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LINEAR
ALGEBRA
(2. Transformações Lineares
2.1 Transformações Lineares
Introduziremos o conceito de aplicações ( ou transformações) lineares em espaços vetoriais.
Estes serão os objetos de estudo em boa parte do curso.
Definição 2.1.1 Sejam V e W espaços vetoriais sobre o corpo F. Uma transformação
linear de V em W é uma função T de V em W tal que
T(vi+evo) =T(vi)+cT(v),
para todos v1,v> E V e todos escalares c em F.
= Exemplo 2.1 Seja F um corpo e seja V o espaço das funções polinomiais / de F em F,
dadas por
H)=ataxtad+... ta.
Seja D:V — V a aplicação (derivada) definida por
D(S)(x) = 1 +200x+...napo,
então D é uma aplicação linear, pois
D(fi+cfa)lx) = D(fi) (o) + cD(S2) (x)
a linearidade da aplicação D, segue das propriedades da derivada.
= Atividade 2.1 Seja P uma matriz m x m fixada com elementos no corpo F e seja Q
uma matriz n x n fixa sobre F. Definamos uma função T do espaço F”*” em si mesmo
por T(A) = PAQ. Então Mostre que T é uma transformação linear de F”*" em FX",
Lembre que F”*" é o espaço das matrizes m x n sobre F.
20 Chapter 2. Transformações Lineares
I "
= Exemplo 2.2 Seja R o corpo dos números reais e seja V o espaço das funções de R em
R que são contínuas. Definamos T por
(rota fra.
Então T é uma transformação linear de V em V. A função T f, além de contínua, possui
a primeira derivada contínua. A linearidade da integração é uma de suas propriedades
fundamentais.
= Atividade 2.2 Mostre que se a função T :V > U não satisfaz a condição T (Oy) = Oy
então T não é linear. n
Teorema 2.1 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo F e seja
B = (vi,v2,...,Vn) uma base ordenada de V. Seja W um espaço vetorial sobre o
mesmo corpo Fe (w1,W2,...,Wn) arbitrários em W. Então, existe exatamente uma
transformação linear T de V em W tal que
T(vi) = wi, i=1,...,n.
Demosntração: Primeiramente mostramos que existe tal tranformação. Dado v E V,
existe uma única n-upla (x1,x2,...,Xn) E F tal que v = x1Vj +x2v2 +... + XnVn. Para este
vetor v definimos
T(v) = T(xivi +xavo +... XnVn) = 21W1 + X2W2 +... XnWa-
Então, T é uma regra bem definida que associa a cada vetor v em V um vetor T(v) em
W. Pela definição, é evidente que
T(vi) =T(0v/ +0v2 +... + Ivi+...+ Ovi) = wi,
para todo i. Para ver que T é linear, seja u = y/v1 +y2v2 +... +YnVn então segue que
v+cu= (x +eyy)vi + (1x2 +cyo)va +... + (xn + CYn)Vn-
Portanto da definição de T', segue que
T(v+cu) = (x +cyi)wi + (x2 + cyz)wo +... + (Xxn + Cn) Wn
=xwi+xowo +... +Xnwn+ cw +2W2 +... + YnWn) = T(v)+cT (u).
Mostramos agora a unicidade. Suponha que U é uma transformação linear de V em
W, de maneira que U (v;) = w; para todo i = 1,...,n. Então para o vetor v = xVj +x2v2 +
«-. + XnVn temos que
U(vy)=U (Em) = Evo = Dom
Assim U é exatamente a mesma regra definida para T. O que mostra que existe uma única
Transformação linear T. m
