Instituto Superior de Engenharia de Coimbra
Licenciatura em Engenharia Mecˆanica
Frequˆencia de An´alise Matem´atica I
Dura¸c˜ao: 1h30 4 de junho de 2014
Regras para a realiza¸c˜ao da frequˆencia:
•Os equipamentos m´oveis devem estar desligados durante a realiza¸c˜ao da prova.
•N˜ao pode utilizar calculadora.
•N˜ao pode utilizar corretor e as resp ostas devem ser apresentadas com caneta de tinta azul ou preta.
•Pode trocar a ordem das quest˜oes, desde que identifique a sua resposta.
•Justifique convenientemente as suas respostas, indicando no fim de cada exerc´ıcio a resposta simplificada.
•Qualquer tentativa de fraude ser´a punida com a anula¸c˜ao imediata da prova.
1. Sem calcular o integral mostre que −π
2≤Z1
−1
arctan(x)dx ≤π
2.
2. Enuncie o Teorema do Valor M´edio para os integrais e calcule o valor m´edio de f(x) = xexem [−2,0].
3. Na figura est´a representada a regi˜ao R, limitada pelas curvas x=y2−2, y=−xey=x.
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
x
y
(a) Determine o valor da ´area da regi˜ao R.
(b) Determine o volume do s´olido gerado pela rota¸c˜ao da regi˜ao Rem torno do eixo das abcissas.
(c) Indique uma express˜ao que permita calcular o per´ımetro da regi˜ao.
4. Resolva apenas uma das al´ıneas deste exerc´ıcio:
i. Calcule as primitivas: I. Zln(2x+ 3) dx II. Z1
x−√xdx.
iii. Determine a natureza do integral Z0
−∞
1
x2+ 2x+ 2 dx.
5. Determina a solu¸c˜ao na forma expl´ıcita do problema de valor inicial: ty0+ 2y=t, com y(1) = 2
3.
Cota¸c˜ao das perguntas
1 2 3(a) 3(b) 3(c) 4 5
1.0 1.25 1.25 1.25 0.75 1.5 1.0
1