Fundamentos da Matematica I, Notas de estudo de Engenharia de Produção

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FUNDAMENTOS

DA

MATEM ATICA´ I

Sum´ario

Fundamentos da Matem ´atica I

Apresenta¸c˜ao de Disciplina

No in´ıcio da civilizac¸˜ao toda a t ´ecnica matem ´atica necess ´aria era uma linguagem para efetuar contagem. Nesse caso, a id ´eia de n ´umeros estava associada a algo con- creto. Com o passar do tempo alguns povos desenvolveram c ´alculos mais complexos que lhes permitiriam construir pr ´edios, ou mesmo refazer as demarcac¸˜oes de ´areas que eram perdidas durante as cheias peri ´odicas de rios. Assim, surgiu a necessidade de operar com n ´umeros, que passaram a ser tratados como entes abstratos.

Um dos principais estudiosos dessa nova forma de tratar com os n ´umeros foi Pit ´agoras de Samos, que viveu no s ´eculo VI a.C. Pit ´agoras tinha conhecimento de que os eg´ıpcios e os babil ˆonios faziam seus c ´alculos na forma de receitas, seguidas cega- mente atrav ´es. Ele, ent ˜ao, passou a apreciar os n ´umeros pelas suas caracter´ısticas pr ´oprias e estudou suas propriedades, suas relac¸˜oes e padr ˜oes, concluindo que os n ´umeros existiam independentemente das incertezas da percepc¸˜ao que os originava. Percebendo que os n ´umeros estavam ocultos em tudo, das harmonias da m ´usica at ´e as ´orbitas dos planetas proclamou que tudo ´e n ´umero.

Para ter certeza dos resultados do seu estudos, Pit ´agoras desenvolveu e usou a prova cient´ıfica, ou prova matem ´atica, ou prova absoluta. A id ´eia dessa demonstrac¸˜ao matem ´atica cl ´assica comec¸a com uma verdade evidente, e atraves de v ´´ arios passos de argumentac¸˜ao l ´ogicas se chega a uma conclus ˜ao ineg ´avel. ´E assim que se desenvolve a matem ´atica.

Neste trabalho abordaremos elementos de l ´ogica, elementos da teoria dos con- juntos e conjuntos num ´ericos, grandezas e relac¸˜oes entre conjuntos. E evidente que´ n ˜ao ser ´a poss´ıvel fazer um estudo completo sobre esses temas. Contudo, procuramos um ponto de partida coerente, e ent ˜ao, desenvolvermos os assuntos tendo sempre em mente que o objetivo dessa disciplina, a que se destinam estas notas, ´e fornecer ao estudante uma complementac¸˜ao/formac¸˜ao para seu trabalho de futuro licenciado em Matem ´atica, al ´em disso, fornecer uma linguagem pr ´opria da matem ´atica indispens ´avel para a continuidade neste curso.

Prof. Adriano Pedreira Cattai.

Elementos da L´ogica e Teoria

dos Conjuntos

No¸c˜oes de L´ogica Matem´atica

L ´ogica ´e o conjunto de estudos tendentes a expressar em linguagem matem ´atica as estruturas e ope- rac¸˜oes do pensamento, deduzindo-as de n ´umero reduzido de axiomas, com a intenc¸˜ao de criar uma lin- guagem rigorosa, adequada ao pensamento cient´ıfico tal como o concebe a tradic¸˜ao emp´ırico-positivista.

Para compreender bem as definic¸˜oes e teoremas que constituem as teorias matem ´aticas, cujo estudo se estender ´a por todo o curso, ´e indispens ´avel habituarmo-nos a usar uma linguagem mais precisa e rigorosa do que se utiliza, em geral, na vida corrente. A aquisic¸˜ao desse h ´abito pode ser muito facilitada pelo recurso a algumas noc¸˜oes e s´ımbolos da L ´ogica Matem ´atica, dos quais indicaremos nesta sec¸˜ao, de forma muito resumida e largamente baseada na intuic¸˜ao. Conv ´em, no entanto, observar que a L ´ogica Matem ´atica tem hoje aplicac¸˜oes extremamente importantes, em diversos dom´ınios; uma das mais not ´aveis e, sem d ´´ uvida, a sua utilizac¸˜ao no planejamento dos modernos computadores eletr ˆonicos.

