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Teorema de Bayes
Exemplo 30% dos empregados de uma empresa s˜ao mulheres e o restante homens; 3/10 das mulheres s˜ao fumantes, enquanto 11/70 dos homens s˜ao fumantes. Calcule: (a) A probabilidade de um indiv´ıduo sorteado ser mulher e fumante; (b) A probabilidade de um indiv´ıduo sorteado ser homem e fumante; (c) A probabilidade de um homem ser fumante; (d) A probabilidade de um homem ser n˜ao fumante; (e) A probabilidade de um fumante ser homem. Fonte: Prof. Mario Gneri, Notas de Aula. Organiza¸c˜ao: Rafael Tovar, Diego Bernardini, Beatriz Cuyabano, Guilherme Ludwig
Teorema de Bayes
(a) Conhecemos P(mulher) = 0,3, e al´em disso, P(fumante|mulher) = 0,15. Ent˜ao a probabilidade do evento “mulher e fumante”, dado por {mulher ∩ fumante}, ´e dada por
P(mulher ∩ fumante) = P(fumante|mulher)P(mulher)
= 0, 3 · 0 ,3 = 0, 09 (b) De maneira similar, temos que
P(homem ∩ fumante) = P(fumante|homem)P(homem)
= 0, 7 · 11 /70 = 0, 11
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Teorema de Bayes
(e) Para encontrar esta probabilidade, devemos utilizar o Teorema de Bayes, isto ´e,
P(B|A) =
P(A|B)P(B)
P(A)
No contexto do problema, queremos P(homem|fumante), que ´e dado por
P(homem|fumante) = P(fumante|homem)P(homem) P(fumante)
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Teorema de Bayes
(e) Note contudo que n˜ao sabemos P(fumante). Devemos considerar a lei da probabilidade total,
P(fumante) = P(fumante|mulher)P(mulher)
+P(fumante|homem)P(homem) Podemos ent˜ao ver que
P(fumante) =
Com isso, concluimos que
P(homem|fumante) =
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Independˆencia e Probabilidade Condicional
Exemplo
(1) Qual ´e a probabilidade de um dos veteranos ser o coordenador do comitˆe? (2) Mostre que o evento A = {O coordenador ´e um estagi´ario antigo} n˜ao ´e independente do n´umero de estagi´arios novos no comitˆe. (3) Se o comitˆe tem dois estagi´arios novos, qual ´e a probabilidade que o coordenador seja o estagi´ario antigo? (4) Se o comitˆe tem pelo menos dois estagi´arios novos, qual ´e a probabilidade de que o coordenador seja um esgati´ario novo?
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Independˆencia e Probabilidade Condicional
O espa¸co de configura¸c˜oes poss´ıveis para a forma¸c˜ao do comitˆe ´e:
H = {nnn, nna, nan, ann, naa, ana, aan, aaa} Onde a ordem representa os cargos (coordenador, fiscal, secret´ario) e a indica um estagi´ario antigo, enquanto n um estagi´ario novo.
Defina o evento A = {O coordenador ´e um estagi´ario antigo}, de modo que Ac^ = {O coordenador ´e um estagi´ario novo}. Defina tamb´em os eventos B 0 , B 1 , B 2 e B 3 , associados ao n´umero de estagi´arios novos no comitˆe.
