Algebra linear semestre 1, Notas de estudo de Engenharia Civil

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Algebra Linear´

Um Texto para Universit´arios

Pl´acido Francisco de Assis Andrade

Universidade Federal do Cear´a

Centro de Ciˆencias

Departamento de Matem´atica

16 de fevereiro de 2007

i

Pref´acio Este texto foi redigido para atender aos diversos Cursos oferecidos pela Universidade Federal do Cear´a que possuem na sua integraliza¸c˜ao a disciplina semestral Introdu¸c˜ao `a Algebra Linear.´ Ela ´e ministrada por professores do Departamento de Matem´atica.

Embora n˜ao seja necess´ario, para facilitar a leitura do texto, o aluno pre- cisar´a de um conhecimento m´ınimo de Geometria Anal´ıtica e determinantes. Os t´opicos estudados no Ensino M´edio s˜ao mais do que suficientes.

O ritmo da apresenta¸c˜ao est´a baseado na experiˆencia de sala de aula e a reda¸c˜ao levou em conta o estudante. Por isso, em alguns momentos, um leitor mais familiarizado com Algebra Linear pode considerar o texto lento e´ simples. N˜ao ´e o caso do leitor iniciante. A elegˆancia no desenvolvimento dos t´opicos de Algebra Linear esconde diversos conceitos aparentemente d´´ ıspares, tornando seu estudo uma descoberta constante para aqueles que nunca tiveram a oportunidade de conhecˆe-la sistematicamente.

A grande dificuldade de uma apresenta¸c˜ao de Algebra Linear para estu-´ dantes do primeiro ano dos cursos de gradua¸c˜ao ´e o uso dos conceitos pr´oprios dessa disciplina por diversas outras, tais como, C´alculo, de uma ou mais vari´aveis, C´alculo Vetorial, Mecˆanica, Eletricidade, Equa¸c˜oes Diferenciais, Es- tat´ıstica, etc. Em geral, numa integraliza¸c˜ao curricular essas disciplinas s˜ao colocadas posteriores `a Algebra Linear, como ´´ e natural e conveniente. Por- tanto, a beleza de seu uso fica prejudicada, pois as aplica¸c˜oes ainda n˜ao est˜ao ao alcance da compreens˜ao imediata do estudante nem existe tempo curricular para reconstru´ı-las.

Procurando contornar essa dificuldade, optamos por colocar a Algebra Lin-´ ear como uma disciplina de transi¸c˜ao entre a Matem´atica do Ensino M´edio e a Matem´atica do Ensino Superior. Por isso, o texto procura relacionar os novos conceito com aqueles da Geometria Anal´ıtica, conte´udo j´a familiar ao estudante calouro. Para evitar repeti¸c˜oes, a Geometria Anal´ıtica ter´a um tratamento ve- torial.

Pl´acido Francisco de Assis Andrade [email protected] Fortaleza, 17 de julho de 2006

Sum´ario

vi SUM ARIO´

13.4 Propriedades............................ 310 13.5 Adjunta cl´assica........................... 312

Cap´ıtulo 1

O espa¸co vetorial R

n

Este cap´ıtulo tem dois objetivos. Primeiro, apresentar o espa¸co vetorial Rn, um conjunto alg´ebrico. Segundo, relacionar o plano Euclidiano e o espa¸co Eucli- dano com os conjuntos alg´ebricos, R^2 e R^3 , respectivamente. Isso estabelecer´a uma ponte entre os novos conceitos com aqueles conhecimentos adq¨uiridos pelo leitor desde o Ensino M´edio. Ressaltamos que iremos discorrer sobre trˆes ob- jetos, um deles alg´ebrico, o Rn, enquanto os outros dois ser˜ao geom´etricos, o plano e o espa¸co, conceitos n˜ao definidos. Um quarto objeto, a figura desen- hada no papel, serve apenas para organizar as id´eias. Neste texto, os termos fun¸c˜ao e aplica¸c˜ao possuem o mesmo significado.

1.1 O conjunto R

n

Denota-se por Rn^ o conjunto das n-uplas ordenadas de n´umeros reais, qual seja,

Rn^ = {(x 1 , x 2 , ..., xn); xi ∈ R para todo inteiro i, 1 ≤ i ≤ n}.

