Baixe Conjuntos Numericos e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity!
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I 1
CAPÍTULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
1.1- Considerações Gerais Sobre os Conjuntos Numéricos. Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos de conceitos cujos significados já são por nós conhecidos sendo quase impossível estar retornando sempre a definição de todos os conceitos anteriores. Então, precisamos escolher o nosso ponto de partida, isto é, o que vamos admitir já sabido e o que vamos explicar e provar em termos do que já foi suposto conhecido. Em nosso estudo admitiremos o conhecimento dos números da adição, da subtração, multiplicação e a divisão por número diferente de zero.
1.2- Sistematização dos Conjuntos Numéricos Existem diversos processos para introduzir o conceito de número real, entre os quais destacam-se o processo construtivo e o processo axiomático. No processo construtivo parte-se de um número reduzido de conceitos primitivos mediante os quais surge o conjunto dos números naturais N ={1,2,3,...}. Define-se depois sobre N duas operações adição e multiplicação, bem como uma relação de ordem. Completa-se o estudo dos números naturais demonstrando as propriedades.
1.3- Conjunto dos Números Naturais (N) Propriedades:
1 ∈ N****.
∀ n ∈ N , ∃ n+1 ∈ N e n+1 é o sucessor de n.
∀ m , n ∈ N se m+1 = n+1 → m = n.
Seja S ⊂ N com as propriedades: a) 1 ∈ S. b) ∀ s ∈ S → s+1 ∈ S. Logo, S = N (Princípio da Indução) Assim tem-se: N = {1,2,3,...} A soma e o produto de dois números naturais ainda são naturais, isto significa que o conjunto N é fechado em relação a adição e a multiplicação. Exemplo: Sejam a, b ∈ N x = a + b e x = a.b São equações que têm solução em N. Porém x + a = b ou a.x = b nem sempre tem solução em N.
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I 2
1.4- Conjunto dos Números Inteiros (Z) O conjunto dos números inteiros foi estruturado a partir dos números naturais para resolver as equações acima. Este conjunto foi sistematizado com a introdução do elemento oposto. Dado um número natural a , existe (-a) tal que _a
- (-a) = 0_. Com isso nós incorporamos o zero. Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} O conjunto dos números inteiros é fechado em relação as operações de adição, subtração e multiplicação, mas não é em relação a divisão, por esta razão equações da forma a.x = b nem sempre tem solução em Z.
Exemplo: = → = ∉ Z 2
2x 5 x^5
1.5- Conjunto dos Números Racionais (Q)
Q é um conjunto numérico formado por números da forma p q, onde p e q ∈ Z e q ≠ 0.
Exemplo: 2,3,4/5... O conjunto dos números racionais é fechado em relação as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, exceto a divisão por 0 ; porém no conjunto dos números racionais nem sempre é possível resolver a equação x^2 = a
Exemplo: x 2 = 2 →x= 2 ∉ Q. Demonstração que 2 ∉ Q:
- O quadrado de um número par é par: 2.n onde n é inteiro.
N
(2.n) 2 = 4.n^2 =2.(2.n^2 )é PAR.
- O quadrado de um número ímpar é ímpar: 2n + 1 1 N
(2n + 1)^2 =4n^2 +4n+ 1 =2.(2n 14 22 + 4 2n) 3 + é ÍMPAR.
Demonstração por contradição: Suponha que 2 ∈Q∴∃a∈Q a^2 = 2
= = = = ⇒ mépar.
22 m 2 2n 2
n
a^22 m n
a m
- m, n ≠ 0 e m e n não simultaneamente pares, nem ímpares Se m é par m = 2.k , então:
(2.k)^2 = 2.n^2 4k^2 =2n^2 2k^2 =n^2 ⇒ népar.
O que contradiz a hipótese logo 2 ∉ Q. Exemplos de números não racionais: 2,3791...; 2 ; π ;e.
