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Divis˜ao de segmentos retil´ıneos (^) M ´ODULO 1 - AULA 4
Aula 4 – Divis˜ao de segmentos retil´ıneos
Objetivos
Conhecer m´etodos de divis˜ao de segmentos em partes iguais ou proporcionais a segmentos dados; Obter a terceira e quarta proporcionais de uma dada propor¸c˜ao de segmentos; Aplicar a constru¸c˜ao da terceira e da quarta proporcionais para resolu¸c˜oes de problemas alg´ebricos como m´edia geom´etrica de dois n´umeros positivos. Obter o ponto de m´edia e extrema raz˜ao de um segmento dado;
No¸c˜oes Iniciais
Sabemos que uma propor¸c˜ao ´e a igualdade de duas raz˜oes ou, simplifi- cando, ´e uma igualdade entre duas fra¸c˜oes.
Assim, 5 3 =
´e uma propor¸c˜ao, e que poderemos escrever tamb´em:
5 : 3 :: 10 : 6
e que se lˆe: cinco est´a para trˆes assim como dez est´a para seis.
Cada um desses valores chama-se termo, donde se conclui que uma propor¸c˜ao possui sempre quatro termos. Em qualquer propor¸c˜ao, os luga- res ocupados pelos termos 5 e 6 da propor¸c˜ao acima chamam-se extremos enquanto que os que ocupam os lugares dos termos 3 e 10, naquela mesma propor¸c˜ao, chamam-se meios. Ent˜ao toda propor¸c˜ao tem dois extremos e dois meios, pode ser expressa graficamente e onde cada um de seus termos pode ser descrito como o comprimento de um segmento de reta.
Da proporcionalidade de fra¸c˜oes tiramos trˆes propriedades:
- O produto dos meios ´e igual ao produto dos extremos; a b =^
c d ⇔^ a.d^ =^ b.c
- A troca de ordem dos extremos n˜ao altera a propor¸c˜ao; a b =^
c d ⇔^
d b =^
c a
Divis˜ao de segmentos retil´ıneos
- A troca de ordem dos meios n˜ao altera a propor¸c˜ao. a b =^
c d ⇔^
a c =^
b d
Supondo que sejam conhecidos trˆes valores, a, b e c, diferentes entre si, chamamos de quarta proporcional o valor x para o qual vale a seguinte propor¸c˜ao: a b =^
c x ⇔^ a.x^ =^ b.c^ ⇔^ x^ =^
b.c a Se os valores dados acima s˜ao tais que b = c, ent˜ao s˜ao dados somente dois valores, a saber a e b. Neste caso o valor x procurado acima ´e chamado de terceira proporcional. Se numa propor¸c˜ao a : b :: c : d temos que b = c e ent˜ao dizemos que o valor b ´e a m´edia proporcional ou m´edia geom´etrica dos valores a e d. Considerando um eixo E neste caso a propor¸c˜ao ´e chamada de propor¸c˜ao^ cont´ınua. orientado, isto ´e, uma reta onde temos um sentido positivo de orienta¸c˜ao, chamamos de grandeza de um segmento desta reta o n´umero real, cujo valor absoluto corresponde ao comprimento do segmento, que recebe um sinal (positivo ou negativo) de acordo com o sentido do segmento. Se dois segmentos de uma reta orientada possuem sentidos opostos, ent˜ao suas grandezas ter˜ao sinais trocados.
Duas grandezas diferentes, a e b, e somente duas, podem fornecer uma propor¸c˜ao cont´ınua, como na seguinte propor¸c˜ao: a + b a =^
a b ou equivalentemente, (a + b) : a :: a : b que ´e uma propor¸c˜ao c´elebre e que se denomina na se¸c˜ao ou corte de ouro. Esta propor¸c˜ao diz que a rela¸c˜ao entre a soma de duas grandezas e uma delas ( a maior no caso ´e a) ´e igual a rela¸c˜ao entre esta ( a) e a outra ( b). Isto de fato s´o se obt´em quando a b ' 1 , 618. Que ´e o que Euclides definiu como n´umero de ouro, segmento ´aureo ou rela¸c˜ao ´aurea. A raz˜ao formada por dois segmentos AC e CB ´e por defini¸c˜ao a raz˜ao entre as grandezas correspondentes, que neste caso o sinal dessa raz˜ao de- pende da orienta¸c˜ao dos mesmos. Indicaremos esta raz˜ao por: AC CB.
