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Conjuntos Numéricos
Introdução
A concepção do conjunto numérico pode ser compreendida a partir da compreensão de um conjunto. Os conjuntos numéricos foram concebidos conforme surgiam mudanças na matemática. Para desenvolver a matemática hoje estudada, inúmeras mudanças na organização de todos os conceitos matemáticos foram necessárias. A concepção dos conjuntos numéricos recebeu maior rigor em sua construção com Georg Cantor , que pesquisou a respeito do número infinito. Cantor iniciou diversos estudos sobre os conjuntos numéricos, constituindo, assim, a teoria dos conjuntos. A construção de todos os conjuntos numéricos que hoje possuímos parte de números inteiros usados apenas para contar até os números complexos que possuem vasta aplicabilidade nas engenharias, nas produções químicas, entre outras áreas. Definir conjunto é algo tão primitivo que se torna uma tarefa difícil. Entretanto, compreendemos conjunto como uma coleção de objetos, números, enfim, elementos com características semelhantes. Sendo assim, os conjuntos numéricos são compreendidos como os conjuntos dos números que possuem características semelhantes. Nesta seção, a concepção desses conjuntos será abordada, visando à compreensão dos elementos que constituem cada um dos conjuntos numéricos. Temos então os seguintes conjuntos numéricos:
- Conjunto dos números Naturais ( );
- Conjunto dos números Inteiros ( );
- Conjunto dos números Racionais ( );
- Conjunto dos números Irracionais ( );
- Conjunto dos números Reais ( );
- Conjunto dos números Complexos ( ); Este último conjunto numérico possui uma seção especial para ele (Números Complexos).
Por Gabriel Alessandro de Oliveira Graduado em Matemática Equipe Brasil Escola
Os números naturais
Os números naturais: o conjunto = {1,2,3,4,5,6, ... , 19,20, ... , 1001, 1002, ... , 10000001, ... }
Notas elucidativas:
a. Os números naturais surgiram da necessidade de
contagem dos elementos de um conjunto pelo homem primitivo e, neste sentido, o zero ( 0 ) não seria um número natural.
b. Por volta do ano 458 DC, o zero foi
introduzido pelos hindus, para representar a coluna vazia dos ábacos, daí sua denominação original de sunya (vazio). Ábaco - segundo o dicionário Melhoramentos - 7ª edição: calculador manual para aritmética, formado de um quadro com vários fios paralelos em que deslizam botões ou bolas móveis. Veja a ilustração a seguir, obtida no Museo Pedagógico José Pedro Varela - poeta e educador uruguaio 1845 - 1879. Caso você visite o site acima, para retornar à esta página, clique em VOLTAR no seu browser.
Nota: observe acima à direita, a linha vazia no ábaco, significando o zero.
c. no entanto, como o zero atende às propriedades
básicas dos números naturais, ele pode ser considerado um número natural, não obstante a premissa contrária não conflitar a teoria. Assim, não deveremos estranhar quando aparecer em provas de vestibulares o conjunto N como sendo N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }, definindo-se um outro conjunto sem o zero: N *^ = N - {0} = {1,2,3,4, ... }. Como esta forma de abordagem é a mais usual, consideraremos o zero como sendo um número natural, no que se segue.
d. o conjunto dos números naturais é infinito.
Propriedades:
1 – Todo número natural n, possui um sucessor indicado por suc(n), dado por suc(n) = n + 1. Exemplo: suc(32) = 32 + 1 = 33.
2 – Dados dois números naturais m e n, ocorrerá uma e somente uma das condições : m = n : m igual a n (igualdade) m > n : m maior do que n (desigualdade) m < n : m menor do que n (desigualdade). Esta propriedade é conhecida como Tricotomia.
Nota: Às vezes teremos que recorrer aos símbolos ou os quais possuem a seguinte leitura: a b : a maior do que b ou a = b. a b : a menor do que b ou a = b Assim por exemplo, x 3, significa que x poderá assumir em N, os valores 3,2,1 ou 0. Já x < 3, teríamos que x seria 2, 1 ou 0.
Operações em N 1 – Adição: a + b = a mais b.a + b = a mais b.
Propriedades:
Dados os números naturais a, b, c, em N, são válidas as seguintes propriedades:
d.1. – Fechamento: a soma de dois números
naturais é sempre um número natural. Diz-se então que o conjunto N dos números naturais é fechado em relação à adição.
d.2. – Associativa : a + (b + c) = (a + b) + c
d.3. – Comutativa : a + b = b + a
d.4. – Elemento neutro : a + 0 = 0 + a = a. Zero é
o elemento neutro da adição.
d.5. – Unívoca : o resultado da adição de dois
números naturais é único.
d.6. – Monotônica : Uma desigualdade não se
altera, se somarmos um mesmo número natural a ambos os membros, ou seja, se a > b então a + c > b + c.
