Instituto Superior de Engenharia de Coimbra
Licenciatura em Engenharia Mecˆanica
Frequˆencia de An´alise Matem´atica I
Dura¸c˜ao: 1h30 4 de janeiro de 2013 (v2)
Regras para a realiza¸c˜ao da frequˆencia:
•Qualquer tentativa de fraude ser´a punida com a anula¸c˜ao imediata da prova.
•Os equipamentos m´oveis devem estar desligados durante a realiza¸c˜ao da prova.
•N˜ao pode utilizar calculadora.
•As respostas devem ser apresentadas com caneta de tinta azul ou preta. N˜ao p ode utilizar corretor.
•Pode trocar a ordem das quest˜oes, desde que as identifique devidamente.
•Justifique convenientemente todas as respostas, indicando no fim de cada exerc´ıcio a resp osta simplificada.
1. Calcule a primitiva ∫√x
x−√xdx.
2. Utilize as propriedades dos integrais para mostrar que o integral I=∫1
0
e−t2dt verifica:
(a) 1
e≤I≤1;
(b) ∫2
0
e−x2/4dx = 2I, efetuando no integral a substitui¸c˜ao x= 2t.
3. Considere a regi˜ao plana Rdefinida pelas condi¸c˜oes y≥x−3, y≤ −x+ 3 e x≥y2+ 1.
(a) Represente a regi˜ao Re calcule a sua ´area.
(b) Determine o volume do s´olido obtido pela rota¸c˜ao de Rem torno do eixo das abcissas.
(c) Indique uma express˜ao que permita determinar o per´ımetro da regi˜ao.
4. Considere o integral indefinido F(x) = ∫x2
x
tcos(t)dt. Determine o valor de lim
x→1+
F(x)
(x−1)2.
5. Determine a natureza do integral ∫+∞
1
1
xkdx para cada valor de k≥1.
6. Considere as equa¸c˜oes diferenciais: i. y′cos(t) + ysin(t) = 1; ii. t2−ty′= 2ty; iii. y′=y
t+ey/t.
(a) Sabendo que y= sin(t)+Ccos(t) ´e a solu¸c˜ao geral de i, determine a solu¸c˜ao particular que verifica y(π) = 1.
(b) Determine a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao ii.
(c) Resolva a equa¸c˜ao diferencial iii, efetuando a seguinte mudan¸ca de vari´avel y=tz.
Cota¸c˜ao das perguntas
1 2.(a) 2.(b) 3.(a) 3.(b) 3.(c) 4 5 6.(a) 6.(b) 6.(c)
1.0 0.5 0.5 1.25 1.0 0.5 0.75 0.75 0.25 1.0 0.5
1