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I 4
∀ x ∈ R , ∃ y ∈ R / x + y = 0
Lei da existência do elemento simétrico (inverso) da multiplicação ∀ x ∈ R , x ≠ 0, ∃ y ∈ R / x. y= 1 y= x-
Lei distributiva da multiplicação em relação a adição ∀ x, y, z ∈ R → x (y + z) = x.y + x.z
Lei do fechamento da adição ∀ x, y ∈ R → x + y ∈ R
Lei do fechamento da multiplicação ∀ x, y ∈ R → x. y ∈ R
Lei do cancelamento em relação a adição ∀ x, y, z ∈ R se x + z = y + z ⇒ x = y
Lei do cancelamento em relação a multiplicação ∀ x, y, z ∈ R e z ≠ 0 se x. z = y. z ⇒ x = y
Lei da tricotomia ∀ x, y ∈ R , vale uma e somente uma das afirmações: x > y ou x < y ou x = y Obs.: fazendo y = 0, temos: x > 0 ou x < 0 ou x = 0
Lei da compatibilidade da relação de ordem com a adição ∀ x, y, z ∈ R se x + z > y + z ⇒ x > y
Lei da compatibilidade da relação de ordem com a multiplicação ∀ x, y, z ∈ R e z > 0 se x > y ⇒ x. z > y. z Obs.: se z < 0 : x > y ⇒ x. z < y. z
Lei da transitividade ∀ x, y, z ∈ R se x > y e y > z ⇒ x > z
Exercícios 1) Responda (V) ou (F) e justifique. a) Se x é um número positivo ⇒ 5x é um número positivo b) Se x < 3 e y > 3 ⇒ x < y
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I 5
c) Se x ≤ y ⇒ -5x ≤ -5y d) Se x^2 ≤ 9 ⇒ x ≤ 3 e) Se x ≥ 2 e y > x ⇒ y > 0
Respostas: (V) É certo pois se x é positivo, 5 multiplicado por um número positivo (x) sempre terá como resultado um número positivo .] (V) É verdadeiro porque se x < 3 , x é qualquer número menor que 3 e sendo y > 3 , y é qualquer número maior que 3. Assim x < y. (V) Podemos simplificar a equação: -5x ≤ -5y em x ≤ y. (F) É falso pois resolvendo a inequação teremos: x^2 ≤ 9 x^2 = 9 x = ± 3 x ≤ 3 x ≥ - (V) x ≥ 2 y > x y > 2 x
1.6.4- Representação Geométrica dos Números Reais Existe uma correspondência bionívoca entre os pontos de uma reta e o conjunto dos números reais de tal forma que cada ponto da reta fica determinado por um único número real e todo número real está associado a um único ponto da reta
negativos 0 positivos Figura 2- Representação geométrica dos números reais. 1.6.5- Espaço Real Unidimensional Definições 1) Conjunto linear Chama-se conjunto linear qualquer conjunto de números reais ou de seus pontos representativos.
2) Intervalos Os conjuntos de números encontrados mais freqüentemente em cálculo são os intervalos e são subconjuntos da reta. Considera-se os seguintes casos: (sejam a e b números reais tais que a < b ) a) Intervalo fechado de extremos a e b ou intervalo limitado fechado. É o conjunto que satisfaz uma condição da forma a ≤ x ≤ b [ [ ] {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} a b [a, b] b) Intervalo aberto de extremos a e b ou intervalo limitado aberto. É o conjunto de números x que satisfazem uma condição da forma a<x<b. ( ou ] [ ] {x ∈ R / a < x < b} a b (a, b) ou ]a, b[
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I 7