- Se os segmentos possuem o mesmo sentido, a raz˜ao ´e positiva;
A C B
Figura 49: AC CB > 0
Divis˜ao de segmentos retil´ıneos
Divis˜ao de segmentos retil´ıneos
Este problema consiste em dividir um segmento qualquer em quantas partes forem necess´arias.
Problema 1: Divida o segmento AB, em n-partes iguais.
Apesar do problema ser enunciado de maneira geral, faremos, por exem- plo, a divis˜ao em 5 partes, o que n˜ao perde a generalidade, pois qualquer divis˜ao ´e feita maneira an´aloga.
Veremos dois m´etodos distintos de igual trabalho, j´a que consistem na constru¸c˜ao de uma ´unica reta paralela, como veremos.
1 o^ M´etodo
1.1. Por uma das extremidades do segmento AB, digamos A, tra¸ca-se uma reta qualquer que n˜ao passe pela outra extremidade;
1.2. Com uma abertura qualquer no compasso, marcamos 5 segmentos de igual medida, a partir da extremidade escolhida, nesse caso A. Obtendo os pontos C,D,E,F e G.
1.3. Unindo os pontos B e G, encontramos uma reta r.
1.4. Tra¸cando pelo ponto F uma reta paralela a r, obtemos um ponto K no segmento AB tal KB = 15 AB;
1.5. Com uma abertura no compasso na medida de KB e marcando segui- damente sobre AB, a partir do ponto A, encontramos os quatro pontos H,I,J e K que dividem AB em cinco partes iguais.
Figura 53
Justificativa: Como a reta que passa por F ´e paralela `a reta r, ent˜ao os triˆangulos ABG e AKF s˜ao semelhantes. Por constru¸c˜ao F G = 15 AG, logo KB = 15 AB.
Divis˜ao de segmentos retil´ıneos (^) M ´ODULO 1 - AULA 4
2 o^ M´etodo
1.1. Por uma das extremidades dos segmento AB, digamos A, tra¸ca-se uma reta r qualquer que n˜ao passe pela outra extremidade;
1.2. Pela outra extremidade, neste caso pelo ponto B, tra¸ca-se uma reta s paralela a r;
1.3. Com uma abertura fixa no compasso, marcam-se quatro pontos, C, D, E e F sobre r, a partir do ponto A ;
1.4. Com a mesma abertura no compasso, marcam-se outros quatro pontos, G, H, I e J sobre a reta s, a partir do ponto B no sentido contr´ario ao dos segmentos obtidos em r;
1.5. Unindo os pares de pontos (C, J), (D, I), (E, H) e (F, G), obtemos quatro retas paralelas;
1.6. Tais retas interceptam o segmento AB em quatro pontos K, L, M e N que o dividem em cinco partes iguais.
Figura 54
Justificativa: Como as retas r e s s˜ao paralelas e os segmentos CD, DE, EF , JI, IH e HG possuem a mesma medida, ent˜ao os quadril´ateros CDIJ, DEHI e EF GH s˜ao paralelogramos. Assim temos que CJ//DI//EH//F G. Portanto, pelo Teorema de Tales tais retas devem dividir o segmento trans- versal AB na mesma propor¸c˜ao que divide os segmentos AF ou BJ.
Divis˜ao de segmentos retil´ıneos (^) M ´ODULO 1 - AULA 4
Figura 55
De fato, os triˆangulos COM e AOI s˜ao semelhantes e nesse caso temos a seguinte propor¸c˜ao: c d =^
x 1 5 d^
⇔ x =^15 c
As outras propor¸c˜oes s˜ao demonstradas de maneira semelhante.
