Instituto Superior de Engenharia de Coimbra
2◦Teste de Álgebra Linear - V3
Licenciatura em Engenharia Mecânica e Electromecânica
20 de Dezembro de 2013 Duração: 1h30m
1. Considere os subconjuntos de R3:S1={(x, y, z )∈R3:x=y+3z},S2=<(1,0,1),(0,1,0),(1,2,1) > .
(a) Mostre que S1é um subespaço vetorial de R3.
(b) Mostre que S2={(x, y , z)∈R3:x=z}.De seguida, determine uma base de S2e indique a
respectiva dimensão.
2. Seja A=
1−2 0
1−1k
0k4
.
(a) Calcule o determinante de A.
(b) Considere k= 1
i. Calcule a matriz adjunta de A.
ii. Mostre que A−1=1
3
−5 8 −2
−4 4 −1
1−1 1
.
3. (a) Duas matrizes quadradas AeBda mesma ordem dizem-se semelhantes se existe uma matriz P
não singular tal que A=P−1BP . Calcule det(A)sabendo que det(B) = 8.
(b) Supondo que
a b c
p q r
x y z
=−1, calcule
−2a−2b−2c
2p+x2q+y2r+z
3x3y3z
.
4. Considere a matriz A=
8 1 3
0−3−6
0 1 2
.
(a) Escreva o polinómio característico e determine os valores próprios de A.
(b) Determine uma base para o subespaço próprios associado ao valor próprio −1.
(c) Diga se Aé diagonalizável e no caso afirmativo indique uma matriz diagonalizante.
Bom Trabalho.
Cotação das perguntas
1.(a) 1.(b) 2.(a) 2.(bi) 2.(bii) 3.(a) 3.(b) 4.(a) 4.(b) 4.(c)
1.0 1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 0.5 1.0 1.0 1.0