Antes de iniciarmos com notac¸˜oes e definic¸˜oes, vejamos o seguinte:

Ilustra¸c˜ao 1. (Circuitos El´etricos)

Um interruptor ´e um dispositivo ligado a um ponto de um circuito, que pode assumir um dos dois estados, “ligado (fechado)” ou “desligado (aberto)”. Sendo assim, sejam A e B dois interruptores el ´etricos. Eles podem ser ligados, por fios em s ´erie ou em paralelo, como segue, respectivamente:

B

B

Suponhamos que

A ∨ B e A ∧ B

designam, respectivamente, que A e B est ˜ao ligados em s ´erie e em paralelo.

No estado “ligado” (que indicaremos por 1 ), o in- terruptor permite que a corrente passe atrav ´es do ponto; enquanto que no estado “desligado” (que indi- caremos por 0 ) nenhuma corrente pode passar pelo ponto.

A B A ∧ B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

A B A ∨ B 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0

1.1.1 Nega¸c˜ao de uma Proposi¸c˜ao Simples

Dada uma proposic¸˜ao p, outra proposic¸˜ao, denominada negac¸˜ao de p, pode ser formulada escrevendo- se “ ´e falso que... ” antes de p ou, se poss´ıvel, inserindo em p a palavra n ˜ao. Simbolicamente, a negac¸˜ao de p e designada por´ ∼ p, e l ˆe-se: n ˜ao p. Por exemplo, “ ´e falso que o p ´assaro canta”, e “o p ´assaro n ˜ao canta” s ˜ao negac¸˜oes para a proposic¸˜ao “o p ´assaro canta”. Outro exemplo, “ ´e falso que 2 + 2 = 5”, e “2 + 2 6 = 5” s ˜ao negac¸˜oes para “2 + 2 = 5”. ´E evidente que, para toda a proposic¸˜ao p, se tem:

∼ (∼ p) ⇐⇒ p.

1.2 Modificadores e Conectivos: Proposi¸c˜oes Compostas

Cada uma das proposic¸˜oes que exemplificamos at ´e aqui, cont ´em uma ´unica afirmativa. Por isso, chamamos de proposic¸˜ao simples. Freq ¨uentemente, por ´em, precisamos lidar com sentenc¸as mais re- buscadas, formuladas como combinac¸˜ao de proposic¸˜oes, que s ˜ao as proposic¸˜oes compostas. Observe os exemplos:

p: Victor gosta de Matem ´atica. q: Victor gosta de L´ıngua Portuguesa. Compare, agora, com:

r : Victor gosta de Matem ´atica e tamb ´em de L´ıngua Portuguesa. s: Victor gosta quer de matem ´atica, quer de L´ıngua Portuguesa. t: Victor gosta de Matem ´atica, mas n ˜ao de L´ıngua Portuguesa.

Observe que r , s e t s ˜ao proposic¸˜oes formadas por duas outras proposic¸˜oes simples unidas pelas palavras “e”, “ou” e “e”, respectivamente. Simbolicamente, escrevemos:

r : p ∧ q s : p ∨ q t : p∧ ∼ q.

Os s´ımbolos l ´ogicos ∧ (l ˆe-se ‘e’) e ∨ (l ˆe-se ‘ou’) denominamos conectivos. A partir de proposic¸˜oes simples, com o emprego desses conectivos, podemos construir novas proposic¸˜oes, que s ˜ao denominadas proposic¸ ˜oes compostas. Vejamos as proposic¸˜oes compostas separadamente.

1.2.1 Conjun¸c˜ao

Como vimos, duas proposic¸˜oes quaisquer podem ser combinadas pela palavra “e” para formar uma proposic¸˜ao composta, que chamamos de conjunc¸˜ao das proposic¸˜oes originais e, simbolicamente, repre- sentamos com o s´ımbolo “ ∧ ”.