1. – Subtração : Observa-se que a subtração
(diferença) é uma operação inversa da adição. Se a + b = c então dizemos que a = c – b ( c menos b). É óbvio que o conjunto N não é fechado em relação à subtração, pois a subtração (diferença) entre dois números naturais, nem sempre é outro número natural. Por exemplo, a operação 3 – 10 não teria resultado no conjunto N dos números naturais. Das seis propriedades do item anterior, verifica-se que a operação subtração possui apenas aquelas dos subitens (1.5) e (1.6).
2. – Multiplicação : é um caso particular da adição
(soma), pois somando-se um número natural a si próprio n vezes, obteremos a + a + a + ... + a = a. n = a x n Na igualdade a. n = b, dizemos que a e n são os fatores e b é o produto.
Propriedades:
Dados os números naturais a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:
d.7. – Fechamento : a multiplicação de dois
números naturais é sempre outro número natural. Dizemos então que o conjunto N dos números naturais é fechado em relação à operação de multiplicação.
d.8. – Associativa : a x (b x c) = (a x b) x c ou a.
(b. c) = (a. b). c
d.9. – Comutativa : a x b = b x a
d.10. – Elemento neutro: a x 1 = 1 x a = a. O
número 1 é o elemento neutro da multiplicação.
d.11. – Unívoca : o resultado da multiplicação de
dois números naturais é único.
d.12. – Monotônica : : Uma desigualdade não se
altera, se multiplicarmos ambos os membros, por um mesmo número natural, ou seja, se a > b então a x c > b x c.
d.13. – Distributiva: a x (b + c) = (a x b) + (a x c).
3. – Potenciação: é um caso particular da
multiplicação, onde os fatores são iguais. Assim é que multiplicando-se um número natural a por ele mesmo n vezes, obteremos a x a x a x a x ... x a que será indicado pelo símbolo a n^ , onde a será denominado base e n expoente. Assim é que, por exemplo, 5^3 = 5.5.5 = 125, 7^1 = 7, 4^3 = 4.4.4 = 64, etc.
4. – Divisão: é um caso particular da subtração,
senão vejamos: o que significa dividir 17 por 3?
Significa descobrir, quantas vezes o número 3 cabe em 17, ou seja: 17 – 3 – 3 – 3 – 3 - 3 e restam 2. Podemos escrever a expressão anterior como: 17 = 5. 3 + 2. O número 17 é denominado dividendo, o número 3 é denominado divisor, o número 5 é denominado quociente e o número 2 é denominado resto. De uma maneira geral, dados os números naturais D, d, q e r, poderemos escrever a relação D = d.q + r com 0 r < d. Se r = 0 , dizemos que a divisão é exata, ou seja, não deixa resto. A demonstração da existência e da unicidade dos números D, d, q e r, pode ser vista nos compêndios de Teoria dos Números e não cabe aqui nestas notas introdutórias. A relação vista acima é conhecida como Teorema de Euclides.
d.14. – Exercícios resolvidos
Dividindo-se o número 245 por um número natural b, obtém-se quociente 5 e resto r. Determine o valor da soma dos valores possíveis para b.
Solução:
Pela exposição anterior, poderemos escrever: 245 = 5.b + r com 0 r < b. Da primeira expressão, tiramos: r = 245 – 5b Substituindo na segunda, vem: 0 245 – 5b < b Podemos desmembrar a dupla desigualdade acima em duas, a saber: 0 245 – 5b e 245 – 5b < b Resolvendo a primeira: 0 245 – 5b 5b 245 b 49. Resolvendo a segunda: 245 – 5b < b 245 < 6b 6b
245 b > 40, 83...
