” uma circunferência em um ponto A ≡ B e “desentortá-la” obtendo um segmento de reta AB. O comprimento AB = ℓ desse segmento de reta é também denominado comprimento da circunferência. Da Geometria Plana, sabemos que o seu valor é dado por

ℓ = 2πr ,

em que r é o raio da circunferência.

A ≡ B

r

A

B

Exemplo 1.9. Calcule o comprimento da circunferência em cada caso:

(a) r = 20 cm (^) (b) 2 π m

Solução: Uma circunferência tem comprimento C = 2πr = 2π. Portanto, (a) C = 2π · 20 cm = 40π cm. Aproximadamente, C = 40 · 3, 14 = 125, 60 cm. No item (b) C = 2π · (^) π^2 m = 4 m.

Fundamentos da Matemática III

1.4 Trigonometria e as Relações no Triângulo Retângulo

A partir da sua criação pelos matemáticos gregos, quando a trigonometria dizia respeito exclusivamente à medição de triângulos, e tal como as funções e relações trigonométricas apresentadas a seguir, era apli- cada ao estudo de triângulos retângulos. Porém, as funções trigonométricas resultantes, e apresentadas mais adiante, encontram aplicações mais vastas e de maior riqueza noutras áreas como a Física (por exemplo, no estudo de fenômenos periódicos) ou a Engenharia.

Teorias mais elaboradas como a dos números complexos, a das funções trigonométricas hiperbólicas e do desenvolvimento em série de Taylor de funções trigonométricas, dependem do estudo da trigonometria. Nos limitaremos à trigonometria no plano.

Em trigonometria, os lados dos triângulos retângulos assumem nomes particulares, apresentados na figura ao lado. O lado oposto ao ângulo reto, chama-se hipotenusa ; os lados que formam o ângulo reto chamam- se catetos. Cateto

Cateto

Hipotenusa

1.4.1 O Teorema de Pitágoras

O geômetra grego Pitágoras ( 570 − 501 a.C.) formulou o seguinte teorema, que tem hoje o seu nome, e que relaciona a medida dos diferentes lados de um triângulo retângulo.

1.1 Teorema (de Pitágoras). A soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos é igual ao quadrado do comprimento da hipotenusa, ou seja, se x e y são os comprimentos dos dois catetos e h o comprimento da hipotenusa, temos

x^2 + y 2 = h^2.

Prova: A demonstração deste teorema pode ser feita utilizando-se a fórmula do cálculo de áreas de triângulos retângulos e de quadrados. Observaremos que a área ocupada pelo quadrado menor e pelos quatro triângulos retângulos é igual à área do quadrado maior. Em seguida, constataremos que a equação do teorema é obtida da relação das áreas ocupadas pelas figuras. Observe a figura abaixo:

x y

h x y

h x y

h x y

h

x

y

x + y

A área de um quadrado com comprimento do lado de valor ℓ é dada por ℓ^2. Para um retângulo de comprimento de base a e de altura b, a área é dada pelo produto destes dois comprimentos, isto é, a · b. Se dividirmos esse retângulo com uma diagonal, teremos dois triângulos retângulos com catetos de comprimento a e b; a área de cada um é, então, metade da área do retângulo; a^2 ·^ b.

Área: ℓ · ℓ = ℓ^2

a

b

Área: a · b

a

b ⇒

a

b

Área: a^2 ·^ b

Assim sendo, como um triângulo retângulo com lados de comprimento x e y , possui área igual a xy 2. O quadrado que está junto ao triângulo foi escolhido de modo a ter comprimento do lado precisamente igual ao comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja, h. A área do quadrado é, naturalmente, h^2.

Construindo-se três triângulos congruentes ao de lados x e y e colocando-os de tal forma que suas hipotenusas coincidam com os outros três lados do quadrado uma nova figura é criada, a qual se inscrevem o quadrado e os triângulos. Este novo quadrado tem lados com comprimento x + y.

Como a área (x + y )^2 = x^2 + 2xy + y 2 do novo quadrado é igual a área h^2 do quadrado mais a área xy 2 dos quatro triângulos iniciais, ou seja,

x^2 + 2xy + y 2 = h^2 + 4 · xy 2.

Portanto, temos x^2 + 2xy + y 2 = h^2 + 2xy ⇔ x^2 + y 2 = h^2. 2

1.4.2 Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo

Boa parte das aplicações trigonométricas estão relacionadas com comprimentos dos lados e com os ângulos de um triângulo. Devemos, no entanto, apresentar algumas definições das relações trigonométri- cas no triângulo retângulo.

1.2 Definição. Considere um triângulo ABC retângulo em B, cujos lados medem BC = a, AC = b e AB = c e seja α o ângulo oposto ao cateto BC. Então,

cos(α) = cateto adjacente hipotenusa = c b

sen(α) = cateto oposto hipotenusa = a b

tg(α) = (^) cateto adjacentecateto oposto = a c

Exemplo 1.11. Encontre, para o ângulo α, as relações trigonométricas no triângulo da figura. Solução: Para encontrarmos o cosseno e o seno do ângulo α da figura, devemos, primeiramente, determinar a medida da hipotenusa. Considerando- se as medidas BC = a, AC = b e AB = c, pelo teorema de Pitágoras, temos:

b^2 = a^2 + c^2.