1.6.9- Mínimo de um conjunto Um número real l é mínimo de um conjunto linear A ↔ são verificadas as seguintes condições:
Exercício: A = (2, 5] B = { x ∈ R / x > 2} C = { x ∈ R / x ≤ 3} Determinar: Superior (A) : 5 Superior (B) : ∃ Superior (C) : 3 Ínfimo (A) : 2 Ínfimo (B) : 2 Ínfimo (C) : ∃ Máximo (A) : 5 Máximo (B) : ∃ Máximo (C) : 3 Mínimo (A) : ∃ Mínimo (B) : ∃ Mínimo (C) : ∃ 1.6.10- Valor absoluto ou módulo de um número real A noção de valor absoluto desempenha um importante papel na geometria analítica e no cálculo, especialmente em expressões que apresentem a distância entre dois pontos numa reta. Denomina-se módulo ou valor absoluto de um número x ∈ R , o número definido por |x| = x se x ≥ 0 → |x| = 0 ↔ x = 0 |x| = -x se x < 0 Pela definição podemos notar que o módulo de um número real é ele mesmo caso esse número seja positivo e será o oposto dele caso ele seja negativo. Geometricamente o módulo de um número real x (|x|) representa a distância que um ponto P (x) se encontra da origem. 0 x | | |x| P -3 0 5 | | | Q P |-3| |5| Genericamente se P (a) e Q (b) são dois pontos da reta numérica, então a distância de P até Q poderá ser calculada por: d (P, Q) = |b – a|
x = x^2
|b – a| = (b −a)^2
d (P, Q) = (b −a)^2
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I 8
Propriedades decorrentes da definição: 1) |x| ≥ 0 e |x| = 0 ↔ x = 0
2) |x| 2 = x^2
3) |x| = x^2
4) |x. y| = |x|. |y|
y
x y
x (^) = se y ≠ 0
- |x + y| ≤ |x| + |y| → desigualdade triangular
7) |x| = |y| → x = ± y Seja a ≥ 0 |x| = a → x = ± a
8) |x| ≤ a → -a ≤ x ≤ a
9) |x| ≥ a → x ≤ -a ou x ≥ a
Demonstrações das propriedades acima P1) |x| ≥ 0 e |x| = 0 ↔ x = 0 x ∈ R Pela Lei da Tricotomia; ou x > 0 ou x < 0 ou x = 0.
- Se x > 0: |x| = x mas x > 0 ∴ |x| > 0
- Se x < 0: |x| = -x mas x < 0 ∴ -x > 0 ∴ |x| > 0
- Se x = 0: |x| = 0
P2) |x| 2 = x^2
- Se x > 0: |x| = x → |x| 2 = x^2
- Se x < 0: |x| = -x → |x| 2 = (-x)^2 = x^2
- Se x = 0: |x| = x → |x| 2 = x^2
P3) |x| = x^2
a indica a raiz quadrada positiva de um número a ≥ 0.
x 2 = x^2 → pela propriedade 2
x = x^2
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I 10
]– a a [
x ≥ a ou x ≤ -a
1.6.11- Distância em R (unidimensional) Considere dois pontos quaisquer P e Q cujas coordenadas são a e b respectivamente. Se o número a é maior que o número b , então, a distância entre os pontos a e b sobre um eixo é o número positivo a-b. Se a é menor que b , a distância entre os dois pontos a e b é o número positivo b-a. Em qualquer caso a distância de P até Q indicada por d (P, Q) é dada por |b – a| P Q a |b – a| b
- |b – a| = (b −a)^2 d (P, Q) = |b – a| ou d (P, Q) = (^) (b − a)^2
Exercícios Resolver as equações e inequações: a) |x – 3| = 2 |x| = a → x = ± a
- |x – 3| = 2 • |x – 3| = - x – 3 = 2 x – 3 = - x = 5 x = 1 Resposta: x = 5 ou x = 1.
b) |x – 5| = |3x – 1| |x| = |y| → x = ± y
- x – 5 = 3x - 1 • x – 5 = -3x + 1 2x = -4 4x = 6 x = -2 x = (^) 23
Resposta: x = -2 ou x = 23.
