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2.a^ Lista de Exerc´ıcio de SMA-304 Algebra Linear´
Exerc´ıcio 1. Em R^2 , mantenhamos a defini¸c˜ao do produto αv de um n´umero por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a defini¸c˜ao da soma u + v dos vetores u = (x, y) e v = (x′, y′). Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espa¸co vetorial continuam valendo e quais s˜ao violados:
(1) u + v = (x + y′, x′^ + y);
(2) u + v = (xx′, yy′);
(3) u + v = (3x + 3x′, 5 x + 5x′).
Exerc´ıcio 2. Consideremos uma mola (que supomos sem massa) suspensa verticalmente tendo sua extremidade superior presa num suporte r´ıgido. Fixamos um corpo de massa m na outra extremidade da mola. Suponha que este corpo seja deslocado verticalmente a partir da sua posi¸c˜ao de equil´ıbrio e, em seguida, liberado. O movimento y deste corpo, a partir da posi¸c˜ao de equil´ıbrio, ´e dado por uma fun¸c˜ao da forma:
y(t) = λ 1 cos ωt + λ 2 sen ωt; (1)
onde ω ∈ R ´e uma constante que depende da mola e da massa do corpo. Mostre que para um ω ∈ R fixo, o conjunto de todas as fun¸c˜oes descritas em (1) ´e um espa¸co vetorial sobre R.
Exerc´ıcio 3. Seja I = [0, 1] e C(I) o espa¸co das fun¸c˜oes reais cont´ınuas, definidas em I. Verificar se s˜ao sub-espa¸cos vetoriais de C(I):
(a) {f ∈ C(I) | f (0) = 0}
(b) {f ∈ C(I) |
0 f^ (t)dt^ = 0} (c) {f ∈ C(I) | f (0) = f (1)}
(d) {f ∈ C(I) | f (t) = 0 em todos os pontos de I menos um n´umero finito deles }.
Exerc´ıcio 4. Seja V um espa¸co vetorial. Se (Uj )j∈J ´e uma fam´ılia de sub-espa¸cos vetoriais de V , mostrar que ∩j∈J Uj tamb´em ´e um sub-espa¸co vetorial de V.
Exerc´ıcio 5. Seja V um espa¸co vetorial. Dado um subconjunto S 6 = ∅ de V , provar que a interse¸c˜ao de todos os sub-espa¸cos vetoriais de V que cont´em S tamb´em ´e um sub-espa¸co vetorial de V , sendo o menor sub-espa¸co de V que cont´em S.
Exerc´ıcio 6. Seja U , V e W os seguintes sub-espa¸cos do R^3 :
U = {(x, y, z) | x = z}, V = {(x, y, z) | x = y = 0} e W = {(x, y, z) | x + y + z = 0}.
Verifique que U + V = R^3 , U + W = R^3 e V + W = R^3. Em algum dos casos a soma ´e direta?
Exerc´ıcio 7. Sejam u e v dois vetores n˜ao nulos do R^2. Se n˜ao existe nenhum t ∈ R tal que u = tv, mostrar que R^2 ´e soma direta dos sub-espa¸cos [u] e [v].
Exerc´ıcio 8. Considere os seguintes vetores do R^3 : (− 1 , 0 , 1) e (3, 4 , −2). Determinar um sistema de equa¸c˜oes homogˆeneas para o qual o espa¸co solu¸c˜ao seja exatamente o sub-espa¸co gerado por esses vetores.
Exerc´ıcio 9. Mostrar que os dois conjuntos abaixo formados de fun¸c˜oes cont´ınuas reais definidas em R geram o mesmo sub-espa¸co vetorial de C(R):
{sen^2 t, cos^2 t, sen t. cos t} e { 1 , sen 2t, cos 2t}.
Exerc´ıcio 10. Prove que a reuni˜ao de dois sub-espa¸cos vetoriais de E ´e um sub-espa¸co vetorial se, e somente se, um deles estiver contido no outro.
Exerc´ıcio 11. Mostrar com um exemplo que a uni˜ao de dois sub-espa¸cos vetoriais de um mesmo espa¸co vetorial n˜ao precisa ser um sub-espa¸co vetorial desse espa¸co.
Exerc´ıcio 12. Uma matriz quadrada a = [aij ] chama-se sim´etrica (respect. anti-sim´etrica) quando aij = aji (respect. aij = −aji) para todo i e todo j. Prove que o conjunto S das matrizes sim´etricas e o conjunto A das matrizes anti-sim´etricas n × n s˜ao sub-espa¸cos vetoriais de M(n × n) e que se tem M(n × n) = S ⊕ A.
Exerc´ıcio 13. Sejam E, F espa¸cos vetoriais. Uma fun¸c˜ao f : E → F chama-se par (respect. ´ımpar) quando f (−v) = f (v) (respect. f (−v) = −f (v)) para todo v ∈ E. Prove que o conjunto A das fun¸c˜oes pares e o conjunto B das fun¸c˜oes ´ımpares s˜ao sub-espa¸cos vetoriais de F(E; F ) (espa¸co das fun¸c˜oes definidas de E para F ), e vale que F(E; F ) = A ⊕ B.
Exerc´ıcio 14. Quais os subconjuntos abaixo do R^3 s˜ao linearmente independentes:
(a) {(1, 0 , 0), (0, 1 , 0), (0, 0 , 1), (2, 3 , 5)}
(b) {(1, 1 , 1), (1, 0 , 1), (1, 0 , −2)}
(c) {(0, 0 , 0), (1, 2 , 3), (4, 1 , −2)}
(d) {(1, 1 , 1), (1, 2 , 1), (3, 2 , −1)}
Exerc´ıcio 15. Demonstrar que o conjunto { 1 , ex, e^2 x} de vetores de C([0, 1]) ´e L.I.
Exerc´ıcio 16. Determinar m e n para que os conjuntos de vetores do R^3 dados abaixo sejam L.I.
(a) {(3, 5 m, 1), (2, 0 , 4), (1, m, 3)}
(b) {(1, 3 , 5), (2, m + 1, 10)}
(c) {(6, 2 , n), (3, m + n, m − 1)}