Conjunto dos números Inteiros ( )
Curiosidades com números inteiros 12345679 x 9 = 111111111 12345679 x 18 = 222222222 12345679 x 27 = 333333333 12345679 x 36 = 444444444 12345679 x 45 = 555555555 12345679 x 54 = 666666666 12345679 x 63 = 777777777 12345679 x 72 = 888888888 12345679 x 81 = 999999999
9 x 9 + 7 = 88 9 x 98 + 6 = 888 9 x 987 + 5 = 8888 9 x 9876 + 4 = 88888 9 x 98765 + 3 = 888888 9 x 987654 + 2 = 8888888 9 x 9876543 + 1 = 88888888 9 x 98765432 + 0 = 888888888
9 x 1 + 2 = 11 9 x 12 + 3 = 111 9 x 123 + 4 = 1111 9 x 1234 + 5 = 11111 9 x 12345 + 6 = 111111 9 x 123456 + 7 = 1111111 9 x 1234567 + 8 = 11111111 9 x 12345678 + 9 = 111111111 9 x 123456789 + 10 = 1111111111
11 x 11 = 121 111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 1234321 11111 x 11111 = 123454321 111111 x 111111 = 12345654321 1111111 x 1111111 = 1234567654321 11111111 x 11111111 = 123456787654321 111111111 x 111111111 = 12345678987654321
9 x 7 = 63 99 x 77 = 7623 999 x 777 = 776223 9999 x 7777 = 77762223 99999 x 77777 = 7777622223 999999 x 777777 = 777776222223 9999999 x 7777777 = 77777762222223 99999999 x 77777777 = 7777777622222223
1 x 7 + 3 = 10 14 x 7 + 2 = 100 142 x 7 + 6 = 1000 1428 x 7 + 4 = 10000 14285 x 7 + 5 = 100000 142857 x 7 + 1 = 1000000 1428571 x 7 + 3 = 10000000 14285714 x 7 + 2 = 100000000 142857142 x 7 + 6 = 1000000000 1428571428 x 7 + 4 = 10000000000 14285714285 x 7 + 5 = 100000000000
142857142857 x 7 + 1 = 1000000000000
9 x 9 = 81 99 x 99 = 9801 999 x 999 = 998001 9999 x 9999 = 99980001 99999 x 99999 = 9999800001 999999 x 999999 = 999998000001
12 x 12 = 144, 21 x 21 = 441 13 x 13 = 169, 31 x 31 = 961 102x102 = 10404, 201x201 = 40401 103x103 = 10609, 301x301 = 90601 112x112 = 12544, 211x211 = 44521 122x122 = 14884, 221x221 = 48841
100 = 1+2+3+4+5+6+7+8×
134498697 = 1 + 2^3 + 4^5 + 6^7 + 8^
45 = 8+12+5+20, 8+2=12-2=5x2=20÷2= 100 = 12+20+4+64, 12+4=20-4=4x4=64÷4= 225 = 1+23+45+67+89, 89-67=67-45=45-23=23-1=
5^2 + 2^1 = (5-2)^(2+1)
Notação: Para indicar que um número x está elevado a y, escreverei x^y, que é uma notação comum no meio científico.
Introdução aos números inteiros Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de número, que pudesse ser a solução de equações tão simples como: x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + 4 = 0 As Ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0º C, por exemplo. Astrônomos e físicos procuravam uma linguagem matemática para expressar a atração entre dois corpos.
Quando um corpo age com uma força sobre outro corpo, este reage com uma força de mesma intensidade e sentido contrário. Mas a tarefa não ficava somente em criar um novo número, era preciso encontrar um símbolo que permitisse operar com esse número criado, de modo prático e eficiente.
Sobre a origem dos sinais A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar esse novo tipo de número. Veja como faziam tais comerciantes: Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrevia o número 8 com um traço (semelhante ao atual sinal de menos) na
frente para não se esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijão. Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2 com dois traços cruzados (semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 Kg de feijão a mais que a quantidade inicial. Com essa nova notação,os matemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades, mas também representar o ganho ou a perda dessas quantidades, através de números, com sinal positivo ou negativo.
O conjunto Z dos Números Inteiros Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} Exemplos de subconjuntos do conjunto Z (a) Conjunto dos números inteiros excluído o número zero: Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...} (b) Conjunto dos números inteiros não negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} (c) Conjunto dos números inteiros não positivos: Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0} Observação: Não existe padronização para estas notações.
Reta Numerada Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:
Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema. Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.
Ordem e simetria no conjunto Z O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z). Exemplos: (a) 3 é sucessor de 2 (b) 2 é antecessor de 3 (c) -5 é antecessor de -
(d) -4 é sucessor de - (e) 0 é antecessor de 1 (f) 1 é sucessor de 0 (g) -1 é sucessor de - (h) -2 é antecessor de - Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0. Exemplos: (a) O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de + é -3. (b) O oposto de perder é ganhar, logo o oposto de -5 é +5. Módulo de um número Inteiro O módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor (máximo) entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Assim: |x| = max{-x,x}
Exemplos: (a) |0| = 0 (b) |8| = 8 (c) |-6| = 6 Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na reta numérica inteira.
Soma (adição) de números inteiros Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder. ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7 (+3) + (+4) = (+7) perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7) ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3) perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3) Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado. Exemplos: (a) -3 + 3 = 0 (b) +6 + 3 = 9 (c) +5 - 1 = 4 Propriedades da adição de números inteiros Fecho: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro. Associativa: Para todos a,b,c em Z: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7 Comutativa: Para todos a,b em Z: a + b = b + a 3 + 7 = 7 + 3 Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é: z + 0 = z 7 + 0 = 7 Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que z + (-z) = 0 9 + (-9) = 0
número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos números complexos.