c) |4x – 6| ≤ 3 |x| ≤ a → -a ≤ x ≤ a -3 ≤ 4x - 6 ≤ 3
4 x^36 4
Resposta:
x^9
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I 11
d) |3x + 5| > 2 |x| > a → x > a ou x < -a
- 3x + 5 > 2 • 3x + 5 < - x > -1 x < − 37
Resposta: x > -1 ou x < − 37_._
e) 0
x 4
2 x 1 <
f) 5
x 2
3 x 1 ≥
g) ( 2 x − 3 )( x^2 + 1 ) < 0
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I 13
2.1.5- Distância Bidimensional (R^2 ) Uma das propriedades mais notáveis do sistema de coordenadas cartesianas é a facilidade com a qual a distância entre dois pontos P e Q pode ser calculada em função de suas coordenadas. Simboliza-se o segmento de reta entre
P e Q por
PQ e utiliza-se a notação
PQ para o comprimento deste segmento, de tal modo que d=
PQ. Assim
podemos enunciar o seguinte teorema:
Teorema1 - A fórmula da distância Se P=(x1,y1) e Q=(x2,y2) são dois pontos no plano cartesiano, então [d(P, Q)] = |x2 – x1| 2 + |y2 – y1|^2 [d(P, Q)] 2 = (x2 – x1)^2 + (y2 –y1)^2
d (P,Q) = (x 2 − x 1 )^2 + (y 2 − y 1 )^2
A fórmula da distância é simplesmente conseqüência do teorema de Pitágoras, o que pode ser comprovado pela Figura abaixo y
y2 Q (x2, y2) |y2 – y1 | d y 1 P (x1, y1)
x1 x2 x |x2 – x1| Distância
2.2- Relações Binárias e Funções Reais 2.2.1- Relações Binárias Sejam A e B conjuntos lineares não vazios, chama-se relação plana de A em B a qualquer subconjunto de pares ordenados (x, y) do produto cartesiano A x B.
2.2.2- Domínio, Imagem, Contradomínio e Gráfico de Relações a) Domínio de relações: Seja S uma relação de A em B , chama-se domínio de S e se indica por D (^) S o conjunto linear: D (^) S = {x ∈A/∃ y∈Re(x,y)∈S} ⊂A b) Contradomínio: Se S é uma relação de A em B , o contradomínio de S que se indica por Cd (^) S é o conjunto B. Cd (^) S = B c) Imagem: Se S é uma relação de A em B , a imagem de S indicada por Im (^) S é o conjunto linear: Im (^) S = {y ∈B/∃ x∈Re(x,y)∈S} ⊂B
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I 14
d) Gráfico: Sendo S uma relação, denomina-se gráfico de S o conjunto:
G S = {( x ,y)∈R^2 /(x,y)∈S}
e) Gráficos das principais relações:
1) {( x,y)∈R^2 /y=x}
y = x → é função y ≥ x → não é função
2) { ( x,y) ∈ R^2 /y = ax + b } aeb ∈ R
a → coeficiente angular b → coeficiente linear a = tan α Se:
- a > 0 → tan α > 0 → → α < 90 o^ : agudo
- a < 0 → tan α < 0 → → α > 90 o^ : obtuso
parábola
x,y R^2 /y ax^2 bx c
Se:
- a > 0 →
- a < 0 → “1” y = 0 ax^2 + bx + c = 0
b^24 .a. c
2 .a x b ∆= −
- ∆ > 0 → 2 raízes “1”
- ∆ < 0 → não existe → (^)
4 a
2 a
V b ∆
45 o
y
x
b
a<
a>
α
y
x
α
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I 16
x 3
x^9.^4
x^9 y
y'^25
y 4
y^941
y^9814 .(^4 ).(^100 )
4 y 9 y 100 0
9 y 4 y 100 0
2
2
2
2
D = {x ∈ R / -3 ≤ x ≤ 3}
- {y ∈ R} = Im Im = {y ∈ R / 0 ≤ x ≤ 5}
2- Esboce o gráfico de f(x) = |x-1|+
2.2.4- Função Real de Variável Real Seja F uma relação de um conjunto A em um conjunto B tal que para todo x pertencente a A corresponde um único y ∈ B , então esta relação denomina-se função. Notação: F: A → B y = F (x) Domínio: Se F: A → B , então o domínio de F é o conjunto A já que todo x ∈ A deve figurar em um único par ordenado (x, y) de F. D (^) F = A Contradomínio: Se F: A → B , o contradomínio de F é o conjunto B. CF = B Imagem: A imagem de F é o conjunto dos y ∈ B que estão relacionados por F , isto é, o conjunto dos y ∈ B que são obtidos a partir de x pela lei F , já que y = F (x). Im (^) F ⊂ B