A id´eia aplicada para resolver o problema 1 pode ser tamb´em utili- zada para dividir um segmento qualquer dado em n-segmentos diretamente proporcionais a outros n-segmentos dados de medidas a 1 , a 2 , a 3 , ..., an. Em- bora este problema possa ser resolvido de maneira geral faremos, a seguir, a divis˜ao proporcional a trˆes segmentos dados.
Problema 3: Sendo dados um segmento AB e trˆes segmentos com respec- tivas medidas a, b e c, divida o segmento AB em segmentos de medidas proporcionais aos valores a, b e c.
Utilizaremos o segundo m´etodo do problema 1 resolu¸c˜ao. Como exerc´ıcio, utilize o primeiro processo para resolver o mesmo problema. 3.1. Por uma das extremidades do segmento AB, digamos A, tra¸ca-se uma reta r qualquer que n˜ao passe pela outra extremidade;
Divis˜ao de segmentos retil´ıneos
3.2. Pela outra extremidade, neste caso pelo ponto B, tra¸ca-se uma reta s paralela a r;
3.3. Com uma abertura de comprimento a no compasso, marca-se na reta r, a partir do ponto A, o ponto C sobre r, tal que AC tenha medida a. Com uma abertura de comprimento b, marca-se o ponto D, sobre r, tal que CD tenha medida b;
3.4. Sobre a reta s, no sentido contr´ario ao feito na reta r, marcam-se os pontos E e F , tais que BE tenha medida c e EF tenha medida b;
3.5. Unindo os pontos C e F , D e E obtemos duas retas paralelas; 3.6. Tais retas interceptam o segmento AB em dois pontos G e H dividin- do-o em trˆes partes proporcionais aos segmentos de medidas a, b e c.
Figura 56
A justificativa para o problema 3 ´e a mesma do problema 2.
Exerc´ıcios:
- Dado o segmento abaixo, divida-o em partes proporcionais aos valores Sugest˜ao: Crie um segmento 2, 3, 4 e 5. qualquer(n˜ao muito grande)para representar a unidade, isto ´e, sua medida ´e
- A partir desse segmento, construa os segmentos de medida 2, 3, 4 e 5, e utilize-os na divis˜ao.
Figura 57
A divisibilidade de um segmento em partes proporcionais pode ser apli- cada em outras constru¸c˜oes que tˆem como objetivo resolver novos problemas alg´ebricos por m´etodos geom´etricos.
Divis˜ao de segmentos retil´ıneos
Portanto, o segmento BD tem a medida x que ´e a quarta proporcional dos valores a, b e c.
Exemplo 6 Dado o segmento de comprimento a, como na figura abaixo, obtenha o seg- mento de comprimento x tal que x = 56 .a.
Figura 59
Solu¸c˜ao: Podemos resolver este exerc´ıcio de duas formas: a primeira maneira ´e feita dividindo o segmento em 6 partes iguais e a seguir tomando 5 destas partes; o outro m´etodo ´e trabalhando com a quarta proporcional, visto que temos a seguinte eq¨uivalˆencia
x =^56 .a ⇔ x 5 = a 6 ⇔ 65 = (^) xa.
(1) Sabemos que existem^ Ou seja,^ x^ ´e a quarta proporcional dos valores 6, 5 e^ a. v´arias unidades de medida de comprimento como o “metro”, a “polegada” e outros. Em desenho geom´etrico ´e comum criarem-se segmentos ditos “unidades” e todo o problema em quest˜ao ´e considerado nesta “unidade”.
Neste caso, para resolver o exerc´ıcio ´e necess´ario que estipulemos um segmento “unidade”(1), e a partir desse segmento criarmos os segmentos de medida 6 e 5.