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de: R[9] = ±3, mas isto está errado. O certo é: R[9] = + Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo. A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos. Exemplos: (a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8. (b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8. (c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27. (d) R³[-27] = -3, pois (-3)³ = -27. Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que: (a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo. (b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.
Radiciação com o browser Para obter a raiz n-ésima de um número não negativo M, que é igual a uma potência (power, em inglês, reduzida para pow) com expoente fracionário da forma 1/ n, no navegador, digite exatamente javascript:Math.pow(M,1/n) como está escrito, na caixa de seu browser com o nome do arquivo que está sendo acessado neste momento (location=endereço). Pressione ENTER. Você verá uma nova janela com a resposta! Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.
1. Numa adição com três parcelas, o total era
- Somando-se 13 à primeira parcela, 21 à segunda e subtraindo-se 10 da terceira, qual será o novo total? Solução: p1 + p2 + p3 = 58 Pela monotocidade: p1+13 + p2 +21+ p3 – 10 = 58+13+21- p1 + p2 + p3+ 34 – 10 = 58 + 34 – 10 p1 + p2 + p3+ 24 = 58 + 24 p1 + p2 + p3+ 24 = 82 Resposta: 82
2. Numa subtração a soma do minuendo com o
subtraendo e o resto resulto 412. Qual o valor do minuendo? M + S + R = 412 Como M + S + R Temos que: M + M = 412 2M = 412
M = 412/
M = 206
3. O produto de dois números é 620. Se
adicionássemos 5 (cinco) unidades a um de seus fatores, o produto ficaria aumentado de 155 unidades. Quais são os dois fatores? x* y = 620 (x+5)y = 620 + 155 xy + 5y = 620 + 155 Assim 5y = 155 y = 155/ y = 31 x = 620/ x = 20
- Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é uma unidade maior que o divisor e o resto, uma unidade menor que o divisor. Qual é o valor do dividendo?
d = 12 q = d +1 = 13 r = d -1 = 11
D = dq + r D = 1312 + 11 D = 156 + 11 D = 167
- Certo prêmio será distribuído entre três vendedores de modo que o primeiro receberá R$ 325, 00; o segundo receberá R$ 60,00 menos que o primeiro; o terceiro receberá R$ 250,00 menos que o primeiro e o segundo juntos. Qual o valor total do prêmio repartindo entre os três vendedores?
Vejamos: O primeiro receberá R$ 325, 00; O segundo receberá R$ 60,00 menos que o primeiro, ou seja, R$ 265, 00 ; O terceiro receberá R$ 250,00 menos que o primeiro e o segundo juntos, ou seja, R$ 325, 00 + R$ 265, 00 - R$ 250, 00 = R$ 340
Juntos eles receberão: R$ 325, 00 + R$ 265, 00 R$ 340, 00 = R$ 930,
Resumindo: O 1º recebeu 325 O 2º recebeu 325 – 60 = 265 O 3º recebeu [325 + (325 -60)] – 250 = 340
3º [325 + 265] - 250 = 590 - 250 = 340
325 + 265 + 340 = 590 + 340 = 930 R$ 3.302,00 – 2x = R$ 2.058, O valor do prêmio é R$ 930,
- Um dicionário tem 950 páginas; cada página é dividida em 2 colunas; cada coluna tem 64 linhas; cada linha tem, em média 35 letras. Quantas letras há nesse dicionário?
Resposta: 950 * 2 * 64 * 35 = 4 256 000
- Uma pessoa ganha R$ 40,00 por dia de trabalho e gasta R$ 800,00 por mês. Quanto ela economizará em um ano se ela trabalhar, em média, 23 dias por mês?
920 – 800 = 120 por mês
Em um ano a economia será de:
120*12 = R$ 1.440,
Resposta: R$ 1.440,
- Um negociante comprou 8 barricas de vinho, todas com a mesma capacidade. Tendo pago R$ 7,00 o litro e vendido a R$ 9,00, ele ganhou, ao todo, R$ 1.760,00. Qual era a capacidade de cada barrica?
O lucro foi de 9,00 – 7,00 = R$ 2,00 por litro de vinho. Ao todo, R$ 1.760,00, ou seja, ele vendeu 1760/2 = 880 litros.
Como 880 litros correspondem às 8 barricas uma barrica só corresponderá a 880/8 = 110 litros de vinho.
- Em um saco havia 432 balinhas. Dividindo-as em três montes iguais, um deles foi repartido entre 4 meninos e os dois montes restantes foram repartidos entre 6 meninas. Quantas balinhas recebeu cada menino e cada menina? 432/3 = 144 balinhas, 144/4 = 36 balinhas para cada menino; 288/6= 48 balinhas para cada menina.