Exemplo 1.1. Considere as proposic¸˜oes simples p, q, r e s e com base em seus valores l ´ogicos observe o valor l ´ogico das proposic¸˜oes p ∧ q e r ∧ s.

p: 2 > 0 (V) q: 2 6 = 1 (V) p ∧ q: 2 > 0 e 2 6 = 1 (V)

r : 2 > 0 (V) s: 2 = 1 (F) p ∧ q: 2 > 0 e 2 6 = 1 (F)

Fundamentos da Matem ´atica I

Tendo em vista este exemplo, podemos estabelecer a seguinte propriedade: A conjunc¸˜ao p ∧ q e verdadeira se´ p e q s ˜ao ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, ent ˜ao p ∧ q e falsa.´

Resumimos esses crit ´erios na tabela verdade ao lado, em que s ˜ao examinadas todas as possibilidades para p e q. Observe que a primeira linha ´e uma maneira abreviada de dizer que se p ´e verdadeiro e q tamb ´em, p ∧ q e ent ˜´ ao verdadeiro. As outras linhas s ˜ao an ´alogas.

p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F

1.2.2 Disjun¸c˜ao

Combinando duas proposic¸˜oes quaisquer com a palavra “ou” formamos uma proposic¸˜ao composta, que chamamos de disjunc¸˜ao das proposic¸˜oes originais e, simbolicamente, representamos com o s´ımbolo “∨”. Exemplo 1.. p: 4 e par´ (V) q: 1 e ´´ımpar (V) p ∨ q: 4 e par ou´ 1 e ´´ımpar (V)

Exemplo 1.. p: 4 e par´ (V) q: 1 e par´ (F) p ∨ q: 4 e par ou´ 1 e par´ (V) Tendo em vista esses dois exemplos, podemos estabelecer a seguinte propriedade:

A disjunc¸˜ao p ∨ q e verdadeira se ao menos umas das proposic´ ¸˜oes p ou q e verdadeira; se´ p e q s ˜ao ambas falsas, ent ˜ao p ∨ q e falsa.´ Esse crit ´erio, resumimos na tabela verdade ao lado, em que s ˜ao examinadas todas as possibilidades para p e q.

p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F Nota 2****. Pode-se definir, de forma an ´aloga, a conjunc¸ ˜ao e a disjunc¸ ˜ao de proposic¸˜oes com- postas formadas por mais de duas proposic¸˜oes simples. Por exemplo, a conjunc¸˜ao das proposic¸˜oes p, q, r ,... consiste na afirmac¸˜ao de que todas essas proposic¸˜oes s ˜ao verdadeiras e ´e, portanto, uma proposic¸˜ao falsa se uma das proposic¸˜oes p, q, r , ... o for.

Ainda a partir de proposic¸˜oes dadas podemos construir novas proposic¸˜oes mediante o emprego de out- ros s´ımbolos l ´ogicos chamados condicionais: o condicional “se,... ent ˜ao... ” (s´ımbolo →) e a bicondicional “... se, e somente se,... ” (s´ımbolo ↔). Vejamos ent ˜ao, cada uma, separadamente.

1.2.3 Condicional

Vejamos a seguinte express ˜ao: “ Peter canta todos os dias ao amanhecer ”. O que se pode, com certeza, afirmar sobre Peter? Ele canta ´opera ou samba? Como nada foi dito sobre o estilo musical, nada podemos dizer a este respeito. Talvez Peter nem cante ´opera e nem samba, pois, Peter pode ser um p ´assaro. E este ´e o caso. Peter ´e o p ´assaro do zelador da escola Crescendo para a Vida. O que, por ´em, se pode afirmar, com certeza, ´e que essa criatura, n ˜ao importando quem seja, necessariamente, vive (ou est ´a vivo). Diremos, ent ˜ao, neste caso, que a premissa p: “ Peter cantava todos os dias ao amanhecer ” conduz

Fundamentos da Matem ´atica I

p: x e um n ´´ umero par; q: este n ´umero x e divis´´ ıvel por 2.

E claro que vale dizer que “se´ p e verdade, ent ˜´ ao q e verdade” e, reciprocamente, “se´ q, ent ˜ao p”. Em outros termos, as proposic¸˜oes ‘p’ e ‘q’, embora formuladas de modos diversos, s ˜ao equivalentes, ou seja, possuem o mesmo significado.

