Instituto Superior de Engenharia de Coimbra
Licenciatura em Engenharia Mecˆanica
Frequˆencia de An´alise Matem´atica I
Dura¸c˜ao: 1h30 20 de novembro de 2013 (v1)
Regras para a realiza¸c˜ao da frequˆencia:
•Os equipamentos m´oveis devem estar desligados durante a realiza¸c˜ao da prova.
•N˜ao pode utilizar calculadora.
•N˜ao pode utilizar corretor e as resp ostas devem ser apresentadas com caneta de tinta azul ou preta.
•Pode trocar a ordem das quest˜oes, desde que identifique a sua resposta.
•Justifique convenientemente as suas respostas, indicando no fim de cada exerc´ıcio a resposta simplificada.
•Qualquer tentativa de fraude ser´a punida com a anula¸c˜ao imediata da prova.
1. Considere a fun¸c˜ao f(x) = ln(arccos(x) + 1) definida no seguinte dom´ınio de injetividade [−1,1]. Determine
a fun¸c˜ao inversa de findicando dom´ınio, contradom´ınio e express˜ao anal´ıtica.
2. Calcule apenas dois limites:
i. lim
x→+∞(ex−x); ii. lim
x→0
cos(x)−x
sin(x); iii. lim
x→0+(1 + x)1/x.
3. Considere a fun¸c˜ao f(x) = (x−1)2cosh(x).
(a) Comente a afirma¸c˜ao:
“Existe um ponto no intervalo [0,1], cujo declive da reta tangente ao gr´afico de f´e igual a −1.”
(b) Determine uma estimativa do acr´escimo de f, ∆f, quando a abcissa do ponto varia de 0 para 0.125.
(c) Aproxime o valor de f(0.25) usando um polin´omio de Taylor de grau 2 de f, em torno de x0= 0.
4. Mostre por defini¸c˜ao de primitiva que ∫2x3−2x−2
x2+ 1 dx =x2−2 arctan(x)−2 ln(x2+ 1) + C, com C∈IR.
5. Calcule as primitivas:
(a) ∫(x+1)−2dx; (b)∫e1−x
1 + e2−2xdx; (c) ∫ln(x)+1
x√1−ln2(x)
dx; (d)∫tan2(x)[cos2(x)+sec2(x)] dx.
Formul´ario
Pn(x) = f(x0) + f′(x0)
1! (x−x0) + f′′(x0)
2! (x−x0)2+· · · +f(n)(x0)
n!(x−x0)n
Rn(x) = f(n+1) (c)
(n+ 1)! (x−x0)n+1
Cota¸c˜ao das perguntas
1 2 3(a) 3(b) 3(c) 4 5(a) 5(b) 5(c) 5(d)
0.75 0.75 0.75 0.75 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
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