Segue que b = 5. E, portanto, cos(α) =^35 , sen(α) =^45 e tg(α) =^43. (^) A B

C

α

1.4.4 Um Problema de Trigonometria

Por vezes, não nos é possível (por quaisquer razões) encontrar os valores dos comprimentos dos lados e dos ângulos a partir dos dados disponíveis. Mas, se conhecermos, por exemplo, um ângulo (que não seja o ângulo reto, porque obviamente já é conhecido) e um lado de um triângulo retângulo, podemos encontrar os valores dos ângulos e lados que faltam. Para isso, necessitamos de dispor de uma tabela trigonométrica ou de uma calculadora para podermos obter os valores que tomam as funções trigonométricas para diferentes ângulos.

Suponhamos, por exemplo, que quiséssemos medir a altura h da torre de um farol que nos é inacessível, ou para a qual era incômodo e difícil efetuar diretamente uma medição sobre a torre com fita métrica. Como fazer? Para isto observemos a figura:

a 10 m b

α (^) β

h =?

α = 20◦^ e β = 18◦ AB = 10m b = a + AB

A B

T

Em primeiro lugar, mede-se, no ponto A, o ângulo α obtido pela semi-reta que passa por A e por T : a extremidade mais alta da torre, e pela linha do horizonte, obtendo-se α = 20◦. Depois, afastamo-nos de uma distância apropriada de 10 metros e, deste ponto B, faz-se uma nova medição do ângulo β formado pela semi-reta que passa por B e por T e a linha do horizonte, obtendo-se β = 18◦.

É importante admitir aqui que os dois pontos, A e B, estão ao mesmo nível. De outro modo, seria necessário introduzir uma correção para compensar a diferença de alturas - mais uma vez usando relações trigonométricas. Não abordarei o problema aqui; na verdade, apela-se ao leitor para que tente resolver este outro problema após compreender bem o formalismo por detrás do primeiro. De fato, teríamos de usar mais triângulos (e obter relações entre eles) para se levar em conta tal desnível.

Consultemos uma tabela, ou usemos uma calculadora científica para obter os valores das funções trigonométricas para os ângulos mencionados. Na tabela seguinte estão transcritos os valores para os dois ângulos relevantes. θ sen(θ) cos(θ) tg(θ) 18 ◦^ 0, 309 0, 951 0, 325 20 ◦^ 0, 342 0, 940 0, 367

Que funções trigonométricas utilizar? Pretende-se obter a altura da torre, h. Não sabemos a distância do solo até à torre, mas possuímos um dado parecido: a distância entre dois pontos de observação. O problema sugere-nos, então, que usemos a função tangente para calcular a altura da torre. Sabemos uma distância sobre um cateto, e queremos saber o comprimento de outro cateto. Assim, teremos

tg(β) = h b e tg(α) = h a.

Fundamentos da Matemática III

Talvez possamos usar a tangente, visto h ser comum a tg(α) e a tg(β), como se vê pelas duas fórmulas acima. Assim, ficamos com

h = b · tg(β) = a · tg(α).

E como b = a + 10,

(a + 10) · tg(β) = a · tg(α) ⇔ 10 · tg(β) = a · [tg(α) − tg(β)] ⇔ a = (^) tg(^10 α^ )· −tg( tg(β)β) = 10 ·^ tg(

tg(20◦) − tg(18◦) = 83, 20^ metros.

Por fim, temos que a altura da torre é

h = a · tg(α) = a · tg(20◦) = 30, 3 metros.

1.4.5 Exercícios Propostos

1.12. Num triângulo retângulo os lados têm medidas x − 3 , x − 2 e x − 1. Determine o valor de x.

1.13. No triângulo retângulo ABC , calcule os valores de a e c, sabendo que c = 5

3 cm, o ângulo Bˆ = 90◦ e em Cˆ = 60◦.

1.14. O cosseno de um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo vale 0, 7. Sabendo que o cateto adjacente a esse ângulo mede 8 cm, dê as medidas aproximadas da hipotenusa e do outro cateto.

1.15. Sabendo que cos(t) =^13 e que o lado terminal do ângulo de t radianos está situado no quarto quadrante, determine sen(t).

1.16. Sendo x = 23 π , calcule sen(3x) + sen

 x

− sen

 9 x

1.17. Calcule o valor da expressão cos(810◦) + cos(3.780◦) − 12 cos(1.350◦).

1.18. Calcule o valor da expressão

sec(1.500◦) − cossec(990◦) − sec(^174 π ) + cossec(^136 π ) + 4 cotg(630◦) − 2 cotg(3.645◦) + cotg(810◦).