- Indicamos as extremidades do segmento a pelos pontos A e B. To- mando o segmento u como unidade no prolongamento do segmento a, a partir de B, constru´ımos o segmento 6u, obtendo um ponto C;
- No ponto C tra¸camos uma semi-reta qualquer e nesta semi-reta cons- tru´ımos o segmento 5u, obtendo um ponto D;
- Unimos os pontos D e B por uma reta r;
- Pela extremidade A do segmento a tra¸camos uma paralela `a reta r que intercepta a semi-reta constru´ıda num ponto E.
O segmento DE tem medida x.
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Figura 60
Exerc´ıcios:
- Dado o segmento de comprimento k abaixo, encontrar o segmento de medida x tal que 3x = 5k.
Figura 61
- Dados os segmentos abaixo de medidas x, y e z, obtenha o segmento de medida m = (x+ zz ).y.
Figura 62
Lembremos tamb´em que quando os meios de uma propor¸c˜ao s˜ao iguais, isto ´e, a : b :: b : c, ent˜ao dizemos o ´ultimo termo ´e a terceira proporcional. Note que neste caso ser˜ao dados somente dois segmentos. E quando se pede a terceira proporcional, o segundo segmento deve ser repetido. Por isso a ordem dos segmentos ´e importante na determina¸c˜ao da terceira proporcional.
Exemplo 7
Obtenha a terceira proporcional dos segmentos de medidas a e b nesta ordem e, a seguir, na ordem b e a.
Divis˜ao de segmentos retil´ıneos (^) M ´ODULO 1 - AULA 4
Observando a figura acima, atrav´es de resultados determinados em Geo- metria B´asica, obtemos as seguintes rela¸c˜oes:
- b^2 = a.m;
- c^2 = a.n;
- h^2 = m.n;
- m + n = a;
- b.c = a.h.
- a^2 = b^2 + c^2 ;
As duas primeiras rela¸c˜oes m´etricas nos dizem que cada cateto ´e a m´edia geom´etrica da hipotenusa com sua proje¸c˜ao ortogonal sobre a hipotenusa. A terceira rela¸c˜ao nos diz que a altura relativa `a hipotenusa ´e a m´edia geo- m´etrica das proje¸c˜oes dos catetos sobre a hipotenusa. E a ´ultima rela¸c˜ao ´e o famoso Teorema de Pit´agoras.
Observe que necessitamos construir triˆangulos retˆangulos sob certas condi¸c˜oes dadas. Mas uma importante propriedade do triˆangulo retˆangulo vem do fato de que sempre ´e inscrit´ıvel em uma semicircunferˆencia, isto ´e, a hipotenusa pode ser vista como um diˆametro de uma circunferˆencia.
Figura 65
A partir desses resultados podemos desenvolver algumas t´ecnicas para obten¸c˜ao da m´edia geom´etrica de dois segmentos dados.
Problema 1: Sendo dados os segmentos abaixo, de medidas a e b, obtenha o segmento de medida x =
a.b. Pelo que vimos nas rela¸c˜oes m´etricas do triˆangulo retˆangulo, podemos ter duas maneiras distintas de se resolver este problema.
Divis˜ao de segmentos retil´ıneos
Primeiro M´etodo
Neste m´etodo utilizaremos o segmento maior como hipotenusa e o me- nor como uma proje¸c˜ao de um dos catetos. 1.1. Supondo a > b, constru´ımos, sobre uma reta suporte qualquer, um segmento de medida a obtendo os pontos B e C;
1.2. Com origem em uma das extremidades de BC, digamos B, constru´ımos um segmento de medida b, obtendo um ponto D entre B e C;
1.3. Encontramos o ponto m´edio M do segmento BC, para isto basta cons- truir a mediatriz; 1.4. Constru´ımos a semicircunferˆencia de raio BM com centro em M ;
1.5. Tra¸camos a perpendicular `a reta suporte de BC no ponto D. Tal reta deve interceptar a semicircunferˆencia no ponto A. O segmento BA tem medida
a.b
Figura 66
Segundo M´etodo
Neste m´etodo utilizaremos os dois segmentos como proje¸c˜oes dos cate- tos sobre a hipotenusa. E neste caso a soma das medidas a e b ser´a a medida da hipotenusa.
