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Conjuntos numéricos
Notas de aula
Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming
Dr. R´egis Quadros
Conjuntos numéricos
Os primeiros conjuntos numéricos conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos ou naturais. Temos então o conjunto
N
Os números -1,-2,-3,... são chamados inteiros negativos. A união do conjunto dos números naturais com os inteiros negativos e o zero (0) define o conjunto dos números inteiros que são denotados por
Z
Os números da forma m/n, n 0, m,n Z, são chamados de frações e formam o conjunto dos números racionais. Denota-se
Q Z
Finalmente encontramos números que não podem ser representados na forma m / n, n 0, m,n Z, tais como = 1,414..., = 3,141592..., = 2,71.... Esses números formam o conjunto de números irracionais, denotado por Q.
Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais resulta o conjunto dos números reais, que é denotado por
R Q Q
A seguir apresenta-se os axiomas, definições e propriedades referentes ao conjunto dos números reais.
Axiomas da adição e da multiplicação
No conjunto dos números reais introduzimos duas operações, chamadas adição e multiplicação, que satisfazem os axiomas a seguir:
- Fechamento : Se e R, existe um e somente um número real denotado por , chamado soma, e existe um e somente um número real, denotado por (ou , ou ), chamado produto.
- Comutatividade :Se , R, então e.
- Associatividade :Se , e R, então e .
- Distributividade :Se , e R, então =.
Conjuntos
Um par de chaves usadas para delimitar palavras ou símbolos pode descrever um conjunto. Se S for o conjunto dos números naturais menores do que 6, podemos escrever o conjunto S como:
Podemos também escrever o conjunto S como:
{ , tal que seja um número natural menor do que 6}
que lemos: “o conjunto de todos os , tal que seja um número natural menor do que 6”.
Conjuntos
Dois conjuntos A e B serão iguais, e escrevemos A = B, se A e B tiverem elementos idênticos. A união de dois conjuntos A e B, denotada por A B, que lemos “A união B”, é o conjunto de todos os elementos que estão em A ou em B, ou em ambos. A intersecção de A e B, denotada por A B, que lemos “A intersecção B”, é o conjunto dos elementos que estão em A e B. O conjunto que não contém nenhum elemento é chamado de conjunto vazio, sendo denotado por ∅.
Exemplo 1: Suponha A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {1, 4, 9, 16} e C = {2, 10}. Então: A B = {1,2,4,6,8,9,10,12,16} B C = {1,2,4,9,10,16} A B = {4} B C = ∅
Desigualdades
Para podermos dizer que um número real é maior ou menor que outro, devemos introduzir o conceito de número real positivo e uma relação de ordem.
Axioma de ordem: No conjunto dos números reais existe um subconjunto denominado números positivos tal que:
- se R, uma das 3 afirmações é correta: ; é positivo; é positivo;
- a soma de dois números positivos é positiva;
- o produto de dois números positivos é positivo.
Definição: O número real é negativo se e somente se é positivo.
Desigualdades
Definição: Os símbolos < (menor que) e > (maior que) são definidos como:
a < b b - a é positivo; a > b a - b é positivo.
Definição: Os símbolos (menor ou igual que) e (maior ou igual que) são definidos como:
a b a < b ou a = b; a b a > b ou a = b.
Expressões que envolvem os símbolos definidos acima são chamadas de desigualdades, a < b e a > b são desigualdades estritas, enquanto a b e a b são desigualdades não estritas.
Valor absoluto
Propriedades:
|x| < a -a < x < a, onde a> |x| > a x > a ou x < -a, onde a> Se a, b R, então |a b| = |a| |b| Se a, b R e b 0, então (Desigualdade triangular) Se a, b R, então |a + b| |a| + |b| Se a, b R, então |a - b| |a| + |b| Se a, b R, então |a| - |b| |a - b|
Intervalos
Intervalos são conjuntos infinitos de números reais, como segue:
Intervalo aberto: {x / a < x < b} denota-se (a,b) ou ]a,b[. Intervalo fechado: {x / a x b} denota-se [a,b]. Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda: {x / a < x b} denota-se (a,b] ou ]a,b]. Intervalo aberto à direita e fechado à esquerda: {x / a x < b} denota-se [a,b) ou [a,b[. Intervalos infinitos:
{x / x > a} denota-se (a,+ ) ou ]a,+ [ {x / x a} denota-se [a,+ ) ou [a,+ [ {x / x < b} denota-se (- , b) ou ]- ,b[ {x / x b} denota-se (- ,b] ou ]- ,b]
Exemplos ...
Intervalos
Os intervalos são usados para representar conjuntos-soluções de desigualdades. O conjunto-solução de uma desigualdade é o conjunto de todos os números que satisfazem a desigualdade.
Exemplos ...
Exercícios ...
Funções - Parte 1
Notas de aula
Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming
Dr. R´egis Quadros
Contra-Exemplos de Função
Contra - Exemplos: Sejam A = {3,4,5} e B = {1,2}.
- : A B dada pelo diagrama a seguir não é uma função de A em B, pois o elemento 4 A tem dois correspondentes em B.