A proposic¸˜ao composta p ↔ q e chamada proposic´ ¸˜ao bicondicional, l ˆe-se “p se, e somente se q” e o verdadeiro valor l ´ogico ´e dado pela seguinte propriedade:

A bicondicional p ↔ q e verdadeiro somente quando´ p e q possu´ırem o mesmo valo l ´ogico; caso contr ´ario, p ↔ q e falso.´

Resumimos na tabela verdade ao lado, todas as possibilidades para p e q.

p q p ↔ q V V V V F F F V F F F V

Nota 4 (Equival ˆencia L ´ogica). An ´alogo `a Nota 3, p ↔ q e uma proposic´ ¸˜ao composta a qual possui tabela verdade contendo os valores l ´ogicos V e F na ´ultima coluna, mas, p ⇔ q define uma proposic¸˜ao composta contendo apenas V na ´ultima coluna de sua tabela verdade.

O s´ımbolo ⇔, como anteriormente, pode ser entendido e lido de v ´arias maneiras. Podemos dizer:

 p e q s ˜ao equivalentes;

 Se p, ent ˜ao q, e reciprocamente;

 q e verdadeira se´ p for verdadeira, e reciprocamente.

 p e falsa se´ q for falsa, e reciprocamente.

 p e uma condic´ ¸˜ao necess ´aria e suficiente para q.

 p e verdadeira se, e somente se,´ q e verdadeira.´

Esta ´ultima, na verdade, ´e uma das express ˜oes mais usadas em Matem ´atica, quando nos referimos a duas premissas como equivalentes.

Resumo das Proposi¸c˜oes Compostas

Conjunc¸˜ao: verdadeira somente quando ambas as proposic¸˜oes s ˜ao verdadeiras. Disjunc¸˜ao: falsa somente quando ambas as proposic¸˜oes s ˜ao falsas. Condicional: falsa somente quando a primeira proposic¸˜ao ´e verdadeira e a segunda falsa.

TABELA VERDADE

p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q V V V V V V V F F V F F F V F V V F F F F F V V Bicondicional: verdadeira somente quando as proposic¸˜oes possuem valores l ´ogicos iguais.

1.3 Nega¸c˜ao de Proposi¸c˜oes Compostas

Por meio de uma tabela verdade, podemos comprovar as equival ˆencias que apresentaremos a seguir (Leis de Morgan), que s ˜ao utilizadas para a negac¸˜ao de proposic¸˜oes compostas. Comprovaremos apenas uma. As demais deixamos como exerc´ıcio visto que o procedimento ´e an ´alogo.

1.3.1 Conjun¸c˜ao

A negac¸˜ao da proposic¸˜ao composta p ∧ q e dada por´ ∼ p∨ ∼ q, ou seja,

∼ (p ∧ q) ⇔ ∼ p∨ ∼ q.

Exemplo 1.4. A negac¸˜ao de “ a rosa ´e vermelha e bonita ” ´e “ a rosa n ˜ao ´e vermelha ou n ˜ao ´e bonita ”.

Vejamos por meio de uma tabela verdade a verificac¸˜ao desta lei de Morgan.

p q p ∧ q ∼ (p ∧ q) ∼ p ∼ q ∼ p∨ ∼ q V V V F F F F V F F V F V V F V F V V F V F F F V V V V

1.3.2 Disjun¸c˜ao

A negac¸˜ao da proposic¸˜ao composta p ∨ q e dada por´ ∼ p∧ ∼ q, ou seja,

∼ (p ∨ q) ⇔ ∼ p∧ ∼ q.

Exemplo 1.5. A negac¸˜ao de “ estudo ou trabalho ” ´e “ n ˜ao estudo e n ˜ao trabalho ”.

1.3.3 Condicional

A negac¸˜ao da proposic¸˜ao composta p → q e dada por´ p∧ ∼ q, ou seja,

∼ (p → q) ⇔ p∧ ∼ q.

Exemplo 1.6. A negac¸˜ao de “ se sou baiano, ent ˜ao sou brasileiro ” ´e “ sou baiano e n ˜ao sou brasileiro ”.

1.3.4 Bicondicional

A bicondicional p ↔ q pode ser negada por ∼ p ↔ q ou p ↔∼ q, ou seja,

∼ (p ↔ q) ⇔ ∼ p ↔ q ou ∼ (p ↔ q) ⇔ p ↔∼ q.

