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Matrizes
Introdução O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo. A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa: Química Inglês Literatura Espanhol A 8 7 9 8 B 6 6 7 6 C 4 8 5 9 Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela. Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes:
Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3. Veja mais alguns exemplos:
• é uma matriz do tipo 2 x 3
• é uma matriz do tipo 2 x 2
Notação geral Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas , acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:
ou, abreviadamente, A = [aij] (^) m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a 23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna. Na matriz , temos:
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a 11 = -1, a 12 = 0, a 13 = 2 e a 14 = 5.
Denominações especiais Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.
- Matriz linha : matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.
- Matriz coluna : matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo,, do tipo 3 x 1
- Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2. Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1. Veja:
Observe a matriz a seguir:
a 11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1 a 31 = 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1)
- Matriz nula : matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0 (^) m x n. Por exemplo,.
- Matriz diagonal : matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo:
- Matriz identidade : matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por I (^) n, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo:
Assim, para uma matriz identidade.
- Matriz transposta : matriz At^ obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:
Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At^ é do tipo n x m. Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de A t^ e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de At.
Multiplicação de um número real por uma matriz Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x , ou seja, b (^) ij = xa (^) ij: B = x.A Observe o seguinte exemplo:
Propriedades Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades: a) associativa: x. (yA) = (xy). A b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x. (A + B) = xA + xB c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y). A = xA = yA d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A
Multiplicação de matrizes O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos. Assim, o produto das matrizes A = ( a (^) ij) (^) m x p e B = ( b (^) ij) (^) p x n é a matriz C = (c (^) ij) (^) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B. Vamos multiplicar a matriz para entender como se obtém cada Cij :
- 1ª linha e 1ª coluna
- 1ª linha e 2ª coluna
- 2ª linha e 1ª coluna
- 2ª linha e 2ª coluna
Assim,.
Observe que:
Portanto, .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa. Vejamos outro exemplo com as matrizes :
Da definição, temos que a matriz produto A. B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B :
A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n) :
- Se A3 x 2 e B (^) 2 x 5 , então ( A. B ) (^) 3 x 5
- Se A (^) 4 x 1 e B (^) 2 x 3, então não existe o produto
- Se A (^) 4 x 2 e B (^) 2 x 1, então ( A. B ) (^) 4 x 1
Operações elementares-linha
São as operações efetuadas nas linhas de uma matriz. São as seguintes:
- Permutação de duas linhas: Notação L F 0 A Bi L (^) j
- Multiplicação de uma linha por uma constante não-nula: Notação L F 0 A Ei k.L (^) j
- Substituição de uma linha por sua soma com uma outra linha,previamente
multiplicada por uma escalar não-nulo: Notação L F 0 A Ei L i + k.L j
Obs: Estas operações elementares podem ser efetuadas nas colunas de uma matriz.
Neste caso, são chamadas operações elementares –coluna. Se A e B são matrizes m
x n, dizemos que são equivalentes (linha ou coluna) se uma delas puder ser obtida da
outra através de uma seqüência finita de operações elementares(linha ou coluna).
Denotamos a equivalência entre duas matrizes A e B por A ~B ou B~A.
Ex:
Ex: Transformar a matriz A em escalonada:
Matriz inversa Dada uma matriz A , quadrada, de ordem n , se existir uma matriz A' , de mesma ordem, tal que A. A' = A'. A = I (^) n , então A' é matriz inversa de A. representamos a matriz inversa por A -^.
Ex: A = , fazendo A-1^ = , sabemos que A. A-1^ = I 2
Pela igualdade de matrizes, temos os sistemas:
Cálculo da inversa pelo método de Jordan
Se A é uma matriz invertível, sua matriz canônica é a matriz identidade.
Método conhecido como processo de Jordan
1. Forme a matriz[ A : I ]
2. Usando operações elementares-linha, encontre a matriz canônica desta nova
matriz.Lembre- se de que qualquer operação feita em uma linha de A deverá ser
feita na linha correspondente da matriz I
3. Ex:
Determinantes
Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn). A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:
- resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
- cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices; Determinante de 1ª ordem Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a 11 ], o seu determinante é o número real a 11 : det M =Ia 11 I = a (^11) Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo. Por exemplo:
- M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5 • M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -
Determinante de 2ª ordem Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante associado a M , determinante de 2ª ordem, é dado por:
Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.