- : A B x x - 3 não é uma função de A em B, pois o elemento 3 A não tem correspondente em B.
Imagem
Seja : A B.
Dado A, o elemento ( ) B é chamado de valor da função no ponto ou de imagem de por. O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado conjunto imagem de e é denotado por Im( ).
Exemplo: Sejam A = {1,2,3,4,5} e B = Z e : A B definida pela regra que a cada elemento faz corresponder o dobro. Então:
a regra que define é y = 2x; a imagem do elemento 1 é 2, de 2 é 4, de 3 é 6, de 4 é 8 e de 5 é 10; o domínio de , D( ) = A; a imagem de , Im( ) = {2,4,6,8,10}.
Exemplos
Exemplo: Seja : R R
Então, D( ) = R; Im( ) = [0,+ ).
Quando trabalhamos com subconjuntos de R, é usual caracterizar a função apenas pela regra ou fórmula que a define. Neste caso, entende-se que o domínio de é o conjunto de todos os números reais para os quais a função está definida.
Gráficos
Definição: Seja uma função. O gráfico de é o conjunto de todos os pontos de ( , ( )) de um plano coordenado, onde pertence ao domínio de.
Recordando: Como fazer um gráfico de uma função?
Assinalamos uma série de pontos, fazendo uma tabela que nos dá as coordenadas. Vejamos:
Gráficos
Pergunta: Dada uma curva no plano , ela sempre representa o gráfico de uma função? Resposta: Não Sabemos que, se é uma função, um ponto de seu domínio pode ter somente uma imagem. Assim a curva só representa o gráfico de uma função quando qualquer reta vertical corta a curva no máximo em um ponto. No gráfico abaixo, a curva representa uma função, enquanto a curva não representa.
Operações
Definição: Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números, também podemos produzir novas funções através de operações. Essas são produzidas como segue:
O domínio das funções , e é a intersecção dos domínios de e. O domínio de é a intersecção dos domínios e , excluindo-se os pontos onde.
Operações
Exemplos: Sejam e. Então:
Como e , então o domínio , e é [3,5]. O domínio de é (3,5]. O ponto 3 foi excluído porque quando.
Operações
Definição: Dadas duas funções e , a função composta de com , denotada por , é definida por
O domínio de é o conjunto de todos os pontos de no domínio de tais que está no domínio de.
Simbolicamente,.
O diagrama pode ser visualizado na figura abaixo.
Funções especiais
1. Função constante: É toda função do tipo , que asssocia a qualquer número real um mesmo número real. O domínio da função é R. O conjunto imagem é o conjunto unitário. Exemplos:
a)
b)
2. Função identidade: É a função R R definida por. O gráfico desta função é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrante. O domínio de é R. O conjunto imagem é R.
Funções especiais - continuação
3. Função do grau: é toda função que associa a cada número real o número real ,. Os números reais e são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e linear.
Quando a função é crescente, isto é, a medida que cresce, f(x) também cresce (Fig. (a)). Quando a função é decrescente, isto é, a medida que cresce, f(x) decresce (Fig. (b)).
O gráfico da função é uma reta não paralela aos eixos coordenados.
O domínio de é R. O conjunto imagem é R.
Funções especiais - continuação
4. Função módulo: A função definida por chama-se função módulo.
O seu domínio é o conjunto R. O conjunto imagem é.
O gráfico desta função está ilustrado a seguir:
Funções especiais - continuação
5. Função quadrática: A função R R definida por , é chamada função do grau ou quadrática. O seu domínio é o conjunto R.
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo dos. Se o coeficiente de for positivo ( ), a parábola tem a concavidade voltada para cima. Se , a parábola é voltada para baixo. A intersecção do eixo de simetria com a parábola é um ponto chamado vértice. A intersecção da parábola com o eixo dos define os zeros da função.
Funções especiais - continuação
- A expressão é muito útil quando queremos fazer um esboço rápido do gráfico de uma função quadrática, pois permite identificar a concavidade, o vértice e o eixo de simetria. Para obter um esboço do gráfico basta determinar mais alguns pontos, que podem ser tomados de um só lado do eixo de simetria. Dada a função
podemos escrever
Funções especiais - continuação
Logo o eixo de simetria é e o vértice ( ) = (-1,-3). Como , a parábola tem concavidade voltada para cima, conforme gráfico abaixo.
Funções especiais - continuação
6. Função polinomial: é a função R R definida por onde , , são números reais chamados coeficientes e , inteiro nao negativo, determina o grau da função.
O gráfico de uma função polinomial é uma curva que pode apresentar pontos de máximos e mínimos. Posteriormente faremos esboços de gráficos dessas funções com o auxílio das derivadas.
O domínio é sempre o conjunto dos números reais.
Funções especiais - continuação
Exemplos:
- A função constante é uma função polinomial de grau zero.
- A função , é uma função polinomial de grau.
- A função quadrática , é uma função polinomial do grau.
- A função é uma função polinomial chamada função cúbica.
- A função é uma função polinomial de grau 5.