Os elementos deste conjunto s˜ao chamados de pontos e, por simplicidade, muitas vezes indicaremos por v um ponto de Rn, portanto, essa nota¸c˜ao est´a registrando que

v = (x 1 , x 2 , ..., xn).

Num primeiro momento, esses s˜ao os conjuntos para os quais voltaremos nosso interesse. Dados dois pontos v = (x 1 , x 2 , ..., xn) e w = (y 1 , y 2 , ..., yn), diremos que v = w se, e somente se, xi = yi para todo i = 1, 2 , ..., n. Para organizar a escrita utilizaremos letras min´usculas para indicar os pontos de Rn. Por

1.1. O CONJUNTO RN^3

O plano Euclidiano E^2 possui subconjuntos especiais chamados de retas que ser˜ao denotadas por letras min´usculas, a saber, r, s, l, m, etc. Observe que r ⊂ E^2. O mesmo ocorre com o espa¸co Euclidiano E^3 , alguns subconjuntos s˜ao chamados de retas e tamb´em utilizaremos tamb´em letras min´usculas, r, s, l, etc. para designar retas contidas no espa¸co Euclidiano. Dados dois pontos A, B ∈ r indicaremos o segmento com extremos nesses pontos por AB.

A identifica¸c˜ao entre os conjuntos alg´ebricos R^2 e R^3 com aqueles conjun- tos Euclidianos ´e do conhecimento de todos, mas recapitulemos a constru¸c˜ao que justifica a existˆencia da Geometria Anal´ıtica. Ressaltamos que devemos distinguir o conjunto alg´ebrico, o conjunto Euclidiano e as figuras que vocˆe faz no papel. Iniciamos identificando os n´umeros reais com os pontos de uma reta de modo intuitivo, como encontrado em qualquer livro do Ensino M´edio.

Dada a reta r ⊂ E^2 (ou a reta r ⊂ E^3 ), escolhemos dois pontos O, A ∈ r e fixamos um segmento OA ⊂ r. O ponto O, que fica associado ao n´umero 0 e ´e chamado de origem do sistema, divide a reta em duas semi-retas, uma delas cont´em o ponto A. Se x > 0 ent˜ao x ´e associado ao ponto X da semi-reta que cont´em A cuja a raz˜ao entre os comprimentos dos segmentos OX e OA ´e igual a x. Observe que nesse caso 1 e A est˜ao relacionados. Se x < 0 ent˜ao x ´e associado ao ponto X na semi-reta que n˜ao cont´em A cuja raz˜ao entre os segmentos OX e OA ´e igual a −x.

Com isso, temos definido uma aplica¸c˜ao P : R → r.

Contruiremos, agora, uma aplica¸c˜ao entre R^2 e E^2. Antes de tudo, fixamos duas retas n˜ao paralelas r e s em E^2 , que passam a ser chamadas de eixos Cartesianos. Sobre cada uma das retas estabelecemos uma correspondˆencia com os n´umeros reais, como feito acima, tendo como origem o ponto de in- terse¸c˜ao O = r ∩ s. E cl´´ assico designar a reta r por ox e a reta s por oy e, em geral, s˜ao escolhidas duas retas perpendiculares. Os n´umeros correspon- dentes aos pontos sobre o eixo ox s˜ao chamados de abscissa e sobre o eixo oy s˜ao chamados de ordenadas. Finalmente, cada ponto Q ∈ E^2 determina dois n´umeros reais (abscissa e ordenada), quais sejam, eles s˜ao as interse¸c˜oes com os eixos das retas paralelas aos eixos que passam por Q.

4 CAP´ITULO 1. O ESPAC¸ O VETORIAL RN

Seja (x, y) ∈ R^2. Definimos P : R^2 → E^2 , pela regra: P (x, y) ´e o ponto do plano Eu- clidiano cuja abscissa ´e x e a ordenada ´e y. Argumentos usuais de Geometria Euclidiana garantem que esse ponto ´e ´unicamente de- terminado. Reciprocamente, cada ponto no plano ´e associado a um ´unico par ordenado, como comentado anteriormente. Fixado o sistema de eixos, o plano Euclidiano passa a ser chamado de plano Cartesiano.

