Baixe CÁCULO 1 GABARITO PROVAS CEDERJ e outras Exercícios em PDF para Dispositivos de Elétrons de Alta Velocidade, somente na Docsity! Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro GABARITO AP1 – CÁLCULO 1 – 21/09/2019 Código da Disciplina: EAD 1005 Questão 1 [2 pontos] Considere a função f : R→ R definida por: f(x) = 7x sen(x− 5) x3 − 3x2 − 10x, se x < 5 1, se x = 5 x3 − 4x2 − 5x x2 − 8x + 15 , se x > 5 Calcule, se existirem, os limites: lim x→5+ f(x), lim x→5− f(x) e lim x→5 f(x). Solução: Temos que: ¶ lim x→5+ f(x) = lim x→5+ x3 − 4x2 − 5x x2 − 8x + 15 = limx→5+ x(x + 1)(x− 5) (x− 3)(x− 5) = lim x→5+ x(x + 1) x− 3 = 30 2 = 15 ! · lim x→5− f(x) = lim x→5− 7x sen(x− 5) x3 − 3x2 − 10x = limx→5− 7x sen(x− 5) x(x− 5)(x + 2) = = [ lim x→5− sen(x− 5) (x− 5) ] 1 · [ lim x→5− 7x x(x + 2) ] = 1 · 3535 = 1 ! Como lim x→5+ f(x) = 15 6= 1 = lim x→5− f(x), segue que não existe lim x→5 f(x). ! Questão 2 [2 pontos] Considere a função f(x) = 3x− 12 + x , x ∈ R− {−2}. (a) [1,6 pontos] Encontre as asśıntotas verticais e as asśıntotas horizontais do gráfico de f , fazendo um estudo completo dos limites infinito e no infinito. (b) [0,4 pontos] Trace um esboço do gráfico de f . Solução: (a) Temos que: ¶ lim x→−2+ 3x− 1 2 + x = −∞, pois 3x− 1→ −7 < 0 e 2 + x→ 0 + quando x→ −2+; · lim x→−2− 3x− 1 2 + x = +∞, pois 3x− 1→ −7 < 0 e 2 + x→ 0 − quando x→ −2−; ¸ lim x→+∞ 3x− 1 2 + x = limx→+∞ 3x x = 3; ¹ lim x→−∞ 3x− 1 2 + x = limx→−∞ 3x x = 3. De ¶ e ·, concluimos que a reta x = −2 é a única asśıntota vertical do gráfico de f e, de ¸ e ¹, concluimos que a reta y = 3 é a única asśıntota horizontal do gráfico de f . (b) Um esboço do gráfico de f é: CÁLCULO 1 AP1 2/2019 Questão 3 [2 pontos] Calcule a derivada das seguintes funções: (a) [1 ponto] f(x) = (x2 − e4x)(x + 1)5, x ∈ R. (b) [1 ponto] g(x) = sen(x− x 3) 1 + x4 , x ∈ R. Solução: (a) f ′(x) = (x2 − e4x)′ · (x + 1)5 + (x2 − e4x) · [(x + 1)5]′ = = (2x− 4 e4x) · (x + 1)5 + (x2 − e4x) · 5(x + 1)4 · (x + 1)′ = = (2x− 4 e4x) · (x + 1)5 + (x2 − e4x) · 5(x + 1)4 · 1 = = (x + 1)4 · [(2x− 4 e4x)(x + 1) + 5(x2 − e4x)] = = (x + 1)4 · [2x + 7x2 − e4x(4x + 9)] (b) g′(x) = [sen(x− x 3)]′ · (1 + x4)− sen(x− x3) · (1 + x4)′ (1 + x4)2 = = cos(x− x 3) · (x− x3)′ · (1 + x4)− sen(x− x3) · 4x3 (1 + x4)2 = = cos(x− x 3) · (1− 3x2) · (1 + x4)− sen(x− x3) · 4x3 (1 + x4)2 = = (1− 3x 2 + x4 − 3x6) cos(x− x3)− (4x3) sen(x− x3) 1 + 2x4 + x8 Questão 4 [2 pontos] Seja y = f(x) uma função derivável definida implicitamente pela equação 2x − xy2 + 3y − 8 = 0. Se r é a reta tangente ao gráfico de f no ponto P = (−1, 2), determine: (a) [1,5 pontos] o coeficiente angular de r; (b) [0,5 pontos] a equação de r. Solução: (a) Derivando implicitamente, obtemos: 2− y2 − 2xy dy dx + 3 dy dx = 0 ⇒ dy dx = y 2 − 2 3− 2xy . Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
