Cálculo, algebra linear, Notas de estudo de Engenharia Civil

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Fortaleza, Fevereiro/

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ

CENTRO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL

Cálculo

Álgebra Linear

Programação Computacional

Metodologia Científica

Realização:

Fortaleza, Fevereiro de 2012

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ

CENTRO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL

Cálculo

Realização:

Ou seja, o limite de uma dada função existe, em um dado ponto, quando existirem os limites laterais (no dado ponto) pela direita e pela esquerda, e os mesmos forem iguais.

1.3. Limites Infinitos

 Definição

Seja f uma função definida em ambos os lados de a , exceto possivelmente em a. Se podemos, através de uma escolha adequada de x, nas proximidades de a , fazer os valores de f (x) ficarem arbitrariamente grandes (tão grande quanto quisermos), então escrevemos:

E lê-se “o limite de f (x), quando x tende a a , é infinito”.

- Exemplo Resolvido

Queremos encontrar o limite

Para a função f (x)= 1/x², temos o seguinte gráfico

Figura 2 Vemos que, à medida que x se aproxima de 0, x² também se aproxima de 0, e 1/x² fica muito grande. Então, tomando valores de x próximos de 0, observamos que f (x) torna-se arbitrariamente grande e, para indicar o comportamento da função, escrevemos:

Isso não significa considerar como sendo um número, é simplesmente uma forma de expressar que o limite de f (x) pode assumir valores tão grandes quanto quisermos, bastando escolher valores de x adequadamente próximos de 0.

1.4. Cálculo dos Limites

1.4.1. Utilizando a Definição Precisa de limite

 Definição

Seja f uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número a , exceto possivelmente em a. Então dizemos que o limite de f (x) quando x tende a a é L , e escrevemos

Se para todo número > 0 há um número correspondente > 0 tal que

| f (x) – L | < sempre que 0 < |x – a | <

Uma vez que |x – a | é a distância de x a a e | f (x) – L | é a distância de f (x) a L , e como pode ser arbitrariamente pequeno, a definição de um limite pode ser expressa como:

Significa que a distância entre f (x) e L pode ser arbitrariamente pequena tornando-se a distância de x a a suficientemente pequena(mas não 0).

Uma interpretação geométrica pode ser dada, observando o gráfico da função e notando que uma escolha de um > 0 menor implica um > 0 menor, como mostrado nas figuras 3 e 4.

 Exemplo Resolvido

Prove que existe o limite.

Inicialmente, devemos achar um tal que

|(4x – 5) – 7| < sempre que 0 < |x – 3| <

Temos que |(4x – 5) – 7| = |4x – 12| = |4(x – 3)| = 4|x – 3|, então queremos

4|x – 3| < sempre que 0 < |x – 3| < ou,

|x – 3| < /4 sempre que 0 < |x – 3| <

Então podemos escolher = /4.

Agora, devemos mostrar que a escolha de funciona.

Se 0 < |x – 3| < , então

Das cinco leis apresentadas acima, são derivadas as leis seguintes:

 Exemplos Resolvidos

Calcule, utilizando as Leis do Limite, os limites abaixo

Não podemos encontrar o limite substituindo diretamente x = 2, pois tornamos, dessa forma, o denominador nulo.

Fatorando o numerador como uma diferença de quadrados, temos:

Quando tomamos o limite quando x tende a 1, temos x≠1, e assim x – 1 ≠ 0. Logo, podemos cancelar o fator comum e calcular o limite, como se segue:

Por meio dos exemplos, podemos notar que se f for uma função polinomial ou racional e a estiver no domínio de f , então:

 Exercícios Propostos

Calcule os limites, se existirem:

Para calcular limites no infinito, primeiro dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de x que ocorre no denominador. No nosso caso, a maior potência de x é x², então temos:

 Exercícios Propostos

Calcule os limites:

1.6. Outros Limites

1.6.1. Limite Trigonométrico Fundamental

Do Limite Trigonométrico Fundamental, obtemos:

 Exemplo Resolvido

 Exercícios Propostos

Calcule os limites:

Explique por que a função é descontinua no número dado.

2. Derivadas

2.1. Definição

A derivada de uma função f em um número a , denotada por f’ ( a ), é

Se o limite existe.

Escrevendo x = a + h , temos uma maneira equivalente de escrever a definição de derivada

 Exemplo

 Exercícios Propostos

2.2. Interpretação Geométrica

A reta tangente a y = f (x) em ( a , f ( a )) é a reta que passa em ( a , f ( a )), cuja inclinação é igual a f’ ( a ), a derivada de f em a.

A figura 9 ilustra a interpretação geométrica de uma derivada.

2.3. Derivadas de Funções Polinomiais e da Função Exponencial Natural

2.3.1. Derivada da Função Constante

O gráfico da função constante, f (x) = c , é a reta horizontal y = c , cuja inclinação é 0. Logo, devemos ter f’ (x) = 0. Calculando a derivada pela definição, temos:

 Exercícios Propostos

Diferencie

2.3.3. Derivada da Função exponencial

Seja a função exponencial f (x) = a x. Utilizando a definição de derivada, temos:

O fator a x^ não depende de h , logo podemos colocá-lo adiante do limite. Além disso, temos que o limite obtido é o valor da derivada de f em 0, logo:

A análise numérica (Figura 10) da equação encontrada, para a = 2 e a = 3, nos fornece o seguinte resultado:

Ao escolhermos a base a , a fórmula de diferenciação mais simples ocorre quando f’ (0) = 1. Pela análise numérica feita para a = 2 e a = 3, estima-se que o valor de a que torna f’ (0) = 1 está entre 2 e 3. Esse valor é denotado pela letra e. Assim, temos a seguinte definição.

Se fizermos a = e e, consequentemente, f’ (0) = 1 teremos:

 Exemplo Resolvido

Se f (x) = e x^ – x, ache f’ (x).

 Exercícios Propostos

2.4. As Regras do Produto e do Quociente

2.4.1. Regra do Produto

A Regra do Produto diz que a derivada de um produto de duas funções é a primeira função vezes a derivada da segunda função mais a segunda função vezes a derivada da primeira função.

 Exercícios Propostos

2.4.2. Regra do Quociente

 Exercícios Propostos

Diferencie

2.5.2. Derivadas das Funções Exponenciais e Logarítmicas

 Exemplo Resolvido

Calcule as derivadas de 2x^ e f (x) = log 10 2.

2.6. Regra da Cadeia

A Regra da Cadeia é utilizada para calcular a derivada de funções compostas.

 Exemplo Resolvido

 Exercícios Propostos

Derive as funções

Encontre y’ e y’’.

2.7. Aplicações de Derivação

2.7.1. Reta Tangente

Na seção 2.2, vimos que:

A reta tangente a y = f (x) em ( a , f ( a )) é a reta que passa em ( a , f ( a )), cuja inclinação é igual a f’ ( a ), a derivada de f em a.

Logo, se usarmos a fórmula da equação de uma reta, vista em geometria analítica, poderemos escrever uma equação da reta tangente à curva y = f (x) no ponto ( a , f ( a )):

y – f ( a ) = f’ ( a )(x – a )

 Exemplo Resolvido

Encontre uma equação da reta tangente a parábola y = x^2 – 8x + 9 no ponto (3, -6).