CÁCULO 1 GABARITO PROVAS CEDERJ, Exercícios de Cálculo

Baixe CÁCULO 1 GABARITO PROVAS CEDERJ e outras Exercícios em PDF para Cálculo, somente na Docsity! EP8 - Revisão Cálculo I EP8 - REVISÃO - CÁLCULO I Nessa semana, vocês deverão revisar todas as aulas estudadas até aqui: da aula 1 (“Um curso para quem quer viver no limite!”) até a aula 15 (“Exerćıcios Resolvidos”) e a Aula Postada. Assim, os conceitos que vocês deverão revisar nessa semana são:  Limites: noções básicas e propriedades;  Limites laterais;  Limites trigonométricos (especialmente o Limite Trigonométrico Fundamental);  Limites infinitos e limites no infinito, asśıntotas verticais e asśıntotas horizontais, esboço de gráficos;  Funções cont́ınuas;  Derivadas: definição, interpretação geométrica e regras de de- rivação (especialmente a Regra da Cadeia);  A relação entre continuidade e derivabilidade;  Derivação impĺıcita;  Velocidade e aceleração. Taxa de variação. ATENÇÃO!!! Não esqueçam de revisar TODOS os EPs já estudados até aqui!!! BONS ESTUDOS!!! 1. Calcule os seguintes limites de funções: (a) lim x→3 2x2 − 4x− 6 x2 − 7x+ 12 (b) lim x→−1 x+ 1 −2 + √ x2 + 3 (c) lim x→2π 1− cosx (x− 2π)2 (d) lim x→−4 (2x− 1) sen(x+ 4) x2 + 3x− 4 (e) lim x→−2+ x2 + 5x− 3 x+ 2 (f) lim x→1− x2 − x+ 4 (x− 1)2 (g) lim x→+∞ 6x2 − x− 1 2− x2 (h) lim x→−∞ 5x4 − 4x+ 6 2x2 − 1 2. Considere a função f definida por: f(x) =  |x− 2| x− 2 , se x > 2 x2 + 2, se x ≤ 2 . Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 1 Professor Mário Olivero (UFF) EP8 - Revisão Cálculo I Calcule lim x→2+ f(x) e lim x→2− f(x). O que você pode concluir do lim x→2 f(x)? 3. Considere a função f : R→ R definida por: f(x) =  4 5 √ x2 cos(2 5 √ x)− 1 , se x < 0 √ 2, se x = 0√√ x2 + 4 − 2 x2 , se x > 0 . Calcule, se existirem, lim x→0− f(x), lim x→0+ f(x) e lim x→0 f(x). 4. Considere a função f : R→ R definida por: f(x) =  √ x2 + 4− 2 x2 , se x < 0 1− cosx x2 , se x > 0 1 2 , se x = 0 . Calcule, se existirem, os limites: lim x→0− f(x), lim x→0+ f(x) e lim x→0 f(x). 5. Considere a função f : R→ R definida por: f(x) =  (6x+ 1) sen(x2 − 1) x5 − x3 , se x < −1 |4− x2|+ 1 x2 − 9 , se −1 ≤ x ≤ 2 x2 + 2x− 8 x2 − x− 2 , se x > 2 . Calcule, se existirem, os limites: lim x→−1− f(x), lim x→2+ f(x) e lim x→+∞ f(x). 6. Determine as asśıntotas verticais e as asśıntotas horizontais, caso existam, do gráfico da função f(x) = 4 x− 5 , fazendo um estudo completo dos limites infinitos e no infinito. 7. Considere a função f(x) = 4x√ x2 − 9 . (a) Determine o doḿınio de f ; (b) Encontre as asśıntotas horizontais e as asśıntotas verticais, caso existam, do gráfico de f , fazendo um estudo completo dos limites infinitos e no infinito; Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 2 Professor Mário Olivero (UFF) EP8 - Revisão Cálculo I Determine os valores de a e b para que f seja: (a) cont́ınua; (b) diferenciável. 19. Sejam f e g funções diferenciáveis e tais que f ′(x) = 2x−1 e (f ◦ g)(x) = (x3−1) sen(4x). Determine g′(x). 20. Sejam f e g funções diferenciáveis e tais que f(x) = g(ex 2 − x) x2 + 1 . Sabendo que g′(1) = 15, determine f ′(0). 