Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará – IFCE
Lista 1 – Engenharia de Mecatrônica e Telemática
Disciplina: Álgebra Linear
1. Mostre que a única matriz simétrica que também é anti-simétrica é a matriz nula.
2. Dizemos que uma matriz não nula e quadrada é Nilpotente quando existe um inteiro
tal que . E se dizemos que é nilpotente de nível n.
a. Mostre que a matriz é nilpotente de nível 3.
b. Mostre que se de nível 2, então A não possui inversa.
3. Mostre que é válida a igualdade [
4. Mostre a seguinte identidade de Jacobi:
5. Definimos o traço de uma matriz quadrada como sendo a soma dos elementos da sua
diagonal principal e denotaremos por Então se
. Sejam A e B duas matrizes de ordem n. Mostre que:
a.
b.
c.
d. para todo
6. Suponha que , É verdade que
7. Mostre que se uma matriz de ordem 2 é igual ao dobro de sua transposta, então, ela é
nula.
8. Sejam e duas matrizes que comutam entre si e tal que e Mostre que .
9. Mostre que para toda matriz vale a igualdade ).
10. Mostre que o traço de uma matriz anti-simétrica é zero.
11. Prove que se um sistema linear possui duas soluções distintas, então ele possui infinitas
soluções.
.
12. Determine , de modo que o sistema
Tenha infinitas soluções.
13. Sejam uma solução do sistema linear homogêneo
prove que o sistema possui infinitas soluções.
14. Se
determine e tente descobrir a natureza de onde n é um inteiro positivo.
15. Construa a matriz de ordem 3 por 4 onde onde
16. Prove que a multiplicação de duas matrizes diagonais quaisquer de mesma ordem é
comutativa.
17. Prove que a soma de uma matriz qualquer e sua transposta é uma matriz simétrica, isto
é,
18. Se A e B são matrizes simétricas, então é uma matriz simétrica se, e somente se,
19. Determine o número máximo de elementos distintos numa matriz anti-simétrica
qualquer de ordem
20. Determine de modo que o sistema linear seja compatível.