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Aula 22 – Tra¸cados da Hip´erbole e da Par´abola (^) M ´ODULO 2 - AULA 22
Aula 22 – Tra¸cados da Hip´erbole e da
Par´abola
Objetivos
- Construir a Hip´erbole de forma aproximada.
- Construir a Par´abola de forma aproximada.
- Discutir problemas de tangˆencia a uma Hip´erbole e a uma Par´abola.
Hip´erbole
Defini¸c˜ao: Hip´erbole ´e uma curva plana aberta de ramos infinitos, na qual ´e igual a uma constante 2 a o valor absoluto da diferen¸ca entre as distˆancias de cada um de seus pontos a dois pontos fixos F e F ′, denominados focos, situados em seu plano. Assim, como os pontos F e F ′^ s˜ao os focos da hip´erbole, a distˆancia entre eles ´e a distˆancia focal e que mede 2 c.
A hip´erbole possui dois eixos. Um transverso ou real que ´e o segmento AB e outro n˜ao transverso ou imagin´ario e que ´e o trecho CD. Estes dois eixos se cortam no centro O da curva perpendicularmente. Os pontos A e B s˜ao chamados de v´ertices da hip´erbole. O eixo real tem comprimento igual a 2a, o eixo imagin´ario tem comprimento 2b tal que
c^2 = a^2 + b^2.
C
D
x
x
x x
x
x
x
x
2a
x F A^ O B F´
Figura 210
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Para toda hip´erbole existem duas retas concorrentes no centro da curva que tendem a tangencias os ramos da hip´erbole quando estas seguem para o infinito. Tais retas s˜ao chamadas de retas ass´ıntotas. A reta perpendicular ao eixo real no v´ertice intercepta as ass´ıntotas em pontos que distam entre si um comprimento igual ao do eixo imagin´ario.
Figura 211
Quando a = b os quatro pontos determinados pelas ass´ıntotas e as per- pendiculares pelos v´ertices formam um quadrado. Neste caso, as ass´ıntotas por serem suportes das diagonais ser˜ao perpendiculares. A hip´erbole para esta situa¸c˜ao ´e chamada de Hip´erbole Eq¨uil´atera.
Assim como acontece na elipse, a constru¸c˜ao exata da hip´erbole n˜ao ´e poss´ıvel utilizando r´egua e compasso. Por isso, as constru¸c˜oes s˜ao feitas por aproxima¸c˜ao utilizando concordˆancia entre arcos ou a m˜ao livre quando obtidos muitos pontos isolados da curva.
Problema 1: Construir uma hip´erbole dadas a medida do eixo real e a distˆancia focal.
Sejam AB = 2a, que ´e a medida do eixo real, e 2c a distˆancia focal.
Resolu¸c˜ao:
1.1 Trace o ponto m´edio O segmento AB e marque sobre tal segmento os pontos F e F ′^ tais que OF = OF ′^ = c.
1.2 Para se determinar um ponto M qualquer da curva, toma-se um ponto qualquer E da reta determinada pelos pontos F e F ′^ exterior ao seg- mento F F ′.
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2.2 A bissetriz interna ´e a tangente e a bissetriz externa ´e a normal.
Figura 213
Exerc´ıcios
- Encontre os v´ertices e construa a hip´erbole sendo dados o comprimento do eixo imagin´ario e os focos.
Figura 214
- Encontre os v´ertices da hip´erbole, o eixo imagin´ario e as ass´ıntotas da hip´erbole sabendo que a reta r ´e uma reta tangente e os focos s˜ao os ponto F e F ′.
Figura 215
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- Sendo dados um foco F , um v´ertice B correspondente ao segundo foco, o comprimento do eixo imagin´ario , encontre o centro, o v´ertice e o foco que faltam a hip´erbole.
Figura 216
Par´abola
Defini¸c˜ao: A par´abola ´e uma curva plana aberta infinita e de um s´o ramo, da qual cada um de seus pontos eq¨uidista de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa denominada diretriz, situados em seu plano.
A reta fixa que define a par´abola ´e chamada de Diretriz. O eixo focal ´e a reta que ´e perpendicular `a diretriz, o ponto m´edio entre o foco e a interse¸c˜ao da diretriz e o eixo focal ´e chamado de v´ertice da par´abola.
Qualquer semi-reta de origem no foco e que passa por um ponto da curva se chama raio vetor. Qualquer segmento retil´ıneo cujos extremos se acham em dois pontos da curva, se chama corda. Qualquer semi-reta de origem em um ponto da par´abola e paralela ao eixo da curva, ´e um diˆametro parab´olico, ou um diˆametro de par´abola.
Figura 217
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Figura 218
Exerc´ıcios
- Construa a par´abola conhecendo-se um ponto da curva, o eixo focal e a reta diretriz.
Figura 219
- Encontre o foco e o v´ertice da par´abola sabendo que o ponto M pertence a curva, a reta r ´e suporte do raio vetor do ponto M e s ´e a reta diretriz da par´abola. (^) s
r
Figura 220 (^131) C E D E R J
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- Encontre o foco, o eixo focal e o v´ertice da par´abola sabendo que os pontos M e N pertencem a par´abola e r ´e a reta diretriz da par´abola.
Figura 221
A par´abola possui propriedades para suas cordas, tangentes e normais que s˜ao an´alogas `as propriedades das cordas, tangentes e normais da elipse.
- Os pontos m´edios das cordas da par´abola paralelas a uma dire¸c˜ao dada s˜ao colineares formando uma reta paralela ao eixo focal.
- As retas tangente e normais a par´abola num ponto dado da curva s˜ao as bissetrizes das retas suportes do raio vetor e do diˆametro que passam por este ponto.
Figura 222
Problema 2: Tra¸car a tangente e a normal `a par´abola de um ponto da curva, conhecendo a diretriz, um ponto e o foco.
Resolu¸c˜ao:
Seja M o ponto tomado na curva.
2.1 Una M a F e trace por M a perpendicular `a diretriz r interceptando-a num ponto N.
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- Tra¸car a tangente `a par´abola paralela a uma reta r dada.
Figura 226
- Encontre a reta diretriz e o eixo focal da par´abola da qual se conhecem um ponto, a reta normal no ponto e o foco.
Figura 227
- Encontre a reta diretriz da par´abola conhecendo o foco e dois de seus pontos. Sugest˜ao: Lembre que pela defini¸c˜ao da par´abola a diretriz deve estar a uma distˆancia de cada ponto igual a distˆancia dos mesmos ao foco. Por isso, a diretriz ser´a tangente comum as circunferˆencias de centros nos pontos da curva e que passam pelo foco.
Figura 228
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Resumo
Nesta aula, vocˆe aprendeu...
- a construir a hip´erbole.
- a solucionar problemas de tangˆencia `a hip´erbole.
- a construir a par´abola.
- a solucionar problemas de tangˆencia `a par´abola.