Fixemos uma regra notacional pouco explicada nos livros textos. Ao es- crevermos U(2, 3) estamos supondo que j´a fixamos os eixos Cartesianos e este ponto ´e imagem do ponto u = (2, 3) ∈ R^2 , pela aplica¸c˜ao P : R^2 → E^2. N˜ao escreveremos U = P (2, 3). O ponto v = (x, y) ter´a sua imagem pela aplica¸c˜ao P indicada por V (x, y) em lugar de P (x, y), o ponto w = (− 1 , 4) ter´a sua imagem indicada por W (− 1 , 4), etc.

Do modo modo, constru´ımos uma fun¸c˜ao de R^3 para P : R^3 → E^3. Seja v = (x, y, z) ∈ R^3. Fixados trˆes eixos Cartesianos em E^3 , ox, oy e oz (mutuamente ortogonais), defin- imos a aplica¸c˜ao P por, P (x, y, z) ´e o ponto do espa¸co Euclidiano tal que a abscissa ´e x, a ordenada ´e y e a altura ´e z.

Certamente o leitor est´a acostumado com a nota¸c˜ao P (x, y, z). Quando fixamos um sistema de eixos em E^3 passamos a cham´a-lo de espa¸co Cartesiano.

Igual regra notacional ser´a utilizada para R^3. Se w = (1, − 2 , 3) ent˜ao em lugar de escrevermos P (1, − 2 , 3), escreveremos W (1, − 2 , 3).

Exerc´ıcios propostos 1.1.

1. Represente graficamente:

(a) os pontos P (2, 3), Q(− 1 , 2), R(− 2 , −3) e O(0, 0) do plano Cartesiano; (b) os pontos P (2, 3 , 1), Q(− 1 , 2 , −1) e R(− 2 , − 3 , 1) e O(0, 0 , 0) do espa¸co Cartesiano.

2. Fixado um ponto U ∈ E^2. E poss´´ ıvel escolher um sistema de eixos Cartesianos

6 CAP´ITULO 1. O ESPAC¸ O VETORIAL RN

d) para cada vetor v ∈ V existe um ´unico vetor −v ∈ V , chamado de inverso aditivo de v, tal que v + (−v) = 0.

II Se v ∈ V e λ ∈ R ent˜ao λv ∈ V e:

a) 1 v = v para todo v ∈ V ; b) a multiplica¸c˜ao por escalar ´e associativa, λ 1 (λ 2 v) = (λ 1 λ 2 )v; c) a multiplica¸c˜ao por escalar ´e distributiva em rela¸c˜ao a adi¸c˜ao de vetores, λ(u + v) = λu + λv; d) multiplica¸c˜ao por escalar ´e distributiva em rela¸c˜aoa adi¸c˜ao de es- calares, (λ 1 + λ 2 )v = λ 1 v + λ 2 v.

Utilizamos uma terminologia pr´opria quando estamos falando acerca de espa¸co vetorial. Por exemplo, escalar significa um n´umero real, como j´a foi dito. Dois vetores v, w ∈ Rn^ s˜ao colineares quando existe um escalar λ tal que v = λw ou w = λv.

Observe que o vetor nulo do Rn^ ´e o vetor o = (0, 0 , ..., 0).

Exemplo 1.2.1 Sejam v = (2, −1) e w = (− 4 , 7) vetores de R^2. Pela defini¸c˜ao, a soma dos vetores ´e efetuada coordenada a coordenada,

v + w = (2, −1) + (− 4 , 7) = (2 − 4 , −1 + 7) = (− 2 , 6).

Se λ = −3 ent˜ao λv = − 3 · (2, −1) = (− 6 , 3). O vetor u = (− 4 , 2) ´e colinear com v, pois u = − 2 v.

Verifica-se que as duas opera¸c˜oes em Rn, acima definidas, gozam de todas as propriedades listadas na defini¸c˜ao de espa¸co vetorial. Por exemplo, a soma de vetores ´e comutativa, v + w = w + v, ou que a soma de qualquer vetor v com o vetor nulo ´e o pr´oprio vetor, v + o = v. Observe que 0v = o, isto ´e, um vetor multiplicado pelo escalar zero ´e igual ao vetor nulo.

