Exerc´ıcio 2. Seja F : R^3 → R^3 o operador linear assim definido na base canˆonica: F (1, 0 , 0) = (2, 3 , 1), F (0, 1 , 0) = (5, 2 , 7), F (0, 0 , 1) = (− 2 , 0 , 7). Determinar F (x, y, z), onde (x, y, z) ´e um vetor gen´erico do R^3. Mostrar que F ´e um operador linear.

Exerc´ıcio 3. Sejam U e V sub-espa¸cos de um espa¸co W tais que W = U ⊕ V. Sejam P 1 e P 2 as aplica¸c˜oes de W em W tais que todo w = u + v de W (com u ∈ U e v ∈ V ) associam, respectivamente, u e v, ou seja P 1 (w) = u e P 2 (w) = v. Mostrar que P 1 e P 2 s˜ao lineares.

Exerc´ıcio 4. Seja F o operador linear do R^2 tal que F (1, 0) = (2, 1) e F (0, 1) = (1, 4).

a) Determinar F (2, 4);

b) Determinar (x, y) ∈ R^2 tal que F (x, y) = (2, 3);

c) Provar que F ´e sobrejetor e injetor (bijetor).

Exerc´ıcio 5. Assinale V(erdadeiro) ou F(also): E dada uma transforma¸´ c˜ao linear F : E → V.

( ) Se v ∈ E ´e tal que F (v) = 0 ent˜ao v = 0

( ) Se F (w) = F (u) + F (v) ent˜ao w = u + v

( ) Se v ´e combina¸c˜ao linear de u 1 ,... , um ent˜ao F (v) ´e combina¸c˜ao linear de F (u 1 ),... , F (um).

( ) Se u, v, w ∈ E s˜ao colineares (isto ´e, pertencentes a uma mesa reta) ent˜ao F (u), F (v) e F (w) s˜ao colineares.

Exerc´ıcio 6. Seja F : U → V uma transforma¸c˜ao linear com a seguinte propriedade: se {u 1 ,... , un} ´e uma base de U , ent˜ao {F (u 1 ,... , F (un)} ´e linearmente independente em V. Provar que F ´e injetora.

Exerc´ıcio 7. Para cada uma das transforma¸c˜oes lineares abaixo determinar uma base e a dimens˜ao do n´ucleo e da imagem:

a) F : R^3 → R dada por F (x, y, z) = x + y − z.

b) F : R^2 → R^2 dada por F (x, y) = (2x, x + y).

c) F : R^3 → R^4 dada por F (x, y, z) = (x − y − z, x + y + z, 2 x − y + z, −y).

d) F : P 2 (R) → P 2 (R) dada por F (f (t)) = t^2 f ′′(t).

e) F : M 2 (R) → M 2 (R) dada por F (X) = M X + X, onde

M =

f) F : M 2 (R) → M 2 (R) dada por F (X) = M X − XM , onde

M =

Exerc´ıcio 8. Assinale verdadeiro (V ) ou (F ):

( ) Uma transforma¸c˜ao linear F : E → V ´e sobrejetiva se, e somente se, dimKer(F ) = dimE − dimV.

( ) Dada a transforma¸c˜ao linear F : E → V , para todo b fixado em V , o conjunto G = {x ∈ E; F (x) = b} ´e um subespa¸co vetorial E.

( ) Para todo operador linear F : E → E, tem-se E = Ker(F ) ⊕ Im(F ).

( ) Todo operador linear injetivo no espa¸co C^0 (R) das fun¸c˜oes cont´ınuas f : R → R ´e tamb´em sobrejetivo.

( ) O n´ucleo de toda transforma¸c˜ao linear F : R^5 → R^3 tem dimens˜ao maior ou igual a 3.

( ) Se a transforma¸c˜ao linear F : Rm^ → Rn^ ´e injetiva, ent˜ao dimIm(F ) = m.

Exerc´ıcio 9. Determinar um operador linear F : R^3 → R^3 cuja imagem ´e gerada por (2, 1 , 1) e (1, − 1 , 2).

Exerc´ıcio 10. Considere o operador linear F do R^3 definido por F (1, 0 , 0) = (1, 1 , 1); F (0, 1 , 0) = (1, 0 , 1) e F (0, 1 , 2) = (0, 0 , 4). F ´e invers´ıvel? Se for, determine o isomorfismo inverso.

Exerc´ıcio 11. Consideremos uma transforma¸c˜ao linear F : U → V. Se dimU > dimV , prove que existe um vetor n˜ao nulo u 0 ∈ U tal que F (u 0 ) = 0 (vetor nulo de V ). (Ou seja, F n˜ao ´e injetora.)

Exerc´ıcio 12. Sejam F, G ∈ L(R^3 ) assim definidos:

F (x, y, z) = (x + y, z + y, z) e G(x, y, z) = (x + 2y, y − z, x + 2z)

Determinar:

a) F ◦ G;

b) Ker(F ◦ G) e Im(G ◦ F ).

c) uma base e a dimens˜ao de Ker(F 2 ◦ G).