- Marta, Marisa e Yara têm, juntas, R$ 275, 00. Marisa tem R$ 15,00 mais o que Yara e Marta possui R$ 20,00 mais que Marisa. Quanto tem cada uma das três meninas? M + m + y = 275 M = Y + 15 m = 20 + M logo m = y + 35 Assim: M + m + y = 275 y + 15 + y + 35+ y = 275 3y + 50 = 275 3y = 225 y = 225/
y = 75 M = Y + 15 = 75 + 15 = 90 m = y + 35 = 75 + 35 = 110 Resposta: Marta tem R$ 90, Marisa tem R$ 110, Yara tem R$ 75,
- Do salário de R$ 3.302,00, Seu José transferiu uma parte para uma conta de poupança. Já a caminho de casa, Seu José considerou que se tivesse transferido o dobro daquele valor, ainda lhe restariam R$ 2.058,00 do seu salário em conta corrente. De quanto foi o depósito feito?
2x = 3 302,00 - 2 058,00 = RS 1 244, X = RS 1 244,00/ x = R$ 622,
- Renato e Flávia ganharam, ao todo, 23 bombons. Se Renato comesse 3 bombons e desse 2 para Flávia, eles ficariam com o mesmo número de bombons. Quantos bombons ganhou cada um deles?
R + F = 23
R = 23 -F
R – 3 -2 = F + 2
R – 5 = F + 2
23 –F – 5 = F + 2
18 = 2F + 2
16 = 2F
F = 16/
F = 8
R = 23 – F = 15
Resposta:
Renata ganhou 15 bombons e Flávia 8.
De fato: 15 – 3 -2 = 8 + 2 10 = 10
Gabarito
5. R$ 930,
7. R$ 1.
8. 110 litros
9. Cada menino recebeu 36 e cada menina, 48
Conjunto dos números Racionais ( );
Conjunto das frações Os números racionais surgiram da necessidade de representar partes de um inteiro. Durante as inundações do Rio Nilo, no Egito Antigo, as terras que ficavam submersas recebiam muitos nutrientes, dessa forma tornavam-se muito férteis para a agricultura. Quando as águas baixavam, era necessário remarcar os limites entre os lotes de cada proprietário. Por mais eficiente que fosse a medida utilizada, dificilmente ela caberia um número inteiro de vezes na corda, isso levava a utilização das frações. O conjunto dos números racionais engloba todos os algarismos na forma de a/b, com b ≠ 0, isto é, os números fracionários e as dízimas periódicas (números decimais). O conjunto é representado pela letra Q maiúscula. Observe alguns exemplos de números racionais: 3/5 ou 0, 4/9 ou 0,4444... 2/11 ou 0,18181818... 1/3 ou 0,33333... –36/10 ou –3,
Observações importantes sobre os números racionais. 1º – Todo número inteiro é um número racional. Exemplos: 0 = 0/1 – 6 = – 6/1 2250 = 2250/1 – 500 = –500/ 2º – Todo número decimal exato é um número racional. Exemplos: 7,6 = 76/10 0,5 = 1/2 – 12,8 = 128/10 6,32 = 632/ 3º – Toda dízima periódica é um número racional. Exemplos: 0,444444... = 4/9 0,33333... = 1/3 0,6777777.... = 61/90 –0,344444... = –31/
Todo número inteiro é um número racional, portanto, o conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto do conjunto dos números racionais (Q). Veja demonstração através da utilização de diagramas:
Dentro do conjunto dos números existem os seguintes subconjuntos: Q* = conjunto dos números racionais com ausência do zero. Q+ = engloba somente os números racionais positivos. Q– = engloba somente os números racionais negativos. Q*+ = engloba somente os números racionais positivos com ausência do zero. Q*– = engloba somente os números racionais negativos com ausência do zero.
- A quais conjuntos numéricos fundamentais não pertence o número? Sabemos que é igual a 8. A trabalharmos com conjuntos utilizamos o símbolo para indicar que um elemento pertence a um conjunto, assim como utilizamos o símbolo para indicar que um elemento não pertence a um determinado conjunto. Assim sendo temos: (oito pertence ao conjunto dos números naturais), pois como sabemos 8 é um número natural; (oito pertence ao conjunto dos números inteiros), pois é sabido que os números naturais são um subconjunto dos números inteiros, sabemos que ; (oito pertence ao conjunto dos números
racionais), pois podemos representar 8 como que é uma fração com numerador e denominador pertencentes ao conjunto dos números naturais, condição necessária para que um número pertença ao conjunto dos números racionais. (oito não pertence ao conjunto dos números irracionais), pois como 64 é um número natural que é também um quadrado perfeito, não é um número irracional, pois. De fato 8 ou jamais poderiam ser irracionais, pois como visto acima, eles são racionais ( ) e nenhum número racional é também irracional e vice-versa. (oito pertence ao conjunto dos números reais), pois o conjunto dos números racionais é um subconjunto dos números reais ( ). Através do diagrama visto na parte teórica, facilmente podemos resolver este problema de forma visual ao identificarmos que (ou 8) é um número natural. Portanto:
não pertence ao conjunto dos números
irracionais ( ).
