Instituto Superior de Engenharia de Coimbra
Licenciatura em Engenharia Mecˆanica
Frequˆencia de An´alise Matem´atica I
Dura¸c˜ao: 1h30 17 de novembro de 2014 (v2)
Regras para a realiza¸c˜ao da frequˆencia:
•Os equipamentos m´oveis devem estar desligados durante a realiza¸c˜ao da prova.
•N˜ao pode utilizar corretor e as resp ostas devem ser apresentadas com caneta de tinta azul ou preta.
•Pode utilizar uma calculadora de aritm´etica b´asica.
•Pode trocar a ordem das quest˜oes, desde que identifique a sua resposta.
•Justifique convenientemente as suas respostas, indicando no fim de cada exerc´ıcio a resposta simplificada.
•Qualquer tentativa de fraude ser´a punida com a anula¸c˜ao imediata da prova.
1. Considere a fun¸c˜ao f(x) = arcsin(0.5) + arcsin(x−2). Determine o valor de f(2) e caraterize a fun¸c˜ao inversa
de findicando dom´ınio, contradom´ınio e express˜ao anal´ıtica.
2. Calcule apenas um limite:
i. lim
x→+∞
x e−x
x+ 1 ; ii. lim
x→−∞ ( cosh(x) )1/x .
3. Considere a fun¸c˜ao f(x) = exsin(2x)−1.
(a) Determine os zeros de f.
(b) Mostre utilizando o Teorema de Rolle que a derivada de ftem pelo menos dois zeros no intervalo [0,π ] .
4. Mostre por defini¸c˜ao de primitiva que ∫1
√1 + x2dx = ln(x+√1 + x2) + C, com C∈IR.
5. Calcule as primitivas:
(a) ∫(x2+ 5)2dx; (b)∫x2
√1−x6dx; (c) ∫x3
4+ln(x)
xdx; (d)∫[cos(x) + sec(x)] sec3(x)dx.
Formul´ario
Pn(x) = f(x0) +
df
z }| {
f′(x0)(x−x0)
| {z }
l(x)
+f′′(x0)
2! (x−x0)2+· ·· +f(n)(x0)
n!(x−x0)n
Rn(x) = f(n+1)(c)
(n+ 1)! (x−x0)n+1
Cota¸c˜ao das perguntas
1 2 3(a) 3(b) 4 5(a) 5(b) 5(c) 5(d)
1.0 0.5 0.5 1.0 0.75 0.5 0.5 0.5 0.75
1