Exerc´ıcio 1.2.1 Sejam 0 ∈ R e v, w ∈ Rn. Mostre que 0 · v + w = w e que o vetor o ´e colinear com qualquer vetor. Verifique a igualdade v + (−1)v = 0.

Anteriormente, exibimos uma identifica¸c˜ao entre os conjuntos Rn^ com os conjuntos Euclidianos, En, n = 2, 3, respectivamente. Depois, definimos uma opera¸c˜ao de soma de dois elementos e um produto de um elemento por um

1.2. O ESPAC¸ O VETORIAL RN^7

escalar em Rn, passando a cham´a-los de espa¸co vetorial. Agora, iremos rep- resentar geometricamente os vetores para explicitar a existˆencia da estrutura alg´ebrica em Rn. A diferen¸ca entre o conjunto e o conjunto com a estru- tura alg´ebrica (espa¸co vetorial) ´e sutil mas existe, e a diferen¸ca ´e visualizada utilizando-se o conceito de segmento orientado.

Sejam R, S ∈ En, n = 2, 3. Um segmento orientado em En^ ´e o par ordenado (R, S) que

por conveniˆencias gr´aficas ´e indicado por

RS,

em lugar da nota¸c˜ao com pares ordenados. Esta grafia registra a id´eia de uma seta com ponto inicial em R e ponto final em S.

Dados os pontos R(r 1 , r 2 ) e S(s 1 , s 2 ) do plano Cartesiano E^2. Diz-se que o

segmento orientado

RS representa o vetor v = (x 1 , x 2 ) ∈ R^2 se, e somente se, as coordenadas dos pontos e as coordenadas do vetor est˜ao relacionadas pelas equa¸c˜oes

{ x 1 = s 1 − r 1 x 2 = s 2 − r 2

Exemplo 1.2.2 Um vetor pode ser representado por v´arios segmentos orien- tados diferentes. Vejamos duas representa¸c˜oes para o vetor v = (1, 2) ∈ R^2.

Se escolhermos os pontos R(2, 0) e S(3, 2) em E^2 , o segmento orientado

RS

representa v = (1, 2) ∈ R^2 , pois pela defini¸c˜ao, temos as rela¸c˜oes { 1 = 3 − 2 2 = 2 − 0

Se escolhermos os pontos P (1, 1) e Q(2, 3) o

segmento orientado

P Q tamb´em representa o mesmo vetor v = (1, 2) ∈ R^2 , pois

{ 1 = 2 − 1 2 = 3 − 1

Fica uma quest˜ao para o leitor: dado T (a, b) ∈ E^2 , determine as coordenadas

de U ∈ E^2 para que o segmento orientado

T U seja um representante de v = (1, 2).

Exerc´ıcio 1.2.2 Sejam P (3, −1) e Q(− 4 , 3) dois pontos de E^2. Esboce os

1.2. O ESPAC¸ O VETORIAL RN^9

Coment´ario As duas opera¸c˜oes ´algebricas definidas em Rn^ podem ser visu- alizadas quando n = 2 ou n = 3, utilizando segmentos orientados.

Apresentemos o caso planar, n = 2, para o caso espacial, n = 3, as con- stru¸c˜oes s˜ao as mesmas. Desejamos registrar graficamente a opera¸c˜ao v + w, onde v = (3, 1) e w = (− 2 , 1). N˜ao podemos somar segmentos orientados quaisquer, mas podemos definir a soma de segmentos orientados quando o

ponto final do primeiro ´e o ponto inicial do segundo,

OV +

V P =

OP.

Para representar o vetor v podemos escol- her o segmento orientado com pontos iniciais e finais O(0, 0) e V (3, 1), respectivamente. Quanto ao vetor w podemos escolher para representante o segmento orientado com pon- tos iniciais e finais V (3, 1) e P (1, 2), respec- tivamente. Sendo assim, a soma v + w ´e rep- resentada por

OP.