- A quais conjuntos numéricos fundamentais não pertence o número? Sabemos que 63 embora seja um número natural, não é um quadrado perfeito, nestas condições a sua raiz quadrada será um número irracional. Também sabemos que , que e que ( veja na parte teórica ), ou em outras palavras que, embora também sejam números reais, os números irracionais não são racionais, nem inteiros e nem naturais. Logo: não pertence ao conjunto dos números racionais ( ), inteiros ( ) e naturais ( ).
- Existe raiz quadrada de número primo que não seja irracional? Vimos que a raiz quadrada de um número natural pode ser tanto natural, quanto irracional, mas para que a raiz seja natural, o número deve ser um quadrado perfeito. Para que um número seja primo é preciso que além de natural ele possua exatamente apenas dois divisores distintos, o número um e ele próprio. Falando em termos de conjuntos, a intersecção do conjunto dos números primos com o conjunto natural dos
quadrados perfeitos é igual ao conjunto vazio ( ), ou seja, um número primo não pode ser um quadrado perfeito e vice-versa. Assim sendo: Não existe raiz quadrada de número primo que não seja irracional.
- Se a e b são números pertencentes a e , a quais conjuntos numéricos fundamentais podemos afirmar com certeza que x pertence, quaisquer que sejam os valores de a e b? A partir do enunciado, podemos chamar de A o conjunto ao qual x pertence e representá-lo por
Sabemos que, dentre outras formas, podemos representar o conjunto dos números racionais por
Como podemos observar, A é um subconjunto de , isto é, Sabemos também que Assim sendo: Podemos afirmar com certeza que e .
- Se A é um subconjunto de e B está contido em , a intersecção destes conjuntos possui infinitos elementos? Do enunciado temos que:
É sabido que tal como óleo e água, os elementos dos conjuntos dos números racionais e irracionais não se misturam, ou seja, a intersecção entre ele é o conjunto vazio, pois não há um único número sequer que sendo
racional seja também irracional e vice-versa, os elementos destes conjuntos são mutuamente exclusivos:
Portanto
- Se e , tem-se que ? A intersecção entre dois conjuntos onde um conjunto está contido no outro é o próprio conjunto que está contido, como , temos que , logo A diferença entre conjuntos difere da operação de intersecção. A diferença entre os conjuntos e é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto e que não pertencem ao conjunto , que obviamente é o próprio , pois em não há qualquer número irracional, logo Então e como já aprendemos que , temos que: Sim, tem-se que.
É claro que alguns números naturais tais como 1, 4 e 9, os chamados quadrados perfeitos, admitem raiz quadrada natural, a saber 1, 2 e 3. Pode-se mostrar que este é o sempre caso quando a raiz quadrada é racional.
Ou seja se então p^2 = n. A prova segue da seguinte forma: Suponha que n
admita raiz quadrada racional com p e q inteiros e q não nulo. Sem perda de generalidade, pode-se supor que p e
q são primos entre si. Então tem-se. Como ambas as frações da expressão são irredutíveis, tem-se n^2 = | p | e 1 = | q |. E o resultado segue. Referências Boyer, Carl B. (1996), História da Matemática , 2ª edição, p. 50 e 51, Editora Edgar Blücher. ISBN ISBN 85-212-0023- Ávila, Geraldo (1994), Cálculo I: Funções de uma variável , 6ª edição, p. 24 a 26, Livros Técnicos e Científicos Editora. ISBN ISBN 85-216-0969-
- Conjunto dos números Reais ( )
Conjunto dos Números Reais...1ºs F, G, H e I ...A história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a preocupação em contar objetos e ter registros numéricos. Seja através de pedras, ossos, desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em que procurava abstrair a natureza por meio de processos de determinação de quantidades.
...E essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos. E é sobre eles que passamos a dissertar.
...Conjunto dos Números Naturais Como decorrência da necessidade de contar objetos surgiram os números naturais que é simbolizado pela letra N e é formado pelos números 0, 1, 2, 3, …, ou seja:
N = {0; 1; 2; 3; …}
Um subconjunto de N muito usado é o conjunto dos números naturais menos o zero, ou seja N - {0} = conjuntos dos números naturais positivos, que é representado por N*.