Menor complementar Chamamos de menor complementar relativo a um elemento a (^) ij de uma matriz M , quadrada e de ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por a (^) ij. Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir: a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a 11 (MC 11 ) , retiramos a linha 1 e a coluna 1:
Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a 12 é:
b) Sendo , de ordem 3, temos:
Cofator
Determinante de ordem n > 3 Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus. Propriedades dos determinantes Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades: P 1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo. Exemplo:
P 2 ) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo. Exemplo:
P 3 ) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo. Exemplo:
P 4 ) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo. Exemplos:
P 5 ) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais. Exemplo:
P 7 ) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número. Exemplos:
P 8 ) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal. Exemplo:
P 9 ) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal. Exemplos:
P 10 ) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n ,. Como: Exemplo:
P 12 )
Exemplo:
Cálculo do determinante pelo método da eliminação
O determinante de qualquer matriz quadrada A pode ser calculado reduzindo a matriz A a
uma matriz escalonada. Como qualquer matriz escalonada quadrada é triangular superior,
o determinante desta matriz escalonada é o produto dos elementos de sua diagonal
principal. Assim, para obter o det(a) utilizaremos operações elementares nas linhas de A,
o que é sempre possível, para transformar A em uma matriz escalonada.
Observe abaixo o efeito de cada operação elementar-linha sobre o determinante de A á
medida que reduzimos A á forma escalonada.
1. Se a matriz B é obtida de A pela divisão de uma certa linha de A por uma
escalar K≠ 0, então det (A) = K. det (B)
2. Se a matriz B e obtida de A pela permuta de duas linhas de A, então: det (A) =
(-1). det(B)
3. Se a matriz B é obtida de A pela Substituição de uma Linha por sua soma com
um múltiplo de uma outra linha, então: det(A)=det (B)
4. O exemplo a seguir mostra como calcular o determinante de A utilizando
operações elementares nas linhas de A para reduzi-la á forma
escalonada(triangular superior).
Posto de uma matriz
Definimos posto de uma matriz A, que denotamos por p(a), como sendo o número
de linhas não-nulas de uma forma escalonada da matriz A.
Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:
Sistemas homogêneos Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes da equações são nulos:
Veja um exemplo:
A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais Classificação de um sistema quanto ao número de soluções Resolvendo o sistema , encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única). No caso do sistema , verificamos que os pares ordenados (0,8), (1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções). Para , verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução).
Resumindo, um sistema linear pode ser: a) possível e determinado (solução única); b) possível e indeterminado (infinitas soluções); c) impossível (não tem solução).
Sistema normal Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações ( m ) e de incógnitas ( n ) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. Se m=n e det A 0, então o sistema é normal.
Regra de Cramer Todo sistema normal tem uma única solução dada por:
em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e D (^) xi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.
Discussão de um sistema linear Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser:
a) possível e determinado, se D=det A0; caso em que a solução é única. Exemplo:
m=n=
Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.
b) possível e indeterminado, se D= D (^) x1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn = 0, para n=2. Se n3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais. Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções. Exemplo:
D=0, Dx =0, D (^) y=0 e D (^) z=
Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.
c) impossível, se D=0 e D (^) xi0, 1 in; caso em que o sistema não tem solução.
Exemplo:
Como D=0 e Dx 0, o sistema é impossível e não apresenta solução.
Sistemas Lineares
Sistemas escalonados Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações ( m ) é igual ao número de incógnitas ( n ). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares. Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero.
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3º equação:
- Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por -1 com a 3º equação:
Dessa forma, o sistema está escalonando. Como não existe valor real de z tal que 0z=-2, o sistema é impossível.
II) O número de equações é menor que o número de incógnitas (m < n) Exemplo:
1º passo : Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:
- Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:
- Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -1 com a 3º equação:
2º passo : Anulamos os coeficientes da 2º incógnita, a partir da 3º equação:
- Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 2º equação por -3 com a 3º equação
O sistema está escalonado. Como m<n, o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções. A diferença entre o número de incógnitas (n) e o de equações (m) de um sistema nessas condições é chamada grau de indeterminação (GI): GI= n - m Para resolver um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo:
- Consideramos o sistema em sua forma escalonada:
- Calculamos o grau de indeterminação do sistema nessas condições: GI = n-m = 4-3 = 1
Método de discussão do sistema por escalonamento
1. p(a): é número de linhas não-nulas de uma forma escalonada da matriz A
2. p(A:B) : ´número de linhas não-nulas da matriz escalonada aumentada
3. n= número de incógnitas do sistema
4. r = número de equações na forma escalonada
- sistema não tem solução, quando: p(a)F 03 C p(A:B)→ Sistema
impossível(SI)
- sistema tem solução: p(A)=p(A:B), r=n→ Sistema possível e
determinado(SPD)
- sistema tem solução: p(A)=p(A:B), r < n → Sistema possível e
indeterminado(SPI)