Exemplo 1.7. A negac¸˜ao de “ 3 > 2 se, e somente se, 2 ∈ N” pode ser feita de duas formas:

(a) 3 ≤ 2 se, e somente se, 2 ∈ N; (b) 3 > 2 se, e somente se, 2 6 ∈ N.

A proposic¸˜ao “∀ x ∈ A; p(x)” l ˆe-se “qualquer que seja x pertencente conjunto A, p(x)” ou “para todo x de A, tem-se p(x)” e ´e verdadeira se, e somente se, atribuindo a x qualquer valor do conjunto A, p(x) se converte sempre numa proposic¸˜ao verdadeira. Em outras palavras, ∀ e o quantificador utilizado para fazer´ refer ˆencia ao total de elementos do universo.

A proposic¸˜ao “∃ x ∈ A; p(x)” l ˆe-se “existe x em A tal que p(x)” ou “para algum x em A, tem-se p(x)”. Em outras palavras, ∃ e o quantificador utilizado para fazer refer ˆ´ encia a parte dos elementos do universo A.

Nota 6****. O s´ımbolo @ representa o quantificador “n ˜ao existe”, enquanto que o s´ımbolo ∃! repre- senta o quantificador “existe somente um”.

Exemplo 1..

(a) Sendo x uma vari ´avel real, s ˜ao verdadeiras as proposic¸˜oes  ∀ x; x^2 + 1 > 0 ,  ∃! x; x 4 ≤ 0 ,  ∃ x; x^2 − 4 = 0.

(b) Sendo x uma vari ´avel inteira, s ˜ao falsas as proposic¸˜oes  ∃! x; 2x = 1,  ∃ x; 2x = 1,  ∀ x; x − 1 = 0.

1.5.1 Nega¸c˜ao de Proposi¸c˜oes Quantificadas

A negac¸˜ao da proposic¸˜ao “ Todos os homens s ˜ao imortais ” ´e “ N ˜ao ´e verdade que todos os homens s ˜ao imortais ”; em outras palavras, existe pelo menos um homem que n ˜ao ´e imortal. Simbolicamente, se H designa o conjunto de homens, o que foi dito acima pode ser escrito da seguinte forma:

∼ (∀ x ∈ H; x e imortal´ ) ⇒ ∃ x ∈ H; x e imortal´.

Al ´em disso, se p(x) designa “x e imortal”, escrevemos´

∼ (∀ x ∈ H; p(x)) ⇒ ∃ x ∈ H; ∼ p(x).

Em resumo, nega-se proposic¸˜oes que possuem quantificadores da seguinte forma: Nota 7****. Troca-se o quantificador de universal para existencial, e vice-versa, e nega-se a sentenc¸a aberta.

Exemplo 1.. (a) ∼ (∀ x ∈ R; x^2 = 4) ⇒ ∃ x ∈ R; x 2 6 = 4. (b) ∼ (∃ x ∈ R; x 2 + x < 6) ⇒ ∀ x ∈ R; x 2 + x ≥ 6.

1.6 Notas Sobre Uma Demonstra¸c˜ao

O termo “ demonstrac¸ ˜ao ”, para alguns autores, possuem mais de um significado. O nosso ´e baseado em L ´ogica e Fundamentos da Matem ´atica, visto que a veracidade de um teorema depende das regras l ´ogicas utilizadas na demonstrac¸˜ao. O teorema surge como conseq ¨u ˆencia l ´ogica e necess ´aria das premissas atrav ´es de infer ˆencia dedutiva.

Fundamentos da Matem ´atica I

Geralmente, no mundo dos matem ´aticos, entende-se demonstrac¸˜ao ou demonstrac¸˜ao matem ´atica como sendo uma cadeia de argumentos convincentes, rigorosos, gerais, completos e resistentes, interli- gados logicamente. A principal raz ˜ao de uma demonstrac¸˜ao ´e a de validar uma determinada afirmac¸˜ao. Do ponto de vista do ensino, nela existe uma outra raz ˜ao: a de explicar ou justificar – constr ´oi-se uma demonstrac¸˜ao, n ˜ao s ´o para garantir a verdade de uma afirmac¸˜ao, mas para explicar por que motivo ela ´e verdadeira.