Observações: Em N são definidas apenas as operações de adição e multiplicação; Isto é fato, pois se a e b são dois números naturais então a + b e a.b são também números naturais. Esta propriedade é conhecida como fechamento da operação; Valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0 para a adição e 1 para a multiplicação) para as duas operações e a distributiva para a multiplicação em N. Como consequência, surge um novo conjunto para atender essa necessidade. ...Conjunto dos Números Inteiros Chama-se o conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, o seguinte conjunto: Z = {…, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}
No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos notáveis que possuem notação própria para representá-los: Conjunto dos inteiros não negativos: Z+ = {0; 1; 2; 3; …}; Conjunto dos inteiros não positivos: Z- = {…; -3; -2; -1; 0}; Conjunto dos inteiros não nulos: Z* = {…, -3; -2; -1; 1; 2; 3; …}; Conjunto dos inteiros positivos Z+* = {1; 2; 3; …}; Conjunto dos inteiros negativos Z-* = {…; -3; -2; -1}. Note que Z+ = N e, por essa razão, N é um subconjunto de Z.
Observações: No conjunto Z, além das operações e suas propriedades mencionadas para N, vale a propriedade simétrico ou oposto para a adição. Isto é: para todo a em Z, existe -a em Z, de tal forma que a + (-a) = 0;
Devido a este fato podemos definir a operação de subtração em Z: a - b = a + (-b) para todo a e b pertencente a Z; Note que a noção de inverso não existe em Z. Em outras palavras, dado q pertencente a Z, diferente de 1 e de -1, 1/q não existe em Z; ...Os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta orientada ou eixo, onde temos um ponto de origem, o zero, e à sua esquerda associam-se ordenadamente os inteiros negativos e à sua direita os inteiros positivos, separados por intervalos de mesmo comprimento; ...Em Z podemos introduzir o conceito de módulo ou valor absoluto: |x| = x se x >= 0 e |x| = -x se x < 0, para todo x pertencente a Z. Como decorrência da definição temos que |x| >= 0 para qualquer número inteiro. ...Conjunto dos Números Racionais O conjunto dos números racionais, simbolizado pela letra Q, é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de uma fração p/q, com p e q inteiros quaisquer e q diferente de zero:
...Como todo número inteiro pode ser escrito na forma p/1, então Z é um subconjunto de Q. Valem também para o conjuntos dos números racionais as notações Q* (conjunto dos números racionais não nulos), Q+ (conjunto dos números racionais não negativos) e Q- (conjunto dos números racionais não positivos). Observações: São válidas todas as propriedades vistas para o conjunto dos números inteiros; Além disso é válida a propriedade simétrico ou inverso para a multiplicação. Isto é, para todo a/b pertencente a Q, ...a/b diferente de zero, ...existe b/a em Q tal que (a/b)(b/a) = 1; Decorre da propriedade acima que é possível definir a operação de divisão em Q* da seguinte forma (a/b):(c/d) = (a/b).(d/c), para quaisquer a, b, c e d pertencente a Q; Todo número racional p/q pode ser escrito como um número decimal exato (ex: 1/2 = 0,5) ou como uma dízima periódica (1/3 = 0,333…). Números Irracionais Como o próprio nome sugere um número irracional é todo número não racional, isto é, todo número que não pode ser escrito na forma de uma fração p/q, onde p e q são inteiros e q diferente de zero.
São exemplos de números irracionais a raiz quadrada de 2 e a raiz cúbica de 3, ou seja, nenhum deles pertence a Q. A título de ilustração vamos demonstrar, pela teoria do absurdo, que a raiz quadrada de 2 não pertence a Q.
Suponhamos que raiz quadrada de 2 é racional e admitamos que possa ser escrita como uma fração irredutível a/b, b diferente de zero:
Da expressão acima concluímos que a ao quadrado é par e que, portanto, a é par. Logo a = 2m, com m inteiro. Substituindo o valor de a na expressão anterior vem que:
Da mesma forma obtemos que b também é par, o que é um absurdo pois a/b é irredutível, ou seja, a e b são primos entre si, e portanto têm como divisor comum apenas o número 1, isto é, mdc(a,b) = 1. Caso deseje obter maiores informações sobre as operações com números irracionais consulte os artigos publicados no blog na categoria Matemática. ...Conjunto dos Números Reais O conjunto dos números reais, simbolizado pela letra R, é o formado por todos os números racionais e por todos os números irracionais: R = {x | x é racional ou x é irracional} Desse modo todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o conjunto dos números irracionais são subconjuntos de R. Da mesma forma destacamos três outros subconjuntos de R: R* = conjunto dos reais não nulos, R+ = conjunto dos reais não negativos e R- = conjunto dos reais não positivos.