1.1. Construimos, sobre uma reta suporte qualquer, dois segmentos conse- cutivos de medidas a e b, respectivamente, obtendo os pontos B, D e C, tais que BD tenha medida a e DC tenha medida b e o ponto D esteja entre B e C;
Divis˜ao de segmentos retil´ıneos
- Considerando os segmentos de medidas a, b e c abaixo, obtenha os segmentos nas seguintes medidas:
Figura 69
(a) x tal que x^2 = (a + b).c; (b) y tal que y = b
√b.c a (c) z tal que z^2 = c.
a^2 + b^2 (d) w tal que w = a
√ 5 .√a (^2) +b 2 √b.c
Sugest˜ao:
(a) x ´e a m´edia geom´etrica dos segmentos de medida a + b e c. (b) Primeiro encontre o segmento de medida x′^ =
b.c (´e a m´edia geom´etrica de b e c) em seguida lembre y = b.x a ′⇔ a b = x y′. (c) Primeiro use o Teorema de Pit´agoras para encontrar
a^2 + b^2. (d) Utilize o Exerc´ıcio 9 da aula 2.
M´edia e Extrema Raz˜ao
Obter o ponto de m´edia e extrema raz˜ao de um segmento AB ou dividi- lo em m´edia e extrema raz˜ao ´e encontrar o ponto C colinear aos pontos A e B tal tenhamos a propor¸c˜ao AC : AB :: CB : AC ou equivalentemente CB : AC :: AC : AB, isto ´e AC ´e m´edia geom´etrica de AB e CB. No entanto, este problema n˜ao ´e t˜ao simples como resolver uma m´edia geom´etrica.
Sabemos que se AB (ver no¸c˜oes iniciais) tem medida a o segmento AC tem medida x que satisfaz a equa¸c˜ao x^2 + ax − a^2 = 0. Tal equa¸c˜ao equivale `a: x^2 + ax +
(a 2
= a^2 +
(a 2
x +
a 2
= a^2 +
(a 2
Assim x + a 2 ´e a hipotenusa de um triˆangulo retˆangulo de catetos a e a 2.
Figura 70
Divis˜ao de segmentos retil´ıneos (^) M ´ODULO 1 - AULA 4
Problema 1: Obter os pontos de m´edia e extrema raz˜ao do segmento AB dado.
Sabemos que existem dois pontos e que vamos encontr´a-los da seguinte forma:
1.1. Sobre uma reta suporte r qualquer, constru´ımos um segmento AB de medida a;
1.2. Ap´os dividir o segmento AB em duas partes iguais, constru´ımos um segmento BD de medida a 2 na perpendicular a r que passa por B;
1.3. Constru´ımos a semi-reta de origem A que passa por D;
1.4. Com centro em D e raio DB constru´ımos uma circunferˆencia que in- tercepta a semi-reta, constru´ıda no item anterior, nos pontos E e E′, sendo E entre A e D;
1.5. Com centro em A e raio AE, constru´ımos uma circunferˆencia que in- tercepta o interior do segmento AB no ponto C;
1.6. Com centro em A e raio AE′, constru´ımos uma circunferˆencia que in- tercepta o exterior do segmento AB no ponto C′;
a
Figura 71
Divis˜ao de segmentos retil´ıneos (^) M ´ODULO 1 - AULA 4
Figura 72
Resumo
Nesta aula vocˆe aprendeu...
- A dividir um segmento em partes iguais ou proporcionais a outros seg- mentos dados;
- A resolver de forma geom´etrica algumas equa¸c˜oes alg´ebricas;
- A obter o ponto de m´edia e extrema raz˜ao de um segmento dado.