A representa¸c˜ao gr´afica ´e v´alida para a soma de trˆes ou mais vetores. Se desejarmos rep- resentar a soma u + v + w, colocaremos-se os representantes dos vetores de tal forma que o ponto final de um ´e o ponto inicial do

seguinte,

P Q +

QR +

RS =

P S.

Examinemos a representa¸c˜ao gr´afica da multiplica¸c˜ao de um vetor por um escalar.

Escolhamos v = (3, 1), λ 1 = 2 e λ 2 = −2. Se o representante escolhido para do vetor v for −→ P Q, onde P (a, b) e Q(c, d), o representante

de λiv ´e o segmento orientado

P ′Q′^ com co- ordenadas P ′(λia, λib) e Q′(λic, λid).

Mais conveniente ´e escolher um representante para v na forma

OV , com V (3, 1), pois os m´ultiplos λiv s˜ao graficamente registrados sobre uma mesma reta que cont´em a origem do plano Cartesiano.

Exerc´ıcios propostos 1.2.

10 CAP´ITULO 1. O ESPAC¸ O VETORIAL RN

1. Seguindo a nota¸c˜ao do livro texto, quais dos registros s˜ao v´alidos: a) v(2, 1) b) P (2, 1) c) v = (2, 1) d) P = (2, 1) e) r ⊂ E^3 f) (2, 1) ∈ E^2 g) E^2 = R^2 h) P (2, 1) ∈ R^2 i) −−→ P Q ∈ R^2 j) −−→ P Q ∈ E^2 k) v =

−−→ P Q l) P ∈ E^2 m) P (2, 1) ∈ E^2 n) R^2 ⊂ R^3 o) v ∈ R^2 p) r ∈ E^2 q) AB ∈ R^3 r) (2, 1) ∈ R^2 s) P Q = −−→ P Q t) α ∈ E^3 u) α ⊂ E^2 v) r ⊂ α x) AB ⊂ E^3 y) AB ⊂ E^2 z) r = AB

2. Sejam v = (2, −1) e w = (3, −2) vetores em R^2. Calcule 3v − w e v + 2w e represente graficamente os vetores por segmentos orientados com ponto inicial O(0, 0). Represente-os com ponto inicial P (− 2 , 1).
3. Considere os pontos P (1, −1), Q(− 3 , 3) e R(2, 2) do plano Cartesiano.

(a) Esboce os segmentos orientados

−−→ P Q e

−−→ QR e

−−→ QQ. (b) Determine os vetores u, v e w de R^2 representados pelos segmentos ori- entados

−−→ P Q,

−−→ QR e

−−→ QQ. Qual a rela¸c˜ao entre os vetores representados por −−→ P Q e −−→ QP. (c) Represente graficamente a soma u + v por um segmento orientado cujo ponto inicial ´e o ponto P e represente o vetor 2u com ponto final R(2, 2).

4. A partir do esbo¸co das representa¸c˜oes dos vetores u e v, como indicado em cada figura, determine quais os outros vetores que est˜ao representados.

1.3 Combina¸c˜ao linear e base canˆonica

Fixaremos uma defini¸c˜ao que nos acompanhar´a por todo o texto.

Defini¸c˜ao 1.3.1 Um vetor w ∈ Rn^ ´e uma combina¸c˜ao linear dos vetores v 1 , v 2 , ..., vk ∈ Rn^ se existem escalares a 1 , a 2 , ..., ak ∈ R, tais que

w = a 1 v 1 + a 2 v 2 + · · · + akvk.

12 CAP´ITULO 1. O ESPAC¸ O VETORIAL RN

Isso ´e sugerido vetorialmente pela combina¸c˜ao linear w = 2v 1 + 75 v 2. Nesse caso, n˜ao importa se a trajet´oria ´e feita em zig-zag ou n˜ao, levando em conta o sentido positivo e negativo das dire¸c˜oes, no final, teremos a mesma combina¸c˜ao linear.

Se consideramos apenas um ´unico vetor, v 1 ∈ R^2 , ao dizermos que w ∈ R^2 ´e uma combina¸c˜ao linear de v 1 estamos apenas afirmando que w ´e um m´ultiplo de (ou colinear com) v 1 , em outras palavras, w = a 1 v 1.

