Baixe CÁCULO 1 GABARITO PROVAS CEDERJ e outras Exercícios em PDF para Cálculo, somente na Docsity! Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro GABARITO AP1 – CÁLCULO 1 – 31/03/2019 Código da Disciplina: EAD 1005 Questão 1 [3 pontos] Considere a função f : R→ R definida por: f(x) = x5 − √ 3x4 + x2 2x3 − x+ √ 7 , se x < −2 2− 2 cos(x− 4) (x− 4)2 , se −2 < x < 4 x2 − 3x− 4 x3 − x2 − 2x, se x > 4 Calcule, se existirem, os limites: lim x→−∞ f(x), lim x→+∞ f(x) e lim x→4 f(x). Justifique o(s) caso(s) que não exista(m). Solução: Temos que: ¶ lim x→−∞ f(x) = lim x→−∞ x5 − √ 3x4 + x2 2x3 − x+ √ 7 = lim x→−∞ x5 2x3 = limx→−∞ x2 2 = +∞; ! · lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ x2 − 3x− 4 x3 − x2 − 2x = limx→+∞ x2 x3 = lim x→+∞ 1 x = 0; ! O limite lim x→4 f(x) existe se, e somente, se os limites laterais lim x→4+ f(x) e lim x→4− f(x) existem e são iguais. Neste caso, lim x→4 f(x) = lim x→4+ f(x) = lim x→4− f(x). Precisamos, então, calcular os limites laterais lim x→4+ f(x) e lim x→4− f(x): ¸ lim x→4− f(x) = lim x→4− 2− 2 cos(x− 4) (x− 4)2 = limx→4− [ 2− 2 cos(x− 4) (x− 4)2 · 2 + 2 cos(x− 4) 2 + 2 cos(x− 4) ] = = lim x→4− 4− 4 cos2(x− 4) (x− 4)2[2 + 2 cos(x− 4)] = limx→4− 4 sen2(x− 4) (x− 4)2[2 + 2 cos(x− 4)] = = [ lim x→4− 4 2 + 2 cos(x− 4) ] 1 · [ lim x→4− sen2(x− 4) (x− 4)2 ] 1 = 1 ! ¹ lim x→4+ f(x) = lim x→4+ x2 − 3x− 4 x3 − x2 − 2x = 0 40 = 0 ! Como lim x→4+ f(x) 6= lim x→4− f(x), conclúımos que não existe lim x→4 f(x). ! Questão 2 [2 pontos] Sejam a, b ∈ R e f : R→ R a função definida por: f(x) = { x2 − 2x+ 1, se x ≤ −1 ax+ b, se x > −1 Determine os valores de a e b para que a função f seja diferenciável em R. CÁLCULO 1 AP1 1/2019 Solução: Para que f seja diferenciável em R, é necessário, primeiramente, que f seja cont́ınua em R, ou seja, f tem que ser cont́ınua em −1. Neste caso, devemos ter: lim x→−1 f(x) = f(−1) ⇒ lim x→−1+ f(x) = lim x→−1− f(x) = f(−1). Temos que: ¶ f(−1) = 4 · lim x→−1+ f(x) = lim x→−1+ ax+ b = −a+ b ¸ lim x→−1− f(x) = lim x→1− x2 − 2x+ 1 = 4 De ¶=·=¸, obtemos a equação −a + b = 4. Logo, para que f seja cont́ınua em −1, devemos ter −a + b = 4. Por outro lado, para que f seja diferenciável em R, f deve ser diferenciável em x = −1, ou seja: f ′(−1) = f ′−(−1) = f ′+(−1). Como f ′+(−1) = a e f ′−(−1) = −4, segue que a = −4. Dáı, da equação −a+ b = 4 obtida acima, segue que b = 0. ! Questão 3 [2 pontos] Calcule a derivada das seguintes funções: (a)[1 ponto] f(x) = (x5 − x) cos(x3 + 1), x ∈ R. (b)[1 ponto] g(x) = x− e x2 (x+ 1)4 , x ∈ R− {−1}. Solução: (a) f ′(x) = (x5 − x)′ · cos(x3 + 1) + (x5 − x) · [cos(x3 + 1)]′ = = (5x4 − 1) · cos(x3 + 1) + (x5 − x) · [− sen(x3 + 1)] · (x3 + 1)′ = = (5x4 − 1) · cos(x3 + 1) + (x5 − x) · [− sen(x3 + 1)] · (3x2) = = (5x4 − 1) cos(x3 + 1)− (3x2)(x5 − x) sen(x3 + 1) ! (b) g′(x) = (x− e x2)′ · (x+ 1)4 − (x− ex2) · [(x+ 1)4]′ [(x+ 1)4]2 = = (1− e x2 · (x2)′) · (x+ 1)4 − (x− ex2) · [4(x+ 1)3] · (x+ 1)′ (x+ 1)8 = = (1− 2x e x2)(x+ 1)4 − 4(x− ex2)(x+ 1)3 (x+ 1)8 = (x+ 1)3 [ (1− 2x ex2)(x+ 1)− 4(x− ex2) ] (x+ 1)8 = = (x+ 1)3 [ (1− 2x ex2)(x+ 1)− 4(x− ex2) ] (x+ 1)85 = (1− 2x e x2)(x+ 1)− 4(x− ex2) (x+ 1)5 ! Questão 4 [1 ponto] Se f(x) = x2−4 sen(x)+1, x ∈ R, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P = (0, 1). Solução: Temos que f ′(x) = 2x − 4 cos(x), para todo x ∈ R. Logo, f ′(0) = −4 é o coeficiente angular da reta tangente. Assim, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P = (0, 1) é dada por: Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