Existem certas declarac¸˜oes que n ˜ao se podem provar. Estas s ˜ao os chamados axiomas ou postulados, que alguns autores definem como conceitos primitivos, admitidos sem prova. Por exemplo, quando dize- mos que por dois pontos distintos passa uma, e somente uma reta, estamos lidando com um postulado que, simplesmente, admitimos como verdade.

Poder´ıamos dizer, em resumo, que os postulados ou axiomas s ˜ao os pilares sobre os quais edificamos a nossa estrutura de resultados, teoremas, lemas, proposic¸˜oes, e etc. A validade destes resultados decorre dos postulados em que se baseiam.

Evidentemente, h ´a v ´arias maneiras de demonstrar a validade de uma proposic¸˜ao. Algumas se mostram mais elegantes, outras mais complicadas e, ainda outras, definitivamente incorretas. Ilustremos um erro comum ao se elaborar uma demonstrac¸˜ao. Suponha que desejamos provar o seguinte resultado:

“ Dados dois inteiros pares, a sua soma ser ´a ainda um n ´umero par ”.

Um erro bastante freq ¨uente ´e provar uma tal afirmac¸˜ao simplesmente por exibir uns poucos exemplos que a satisfac¸am. Poder´ıamos argumentar que, se “2 + 2 = 4; 4 + 8 = 12; 16 + 24 = 40,... .” e todas estas somas fornecem n ´umeros pares, ent ˜ao a afirmac¸˜ao est ´a correta. Este argumento ´e falho, e podemos explic ´a-lo da seguinte maneira: existem infinitos n ´umeros pares e, ´e claro, n ˜ao podemos testar todas as somas poss´ıveis entre dois deles. De modo que, ainda que estejamos convencidos dessa afirmac¸˜ao, n ˜ao podemos prov ´a-la com uns poucos ou, mesmo, muitos exemplos que a satisfac¸am.

Uma demonstrac¸˜ao para essa afirmac¸˜ao ´e: Sejam x e y dois inteiros pares, dessa forma podemos escrever x = 2m e y = 2n, para inteiros m e n. Somando x a y , temos:

x + y = 2m + 2n = 2(m + n).

Agora, fazendo m + n = p, temos x + y = 2p, em que p e um inteiro e, portanto, mostramos que´ a soma x + y de dois inteiros pares ´e um inteiro par.

Ilustremos, agora, em contrapartida, um caso em que apenas exibir um exemplo espec´ıfico basta como demonstrac¸˜ao. Suponha, desta vez, que desejamos provar a seguinte declarac¸˜ao:

“Nem todos os n ´umeros primos s ˜ao ´ımpares”.

Apenas um contra-exemplo seria o bastante para prov ´a-la. Neste caso, voc ˆe estaria correto ao exibir um ´unico exemplo, o n ´umero 2 , e dizer:

“De fato, o n ´umero 2 e primo e ´´ e um n ´umero par”,

e isto provaria a nossa afirmac¸˜ao. Dizemos que 2 e um´ contra-exemplo para a afirmac¸˜ao: “ Todo n ´umero primo ´e ´ımpar ”.

Fundamentos da Matem ´atica I

Soluc¸˜ao:

(a) Forma-se, em primeiro lugar, o par de colunas correspon- dentes `as duas proposic¸˜oes simples p e q. Afinal, formula-se a coluna relativa aos valores l ´ogicos da proposic¸˜ao composta dada.

p q ∼ q p∧ ∼ q ∼ (p∧ ∼ q) V V F F V V F V V F F V F F V F F V F V

De outro modo, formam-se, primeiramente, as colunas correspondentes as duas proposic¸˜oes simples p e q. Em seguida,a direita, trac¸a-se uma coluna para cada uma dessas proposic¸oes e para cada um˜ dos conectivos que figuram na proposic¸˜ao com-posta dada, conforme tabela abaixo a esquerda. Depois, numa certa ordem, completam-se essas colunas, escrevendo em cada uma delas os valores l ´ogicos con- venientes, no modo abaixo indicado tabela abaixoa direita:

p q ∼ (p ∧ ∼ p) V V V F F V F F E tapa :

p q ∼ (p ∧ ∼ p) V V V V F F V V F F V V V F F V V F F F V F F V F F V F E tapa : 4 1 3 2 1 Os valores l ´ogicos da proposic¸˜ao composta dada encontram-se na coluna completada em ´ultimo lugar, etapa 4.