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I 17
2.2.5- Determinação do domínio ou Campo de Existência de Funções Reais de Variáveis Reais Quando definimos uma relação como função apenas pela lei de correspondência y = f(x ), estamos admitindo que o domínio ou campo de existência da função é o conjunto de todo x ∈ R que seja possível determinar y ∈ R e y = F (x). Exemplos:
- Determinar o domínio ou campo de existência das seguintes funções:
a) x 1
f (x)^3 x −
{ } Df {x R/x 1 }
Df x R/x 1 0 = ∈ ≠
Ponto de acumulação
b) g ( )x =x^2 +2x+ 1
x 1
x^2 2x 1 0
D R
c) f ( x) = ( x− 4 )(. x+ 3 ) { ( )( ) } ( x 4 )(.x 3 ) 0
Df x R/x 4 .x 3 0 − + ≥
x-4 - - - - - - - - - - - + + + + + + + +
x+3 - - - - - + + + + + + + + + + + + +
-3 4 x ≤ − 3 x≥ 4 D (^) f ={x ∈R/x≤− 3 oux≥ 4 }
y
x assíntota
y
x
y
x
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I 19
O gráfico da função acima foi plotado no programa de álgebra simbólica Maple.
g) (^) log( x 12 )
arcsenx f (x)= −
= ^ ∈ − ≤ ≤ 1 e x− 1 > 0 e x− 1 ≠ 1 2 D x R/ 1 x f
− 1 ≤x/ 2 ≤ 1 ⇒− 2 ≤x≤ 2 -2 2 x − 1 > 0 ⇒x> 1 1 2 x − 1 ≠ 1 ⇒x≠ 2 1 2
D (^) f =^ {x^ ∈R/ 1 <x< 2 }
O gráfico da função acima foi plotado no programa de álgebra simbólica Maple.
y
y
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I 20
2.3- Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras a) Função Injetora: Uma função y = F (x) de A em B é injetora se os elementos y ∈ B são imagens de um único x ∈ A. b) Função Sobrejetora: Uma função y = F (x) de A em B é sobrejetora se a imagem de F for igual ao contradomínio de F , isto é, todo y ∈ B deve ser imagem de pelo menos um x ∈ A. c) Função Bijetora: Uma função y = F (x) é bijetora se e somente se F for injetora e sobrejetora.
2.4- Classificação das Funções As funções são classificadas em dois grandes grupos: I) Funções Algébricas Elementares a) Funções Algébricas Racionais a.1) Inteiras a.2) Fracionárias b) Funções Algébricas Irracionais
II) Funções Transcendentais a) Trigonométricas b) Exponenciais c) Logarítmicas
I) Funções Algébricas Elementares São funções cujas variáveis são operações algébricas elementares (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação). E são classificadas como segue: a) Funções Algébricas Racionais: As funções algébricas racionais são aquelas em que as variáveis não se encontram abaixo de radicais ou não estão elevadas a expoentes fracionários e se classificam em: a.1) Racionais Inteiras: São aquelas em que suas variáveis não se encontram em denominador ou não estão elevadas a expoentes negativos. São as funções conhecidas como POLINOMIAIS. Ex.: f(x) = a0.x n+a1.x n-1+...+a (^) n a.2) Racionais Fracionárias: São funções da forma Q( x)= (^) gf((xx)), onde f(x) e g(x) são funções racionais inteiras.
Ex.: 0 n 1 n-^1 n
0 n 1 n-^1 n b.x b.x ... b
f (x) a .x a.x ... a
b) Funções Algébricas Irracionais: São funções algébricas cujas variáveis estão sob radicais ou elevadas a expoentes fracionários positivos ou negativos.