Referências: Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977; Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.
No início, os números complexos não eram vistos como números, mas sim como um artifício algébrico útil para se resolver equações. Descartes, no século XVII, os chamou de números imaginários. Abraham de Moivre e Euler, no século XVIII começaram a estabelecer uma estrutura algébrica para os números complexos. Em particular, Euler denotou a raiz quadrada de -1 por i. Ainda no século XVIII os números complexos passaram a ser interpretados como pontos do plano (plano de Argand-Gauss), o que permitiu a escrita de um número complexo na forma polar. Com isso, conseguiu-se calcular potências e raízes de modo eficiente e claro. Ainda no século XVIII, Gauss demonstrou o Teorema Fundamental da Álgebra.
Definições Plano complexo (de Argand Gauss)
No plano de Argand-Gauss, parte real é representada pela abscissa e a parte imaginária pela ordenadas. O plano complexo, também chamado de plano de Argand-Gauss é uma representação geométrica do conjunto dos números complexos. Da mesma forma como a cada ponto da reta está associado um número real, o plano complexo associa biunivocamente o ponto ( x , y ) do plano ao número complexo x + yi. Esta associação conduz a pelo menos duas formas de representar um número complexo:
- Forma retangular ou cartesiana:
representa o número Z em coordenadas cartesianas separando a parte real da parte imaginária.
onde r é a distância euclidiana do ponto:
até a origem do sistema de coordenadas, chamada de módulo do número complexo e denotada:
Enquanto é o ângulo entre a semi-reta e o semi- eixo real, chamado de argumento do número complexo Z
e denotado por.
Através da identidade , a forma polar é equivalente à chamada forma exponencial:
Operações elementares O conjunto dos números complexos é um corpo. Portanto, é fechado sobre as operações de adição e multiplicação, além de possuir a propriedade de que todo elemento não-nulo do conjunto possui um inverso multiplicativo. Todas as operações do corpo podem ser performadas através das propriedades associativa, comutativa e distributiva, levando em consideração a identidade Sejam z e w dois números complexos dados por
e então definem-se as relações e operações elementares tal como segue:
- Identidade: se e somente se e.
- Soma:
- Produto:
- Conjugado: , onde denota o conjugado de z. Outra notação usada para o conjugado de z é z *^.
- (^) Produto de um Complexo por seu Conjugado:
Como i^2 = − 1, temos que o produto de um Número Complexo a + bi pelo seu Conjugado a − bi se dá por:
.
- Módulo:
- Inverso multiplicativo (para ):
As operações de subtração e divisão são efetuadas transformando em adição com o oposto aditivo e em multiplicação com o inverso multiplicativo, respectivamente. Algumas operações são mais facilmente realizadas na forma polar:
- Produto:
- Inverso multiplicativo (para ):
- Divisão:
- Potenciação:
- Conjugado:
A produto de um número complexo pelo seu conjugado é:
[editar] O módulo Sejam z e w dois números complexos dados por
e , o módulo possui as seguintes propriedades:
A distância entre dois números complexos é definida como:
Propriedades algébricas
Gauss demonstrou que o conjunto dos números complexos é algebricamente fechado. O conjunto dos números complexos formam um corpo algebricamente fechado. Isso significa que toda equação algébrica de grau não nulo pode possuir como solução um número complexo. Mais formalmente, a seguinte equação
possui pelo menos uma solução complexa. Este resultado é conhecido como teorema fundamental da álgebra e foi demonstrado primeiramente pelo matemático alemão Carl Friedrich Gauss. Uma consequência deste teorema é que todo polinômio de grau n pode ser decomposto em um produto de n fatores lineares complexos:
Radical algébrico O radical algébrico é definido no conjunto dos números complexos como uma função multivalente, devido ao fato que a equação algébrica:
possui n soluções distintas para cada , que são dadas pela fórmula de De Moivre:
onde.
Propriedades topológicas e analíticas O conjunto dos números complexos munido da
distância forma um espaço métrico completo. De fato, o módulo possui todas as características de uma norma.
Convergência nos complexos Diz-se que uma sequência de números complexos é convergente se existe um número complexo tal que:
neste caso, denota-se:
- É fácil verificar que se , então converge para se e somente se converge para e converge para.
- Do fato de que ,
é válido que se então [editar] O conjunto dos números complexos como extensão algébrica No campo da álgebra abstrata, o número pode ser interpretado como o elemento que gera a extensão algébrica dos números reais contendo a raiz do polinômio
. Isto é, o corpo é isomorfo ao corpo
quociente pela aplicação
, homomorfismo de anéis tal que restrito aos reais é a aplicação identidade e que
leva em.