(b) Resolveremos por dois m ´etodos, como fizemos no item anterior. Por comodidade, fac¸amos P :=∼ (p ↔ q), Q :=∼ (q ↔ p) e R :=∼ (p ∧ q)∨ ∼ (q ↔ p).

p q p ∧ q q ↔ p P Q R V V V V F F F V F F F V V V F V F F V V V F F F V V F V

p q ∼ (p ∧ q) ∨ ∼ (q ↔ p) V V F V V V F F V V V V F V V F F V V F F V F V V F F V V V V F F F F V F F F V F F V F E tapa : 3 1 2 1 4 3 1 2 1

(c) Resolveremos por dois m ´etodos, como fizemos nos ´ıtens anteriores.

p q r ∼ r A : p∨ ∼ r B : q∧ ∼ r A → B V V V F V F F V V F V V V V V F V F V F F V F F V V F F F V V F F F V F V F V V V V F F V F F F V F F F V V F F

p p r p ∨ ∼ r → q ∧ ∼ r V V V V V F V F V F F V V V F V V V F V V V V F V F V V V F V F F F F V V F F V V V F F F F V F F V V F F F V V V F F V F V F F V V F V V V V F F F V F F F V V F F F V F F F F V V F F F F V F E tapa : 1 3 2 1 4 1 3 2 1

Exemplo 1.14 (Tautologia). Chama-se tautologia toda a proposic¸˜ao composta cuja ´ultima coluna da sua tabela verdade encerra comente com a letra V (verdadeiro). Determine quais das proposic¸˜oes abaixo s ˜ao tautologias.

(a) ∼ (p∧ ∼ p) (princ´ıpio da n ˜ao contradic¸˜ao) (b) p∨ ∼ (p ∧ q)

(c) ∼ (∼ p∧ ∼ q) (d) p∧ ∼ p

Soluc¸˜ao: Conforme tabelas verdade abaixo, os ´ıtens (c) e (d) n ˜ao s ˜ao tautologias. (a) p ∼ p p∧ ∼ p ∼ (p∧ ∼ p) V F F V F V F V

(b) p q p ∧ q ∼ (p ∧ q) p∨ ∼ (p ∨ q) V V V F V V F F V V F V F V V F F F V V (c) p p ∼ p ∼ q ∼ p∧ ∼ q ∼ (∼ p∧ ∼ q) V V F F F V V F F V F V F V V F F V F F V V V F

(d) p ∼ p p∧ ∼ p V F F F V F

1.1 Observa¸c˜ao (Contradi¸c˜ao). Quando, numa tabela verdade, a ´ultima coluna s ´o apresentar a letra F, dizemos que a proposic¸˜ao ´e uma contradic¸ ˜ao , como no item (d) acima.

Exemplo 1.15. Decida se cada um dos seguintes ´e verdadeiro ou falso.

(a) p ⇒ p ∧ q (b) p ⇒ p ∨ q

Soluc¸˜ao: Observe as tabelas verdades de p → p ∧ q e p → p ∨ q. p q p ∧ q p → (p ∧ q) p ∨ q p → (p ∨ q) V V V V V V V F F F V V F V F V V V F F F V F V

Observe que, a ´ultima coluna somente ocorre V, nos dizendo que (b) ´e verdadeiro, o que n ˜ao acontece na quarta coluna, logo (a) ´e falso.

Exemplo 1.16 (Disjunc¸˜ao Exclusiva). O sinal proposicional Y e chamado de´ disjunc¸ ˜ao exclusiva , p Y q l ˆe-se “p ou q mas n ˜ao ambos”.

(a) Construa uma tabela verdade para p Y q (b) Prove: p Y q ⇔ (p ∨ q)∧ ∼ (p ∧ q). Portanto, Y pode ser escrito em termos dos tr ˆes sinais ∨, ∧ e ∼.

Soluc¸˜ao:

(a) Observe que p Y q e verdadeiro se´ p for verdadeiro ou q for verdadeiro, mas n ˜ao se ambas, p e q, forem verdadeiros; logo, a tabela verdade de p Y q e apresentada ao lado.´

p q p Y q V V F V F V F V V F F F