Aula de Conjuntos Numéricos, Notas de aula de Cálculo

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Aula: CONJUNTOS NUMÉRICOS

Notas de aula do curso de: Matemática Básica Prof. Kelen Cristina Crivelaro Silvestre

Conjuntos Numéricos São conjuntos formados por números, dos quais destacaremos aqui, o conjunto dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. Conjunto dos números naturais ( ℕ ) ℕ = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... }

Subconjunto de ℕ

Conjunto dos números racionais ( ℚ ) Em muitos problemas os números inteiros não são suficientes para resolvê-los. Por exemplo, consideremos a equação 3 𝑥 = 5. A solução desta equação é o número 5 3 que não é inteiro. Este número é chamado número racional. De modo geral, número racional é todo número que se obtém pela divisão de dois inteiros. Por exemplo, 1 3

7 2 são números racionais

Representado por ℚ o conjunto de todos os números racionais podemos escrever: ℚ =

Quando b = 1 temos 𝑎 𝑏

𝑎 1 = 𝑎 ∈ ℤ. Desta forma, todo número inteiro é racional. Logo ℤ ⊂ ℚ.

1) A representação decimal é finita 5 1

2) A representação decimal é infinita e periódica, ou seja, é uma dízima periódica 1 9

Conjunto dos números Irracionais ( 𝕀 ) A razão da medida de comprimento de uma circunferência pela medida de seu diâmetro 𝐶 𝑑 é um número não racional denotado por 𝜋, cujo valor é 3 , 1415 ..., e denominado número irracional. Exemplos: 3 = 1 , 7320508 … 4 6 = 1 , 5650845 … 𝑒 = 2 , 7182818284 …

A RETA REAL

A reta real é a representação geométrica dos números reais como pontos de uma reta. A escala de temperatura fornece uma idéia de como representar os números reais ao longo de uma reta.

DESIGUALDADES

Dados dois números reais distintos, um deles fica localizado à direita do outro, isto é, os números reais são ordenados. No caso das temperaturas, o número à esquerda representa a temperatura mais baixa. Em geral, diz-se: Um número real a é menor que qualquer número b colocado à sua direita. Esse fato é assim expresso: 𝑎 é 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑏: 𝑎 < 𝑏

Desigualdades ocorrem com freqüência em problemas de classificação. Por exemplo, o lucro mensal de uma determinada empresa no ano 2009 não ultrapassa R$ 20000,00. Designando por x a variação mensal dos lucros, isso pode ser representado simbolicamente por: x < 20000

As principais regras que se utilizam no trabalho com desigualdades estão a seguir. Quaisquer que sejam a, b, c  R : D 1 ) Se a < b , então a + c < b + c D 2 ) Se a < b e c > 0 , então a c < b c D 3 ) Se a < b e c < 0 , então a c > b c D 4 ) Se a < b e b < c , então a < c ( transitividade) Propriedades análogas são válidas se cada sinal de desigualdade entre a e b for substituído por >, ou .

Sejam a e b números reais tais que a < b. O intervalo fechado [ a , b ] é o conjunto de todos os valores de a até b , isto é, o conjunto de todos os números reais x tais que x  a e x  b. O intervalo aberto ] a , b [ é o conjunto de todos os números reais que estão entre a e b. Um intervalo semi-aberto é um intervalo aberto ] a , b [ com um de seus pontos extremos. Há dois tipos de intervalo semi-aberto: [ a, b [ e ] a , b ].

Pode-se também, considerar os intervalos infinitos.  O conjunto de todos os pontos x tais que x > a é denotado por ] a , +[ ;  O conjunto de todos os pontos tais que x  a é denotado por [ a , +[.  Ainda, ] – , b [ denota o conjunto de todos os pontos x tais que x < b e ] – , b ] denota o conjunto de todos os pontos x tais que x  b.

Exemplos

1. Dados os intervalos A = [ 1 , 6 ] e B = ] 4 , 8 [, determinar A ∩ B. 2 ) Sendo A = [– 2 , 5 ] e B = ] 2 , 7 [, determinar A ∪ B.

Potências de expoentes inteiros Dado a  R e n  N, n > 0 , chama-se potência da base a e expoente n o número real 𝑎 𝑛 , produto de n fatores iguais a a. 𝑎 𝑛 = 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎 …. 𝑎, 𝑛 ≥ 2 Particularmente 𝑎 1 = 𝑎 𝑒 𝑎 0 = 1 𝑠𝑒 𝑎 ≠ 0