Baixe CÁCULO 1 GABARITO PROVAS CEDERJ e outras Exercícios em PDF para Cálculo, somente na Docsity! Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro GABARITO APX1 – CÁLCULO I Código da Disciplina: EAD 1005 Questão 1 [3 pontos] Considere a função f : R− {−1} → R definida por: f(x) = x+ 1 −2 + √ x2 + 3 , se x < −1 (6x+ 1) sen(x2 − 1) x5 − x3 , se −1 < x < 0 x3 − x2 − √ 5x√ 2x4 − x3 + 4 , se x ≥ 0 Calcule, se existirem, os seguintes limites e justifique o(s) caso(s) que não exista(m): (a) [1 ponto] lim x→−1− f(x) (b) [1 ponto] lim x→−1+ f(x) (c) [0.5 pontos] lim x→−1 f(x) (d) [0.5 pontos] lim x→+∞ f(x) Solução: (a) lim x→−1− f(x) = lim x→−1− x+ 1 −2 + √ x2 + 3 = lim x→−1− [ x+ 1 −2 + √ x2 + 3 · 2 + √ x2 + 3 2 + √ x2 + 3 ] = = lim x→−1− (x+ 1)(2 + √ x2 + 3) (x2 + 3)− 4 = limx→−1− (x+ 1)(2 + √ x2 + 3) x2 − 1 = = lim x→−1− (x+ 1)(2 + √ x2 + 3) (x+ 1)(x− 1) = limx→−1− 2 + √ x2 + 3 x− 1 = 4 −2 = −2. ! (b) lim x→−1+ f(x) = lim x→−1+ (6x+ 1) sen(x2 − 1) x5 − x3 = = lim x→−1+ (6x+ 1) sen(x2 − 1) x3(x2 − 1) = limx→−1+ 6x+ 1 x3 · sen(x 2 − 1) x2 − 1 = = lim x→−1+ 6x+ 1 x3 · lim x→−1+ sen(x2 − 1) x2 − 1 1 = 5. ! (c) Não existe lim x→−1 f(x) pois lim x→−1− f(x) = −2 6= 5 = lim x→−1+ f(x). ! (d) lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ x3 − x2 − √ 5x√ 2x4 − x3 + 4 = lim x→+∞ x 3 √ 2x41 = lim x→+∞ 1√ 2x = 0. ! Questão 2 [2.5 pontos] Calcule a derivada das seguintes funções: (a) [1.25 pontos] f(x) = (x3 − 5)2 sen(4x), x ∈ R. CÁLCULO I APX1 1/2020 (b) [1.25 pontos] g(x) = 2 + e 1−x2 (x− 1)4 , x ∈ R− {1}. Solução: (a) f ′(x) = [(x3 − 5)2]′ · sen(4x) + (x3 − 5)2 · [sen(4x)]′ = = [2(x3 − 5) · (x3 − 5)′] · sen(4x) + (x3 − 5)2 · [cos(4x) · (4x)′] = = [2(x3 − 5) · (3x2)] · sen(4x) + (x3 − 5)2 · [cos(4x) · (4)] = = 6x2(x3 − 5) sen(4x) + 4(x3 − 5)2 cos(4x) ! (b) g′(x) = [2 + e 1−x2 ]′ · (x− 1)4 − (2 + e1−x2) · [(x− 1)4]′ [(x− 1)4]2 = = [e 1−x2 · (1− x2)′] · (x− 1)4 − (2 + e1−x2) · [4(x− 1)3 · (x− 1)′] (x− 1)8 = = [e 1−x2 · (−2x)] · (x− 1)4 − (2 + e1−x2) · [4(x− 1)3 · 1] (x− 1)8 = = −2x e 1−x2(x− 1)4 − 4(2 + e1−x2)(x− 1)3 (x− 1)8 ! Questão 3 [2.5 pontos] Sejam α, β ∈ R e y = f(x) uma função derivável definida implicitamente pela equação 2x3 − x2 − 2βy + αxy = −1. Sabendo que −4 é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P = (−1, 4), determine α e β. Solução: Como o ponto P = (−1, 4) pertence ao gráfico de f , segue que: 2(−1)3 − (−1)2 − 2β(4) + α(−1)(4) = −1 =⇒ −4α− 8β = 2 . (1) Derivando implicitamente a equação dada, obtemos: 6x2 − 2x− 2β dy dx + αy + αx dy dx = 0 =⇒ dy dx = −6x 2 + 2x− αy −2β + αx . Sabendo que −4 é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P = (−1, 4), temos que: −4 = dy dx ∣∣∣∣ x=−1 = −6(−1) 2 + 2(−1)− α(4) −2β + α(−1) = −8− 4α −2β − α =⇒ α + β = −1 (2) Das equações (1) e (2), conclúımos que α = −32 e β = 1 2 .! Questão 4 [2 pontos] Em uma determinada usina de minério, o cascalho está sendo armazenado em uma pilha cônica cujo volume aumenta a uma taxa de 3 m3/min. Sabendo que o raio da base da pilha é sempre igual à Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
