Instituto Superior de Engenharia de Coimbra
Licenciatura em Engenharia Mecˆanica
Frequˆencia de An´alise Matem´atica I - deslizante
Dura¸c˜ao: 1h30 5 de junho de 2013
Regras para a realiza¸c˜ao da frequˆencia:
•Qualquer tentativa de fraude ser´a punida com a anula¸c˜ao imediata da prova.
•Os equipamentos m´oveis devem estar desligados durante a realiza¸c˜ao da prova.
•N˜ao pode utilizar calculadora.
•N˜ao pode utilizar corretor e as resp ostas devem ser apresentadas com caneta de tinta azul ou preta.
•Pode trocar a ordem das quest˜oes, desde que as identifique devidamente.
•Justifique convenientemente todas as respostas, indicando no fim de cada exerc´ıcio a resposta simplificada.
1. Resolva a primitiva Z√x2−1
xdx por substitui¸c˜ao.
2. Calcule o integral definido Zπ
0
x2cos(x)dx e indique o valor m´edio da fun¸c˜ao integranda no intervalo [0, π].
3. Na figura est´a representada a regi˜ao R, limitada pela hip´erbole x2−y2= 4 e pela retas y= 0 e y= 2.
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
(a) Indique uma express˜ao que permita calcular a sua ´area.
(b) Determine o volume do s´olido obtido pela rota¸c˜ao de Rem torno do eixo das ordenadas.
(c) Indique uma express˜ao que permita calcular o per´ımetro da regi˜ao.
4. Resolva apenas uma das al´ıneas deste exerc´ıcio:
(a) Considere o integral indefinido F(x) = Zx2
1
t
2 + tdt. Determine F0(x) e calcule lim
x→1
F(x)
x−1.
(b) Determine a natureza do integral Z+∞
1
t
(t2+ 1)2dt.
5. Determina a solu¸c˜ao na forma expl´ıcita do problema de valores iniciais: y0= ln(t)y2, com y(1) = 3
2.
Cota¸c˜ao das perguntas
1 2. 3.(a) 3.(b) 3.(c) 4 5
1.0 1.5 1.0 1.5 1.0 1.0 1.0
1