Bk = {k estagi´arios novos no comitˆe}
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Independˆencia e Probabilidade Condicional
Observando os pontos amostrais na tabela anterior (nnn, nna, etc.), construimos uma tabela de distribui¸c˜ao de B, pois
B 0 = {aaa} B 1 = {naa, ana, aan} B 2 = {nna, nan, ann} B 3 = {nnn}
P(B 0 ) P(B 1 ) P(B 2 ) P(B 3 )
Total 3 / 36 15 / 36 15 / 36 3 / 36
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Independˆencia e Probabilidade Condicional
(1) Temos que essa probabilidade pode ser extra´ıda da primeira tabela. Ela corresponde aos eventos ann, aan, ana e aaa. Como os eventos s˜ao disjuntos, a probabilidade de A = {O coordenador ´e um estagi´ario antigo} ´e dada por
P(A) = P({ann}) + P({aan}) + P({ana}) + P({aaa})
P(A) =
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Independˆencia e Probabilidade Condicional
(2) (cont.) Temos que
P(A∩B 0 ) = P({aaa}) = 3/ 36 6 = 1/ 2 · 3 /36 = P(A)P(B 0 ) P(A∩B 1 ) = P({ana, aan}) = 10/ 36 6 = 1/ 2 · 15 /36 = P(A)P(B 1 ) P(A∩B 2 ) = P({ann}) = 5/ 36 6 = 1/ 2 · 15 /36 = P(A)P(B 2 ) P(A∩B 3 ) = P(∅) = 0 6 = 1/ 2 · 3 /36 = P(A)P(B 3 )
Ou seja, os eventos A e Bk , k = 1, 2 , 3 , 4 s˜ao dependentes.
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Independˆencia e Probabilidade Condicional
(3) Queremos calcular P(A|B 2 ). Pela defini¸c˜ao de probabilidade condicional,
P(A|B 2 ) =
P(B 2 ∩ A)
P(B 2 )
(4) Queremos agora P(A|{B 2 ∪ B 3 }). Temos que
P(A|{B 2 ∪B 3 }) =
P(A ∩ {B 2 ∪ B 3 })
P(B 2 ∪ B 3 )
P(A ∩ B 2 ) + P(A ∩ B 3 )
P(B 2 ) + P(B 3 )
pois B 2 ∩ B 3 = ∅. Basta conferir as distribui¸c˜oes conjuntas em (2) para determinar que P(A|{B 2 ∪ B 3 }) = 5/18.
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Teorema de Bayes
Exemplo
(1) Qual ´e a probabilidade de encontrar um produto defeituoso durante a inspe¸c˜ao de qualidade? (2) Se durante a inspe¸c˜ao, encontramos um produto defeituoso, qual ´e a probabilidade que ele tenha sido produzido na f´abrica II?
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Teorema de Bayes
(1) Seja o evento A = {Produto Defeituoso} e Fi = {Produto da F´abrica i}. Sabemos, pelo enunciado, que P(F 1 ) = 0,3, P(F 2 ) = 0,45 e P(F 3 ) = 0,25. Al´em disso, sabemos que P(A|F 1 ) = 0,01, P(A|F 2 ) = 0,02 e P(A|F 3 ) = 0,015. Ent˜ao, pela lei da probabilidade total,
P(A) = P(A|F 1 )P(F 1 )+P(A|F 2 )P(F 2 )+P(A|F 3 )P(F 3 ) = 0 , 3 · 0 ,01 + 0, 45 · 0 ,02 + 0, 25 · 0 ,015 = 0, 01575
(2) Aqui, aplicaremos o Teorema de Bayes usando o item anterior para encontrar P(A):
P(F 2 |A) =
P(A|F 2 )P(F 2 )
P(A)
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Probabilidade Condicional
Considere o diagrama:
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Probabilidade Condicional
Note que os eventos UI (sortear urna I), UII e UIII s˜ao uma parti¸c˜ao de Ω, isto ´e, Ω = UI ∪ UII ∪ UIII. Ent˜ao o evento V = sair bola vermelha tem probabilidade dada por
P(V ) = P(UI ∩ V ) + P(UII ∩ V ) + P(UIII ∩ V )
Mas pelo diagrama, notamos que P(UI ∩ V ) = 1/ 3 · 2 /5 = 2/15, P(UII ∩ V ) = 1/ 3 · 3 /4 = 1/4 e P(UIII ∩ V ) = 1/ 3 · 4 /6 = 2/9. Ent˜ao temos que
P(V ) =
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