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Guias e Dicas
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Algebra linear: transformações lineares, Notas de estudo de Matemática Educacional

Introdução às transformações lineares.

Tipologia: Notas de estudo

2020

Compartilhado em 13/07/2020

M-tenorio
M-tenorio 🇧🇷

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Pré-visualização parcial do texto

Baixe Algebra linear: transformações lineares e outras Notas de estudo em PDF para Matemática Educacional, somente na Docsity! LINEAR ALGEBRA (2. Transformações Lineares 2.1 Transformações Lineares Introduziremos o conceito de aplicações ( ou transformações) lineares em espaços vetoriais. Estes serão os objetos de estudo em boa parte do curso. Definição 2.1.1 Sejam V e W espaços vetoriais sobre o corpo F. Uma transformação linear de V em W é uma função T de V em W tal que T(vi+evo) =T(vi)+cT(v), para todos v1,v> E V e todos escalares c em F. = Exemplo 2.1 Seja F um corpo e seja V o espaço das funções polinomiais / de F em F, dadas por H)=ataxtad+... ta. Seja D:V — V a aplicação (derivada) definida por D(S)(x) = 1 +200x+...napo, então D é uma aplicação linear, pois D(fi+cfa)lx) = D(fi) (o) + cD(S2) (x) a linearidade da aplicação D, segue das propriedades da derivada. = Atividade 2.1 Seja P uma matriz m x m fixada com elementos no corpo F e seja Q uma matriz n x n fixa sobre F. Definamos uma função T do espaço F”*” em si mesmo por T(A) = PAQ. Então Mostre que T é uma transformação linear de F”*" em FX", Lembre que F”*" é o espaço das matrizes m x n sobre F. 20 Chapter 2. Transformações Lineares I " = Exemplo 2.2 Seja R o corpo dos números reais e seja V o espaço das funções de R em R que são contínuas. Definamos T por (rota fra. Então T é uma transformação linear de V em V. A função T f, além de contínua, possui a primeira derivada contínua. A linearidade da integração é uma de suas propriedades fundamentais. = Atividade 2.2 Mostre que se a função T :V > U não satisfaz a condição T (Oy) = Oy então T não é linear. n Teorema 2.1 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo F e seja B = (vi,v2,...,Vn) uma base ordenada de V. Seja W um espaço vetorial sobre o mesmo corpo Fe (w1,W2,...,Wn) arbitrários em W. Então, existe exatamente uma transformação linear T de V em W tal que T(vi) = wi, i=1,...,n. Demosntração: Primeiramente mostramos que existe tal tranformação. Dado v E V, existe uma única n-upla (x1,x2,...,Xn) E F tal que v = x1Vj +x2v2 +... + XnVn. Para este vetor v definimos T(v) = T(xivi +xavo +... XnVn) = 21W1 + X2W2 +... XnWa- Então, T é uma regra bem definida que associa a cada vetor v em V um vetor T(v) em W. Pela definição, é evidente que T(vi) =T(0v/ +0v2 +... + Ivi+...+ Ovi) = wi, para todo i. Para ver que T é linear, seja u = y/v1 +y2v2 +... +YnVn então segue que v+cu= (x +eyy)vi + (1x2 +cyo)va +... + (xn + CYn)Vn- Portanto da definição de T', segue que T(v+cu) = (x +cyi)wi + (x2 + cyz)wo +... + (Xxn + Cn) Wn =xwi+xowo +... +Xnwn+ cw +2W2 +... + YnWn) = T(v)+cT (u). Mostramos agora a unicidade. Suponha que U é uma transformação linear de V em W, de maneira que U (v;) = w; para todo i = 1,...,n. Então para o vetor v = xVj +x2v2 + «-. + XnVn temos que U(vy)=U (Em) = Evo = Dom Assim U é exatamente a mesma regra definida para T. O que mostra que existe uma única Transformação linear T. m