Como temos uma unica dire¸´ c˜ao no plano Cartesiano, nem todos pontos do plano po- dem ser alcan¸cados partindo-se da origem, apenas aqueles que est˜ao sobre a reta diretriz que passa pela origem podem ser alcan¸cados. Falta uma dire¸c˜ao transversal para descrever todas as trajet´orias poligonais poss´ıveis.

Defini¸c˜ao 1.3.2 Um subconjunto ordenado de n vetores β = {v 1 , v 2 , ..., vn} ⊂ Rn^ ´e uma base do Rn^ se qualquer vetor w ∈ Rn^ ´e uma combina¸c˜ao linear dos elementos de β.

A express˜ao ”subconjunto ordenado” significa que existe um primeiro e- lemento, e ele est´a indexado por 1, um segundo elemento que est´a indexado por 2, etc. A defini¸c˜ao de base d´a origem a um s´erie de perguntas de car´ater t´ecnico.

1. Existe base para o Rn?
2. Se w ∈ Rn^ e β ´e uma base, quais s˜ao e como podemos calcular os coefi- cientes ai’s da combina¸c˜ao linear w = a 1 v 1 + a 2 v 2 + · · · + anvn?
3. Os coeficientes a′ is da combina¸c˜ao linear w = a 1 v 1 + a 2 v 2 + · · · + anvn s˜ao ´unicos, isto ´e, podemos expressar w = b 1 v 1 + b 2 v 2 + · · · + bnvn com bi = ai para algum i, 1 ≤ i ≤ n?
4. Quantas bases existem para o Rn?
5. Dado um subconjunto de n vetores β ⊂ Rn, qual um algoritmo pr´atico para sabermos se o conjunto ´e uma base?

1.3. COMBINAC¸ AO LINEAR E BASE CAN ˜ ONICAˆ 13

A primeira pergunta tem resposta f´acil. Existe pelo menos uma base orde- nada para o Rn. O subconjunto de n vetores C = {e 1 , e 2 , ..., en} cujos elementos s˜ao

e 1 = (1, 0 , ..., 0), e 2 = (0, 1 , ..., 0),... en = (0, 0 , ..., 1).

´e uma base. O subconjunto C ser´a chamado de base canˆonica pelos seguintes motivos. Dado um vetor w = (x 1 , x 2 , ..., xn) ∈ Rn^ ´e imediato mostrar que w ´e uma combina¸c˜ao linear do vetores de C e quais s˜ao os coeficientes da combina¸c˜ao linear:

w = (x 1 , x 2 , ..., xn) = x 1 e 1 + x 2 e 2 + · · · + xnen.

Exemplo 1.3.2 A base canˆonica do R^2 ´e um conjunto formado por dois ve- tores, C = {e 1 , e 2 }, onde e 1 = (1, 0) e e 2 = (0, 1). O vetor v = (−

3 , −^24 ) ´e uma combina¸c˜ao linear dos vetores da base canˆonica e, facilmente, determi- namos os coeficientes da combina¸c˜ao linear, v = −

3 e 1 − 24 e 2.

Exemplo 1.3.3 Considere o vetor w = (2, − 2 , 4) ∈ R^3. A base canˆonica C do R^3 ´e formada por trˆes vetores e 1 = (1, 0 , 0), e 2 = (0, 1 , 0) e e 3 = (0, 0 , 1). Veja a seguinte seq¨uˆencia de igualdades,

w = (2, − 2 , 4) = (2, 0 , 0) + (0, − 2 , 0) + (0, 0 , 4) = 2(1, 0 , 0) − 2(0, 1 , 0) + 4(0, 0 , 1) = 2 e 1 − 2 e 2 + 4e 3.

Observe que na base canˆonica, as coordenadas do vetor s˜ao os coeficientes da combina¸c˜ao linear!

Em rela¸c˜ao `a base canˆonica do Rn, a terceira pergunta tem resposta r´apida e precisa.

Afirma¸c˜ao Ao escrevermos o vetor w ∈ Rn^ como uma combina¸c˜ao linear dos elementos da base canˆonia C, os coeficientes da combina¸c˜ao linear s˜ao ´unicos.