21. Se y = f(x) é uma função derivável definida implicitamente pela equação sen(x + y) = 2x− 2y, determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto P = (π, π). 22. Determine a equação da reta tangente à curva y2 − 4xy + x2 = 6 no ponto (−1, 1). 23. Seja y = f(x), x ∈ R, uma função derivável definida implicitamente pela equação ex+y sen(x2 − y2) = xy + y. Se r é a reta tangente ao gráfico de f no ponto P = (−1, 1), determine: (a) o coeficiente angular de r; (b) a equação de r. 24. Se a função diferenciável y = f(x) é tal que, para todo x ∈ D(f), a equação abaixo é verificada, deteremine f ′(x): (a) f(x)2 + 4x sen(f(x))− cos2(x) = 5 (b) 5x2 − 4e(f(x)) + x(f(x))2 − sen(x+ f(x)) = −1 25. Suponha que α e β são constantes reais e que cada equação abaixo define implicitamente uma função derivável y = f(x). Suponha, ainda, que m é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P considerado. Nestas consdições, determine α e β: (a) 2x3 − x2 − 2βy + αxy = −1, m = −4 e P = (−1, 4) (b) x2 − α y2 + β cos(4x)− xy + 16 = 0, m = −1 6 e P = (0,−2) 26. Seja y = f(x), y < 0, uma função derivável definida implicitamente pela equação x5 + 12x2y2 − 3y4 + 1 = 0. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P de abscissa −1. 27. Um ćırculo se expande de tal modo que o comprimento do seu raio varia à razão de 2 cm/s. Determine a taxa de variação de sua área no instante em que o comprimento do seu raio é 10 cm/s. 28. Um importador de café brasileiro estima que os consumidores locais comprarão aproxima- damente D(p) = 4374 p2 quilos de café por semana, quando o preço do café brasileiro for de p dólares por quilo. Estima-se, também, que daqui a t semanas o preço do café brasileiro importado será p(t) = 0, 02 t2 + 0, 1 t + 6 dólares por quilo. Determine qual será a taxa de variação da demanda semanal de café daqui a 10 semanas. A demanda estará aumentando ou diminuindo nesta ocasião? Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 5 Professor Mário Olivero (UFF) EP8 - Revisão Cálculo I 29. Uma torneira enche um tanque de modo que seu volume, em litros, no instante t, em segundos, é dado pela equação: V (t) = 100 √ t+ 1− 100. Determine a taxa de variação do volume do tanque 8 segundos após a torneira estar aberta. 30. Em uma determinada usina de minério, o cascalho está sendo armazenado em uma pilha cônica que aumenta a uma taxa de 3m3/min. Sabendo que o raio da base é sempre igual à altura da pilha, determine a taxa de variação da altura quando esta é igual a 3m. (Lembre-se: o volume do cone de raio r e altura h é dado pela fórmula V = π r2 h 3 ) . Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 6 Professor Mário Olivero (UFF) EP8 - Revisão Cálculo I Desejamos que estes exerćıcios sirvam de est́ımulo para uma ativa e produtiva seção de trabalho. Procurem os mediadores pedagógicos mesmo que tudo esteja correndo bem com os seus estudos individu- ais. Lembrem-se: dividir informações, trocar ideias e compartilhar conhecimento é fundamental para o progresso de todos. E não es- queçam: nós queremos o seu sucesso! Estamos aqui na torcida! Cristiane e Mário Coordenadores de Cálculo I BONS ESTUDOS A TODOS!!! Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 7 Professor Mário Olivero (UFF)