caderno calculoi, Notas de estudo de Matemática

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Cálculo I

Carmem S. Comitre Gimenez

Rubens Starke

MATEMÁTICA

Graduação

2ª Edição Florianópolis, 2011

Cálculo I

Carmem S. Comitre Gimenez

Rubens Starke

Governo Federal

Presidente da República: Dilma Vana Rousseff Ministro de Educação: Fernando Haddad Secretário de Ensino a Distância: Carlos Eduardo Bielschowky Coordenador Universidade Aberta do Brasil: Celso José da Costa

Universidade Federal de Santa Catarina

Reitor: Alvaro Toubes Prata Vice-Reitor: Carlos Alberto Justo da Silva Secretário de Educação a Distância: Cícero Barbosa Pró-Reitora de Ensino de Graduação: Yara Maria Rauh Müller Pró-Reitora de Pesquisa e Extensão : Débora Peres Menezes Pró-Reitor de Pós-Graduação: Maria Lúcia de Barros Camargo Pró-Reitor de Desenvolvimento Humano e Social: Luiz Henrique Vieira Silva Pró-Reitor de Infra-Estrutura: João Batista Furtuoso Pró-Reitor de Assuntos Estudantis: Cláudio José Amante Centro de Ciências da Educação: Wilson Schmidt Centro de Ciências Físicas e Matemáticas: Tarciso Antônio Grandi Centro de Filosofia e Ciências Humanas: Roselane Neckel

Curso de Licenciatura em Matemática na

Modalidade à Distância

Coordenação de Curso: Neri Terezinha Both Carvalho Coordenação de Tutoria: Jane Crippa Coordenação Pedagógica/CED: Roseli Zen Cerny Coordenação de Ambientes Virtuais/CFM: Nereu Estanislau Burin

Comissão Editorial

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Laboratório de Novas Tecnologias - LANTEC/CED

Coordenação Pedagógica Coordenação Geral: Andrea Lapa, Roseli Zen Cerny Núcleo de Formação : Nilza Godoy Gomes, Marina Bazzo de Espíndola Núcleo de Pesquisa e Avaliação: Daniela Karine Ramos

Núcleo de Criação e Desenvolvimento de Materiais Design Gráfico Coordenação: Laura Martins Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira Projeto Gráfico Original: Diogo Henrique Ropelato, Marta Cristina Goulart Braga, Natal Anacleto Chicca Junior Redesenho do Projeto Gráfico: Laura Martins Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira Diagramação: Karina Silveira, Thiago Felipe Victorino, Kallani Maciel Bonelli, Laura Martins Rodrigues Ilustrações: Gabriela Dal Toé Fortuna, Flaviza Righeto, Karina Silveira, Rafael de Queiroz Oliveira, Kallani Maciel Bonelli Capa: Alexandre dos Santos Oliveira Design Instrucional Coordenação: Elizandro Maurício Brick Design Instrucional: Gislaine Teixeira Borges Guérios Revisão do Design Instrucional: Dyan Carlo Pamplona, Maria Carolina Machado Magnus, Jaqueline Luiza Horbach Revisão Gramatical: Mirna Saidy, Renata de Almeida

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Ficha Catalográfica

G491c Gimenez, Carmem Suzane Comitre Cálculo I / Carmem Suzane Comitre Gimenez, Rubens Starke. —

2. ed. — Florianópolis : UFSC/EAD/CED/CFM, 2011. 275 p. : il. ; grafs. , tabs. Inclui bibliografia UFSC. Licenciatura em Matemática na Modalidade a Distância ISBN 978-85-8030-012-
3. Cálculo. 2. Sequências (Matemática). 3. Ensino a distância. I. Starke, Rubens. II. Título. CDU: 517. Catalogação na fonte pela Biblioteca Universitária da UFSC

• Apresentação
• 1. Sequências
  • 1.1 Progressões aritméticas
    • 1.1.1 Soma dos termos de uma P.A. ...........................................
  • 1.2 Progressões geométricas
    • 1.2.1 Soma dos termos de uma P.G.
  • 1.3 Sequências infinitas
    • 1.3.1 Subsequências
    • 1.3.2 Sequências limitadas
    • 1.3.3 Sequências monótonas
    • 1.3.4 Limite de uma sequência
    • 1.3.5 Limites infinitos
    • 1.3.6 Algumas propriedades dos limites infinitos..................
    • 1.3.7 Indeterminação
• 2. Limite de uma Função
  • 2.1 Conceito de limite
  • 2.2 Propriedades do limite
    • 2.2.1 Operações com limites
  • 2.3 Definição formal de limite
  • 2.4 Indeterminação...........................................................................
  • 2.5 Limites laterais
  • 2.6 Limites no infinito......................................................................
    • 2.6.1 Cálculo de limites no infinito
  • 2.7 Limites infinitos
  • 2.8 Limites fundamentais ..............................................................
    • 2.8.1 Primeiro limite fundamental ..........................................
    • 2.8.2 Segundo limite fundamental ..........................................
    • 2.8.3 Terceiro limite fundamental............................................
• 3. Funções Contínuas
  • 3.1 Valores máximos e mínimos de uma função
• 4. Derivada
  • 4.1 Conceito de derivada ................................................................
    • 4.1.1 Reta tangente a uma curva ..............................................
    • 4.1.2 Velocidade instantânea....................................................
  • 4.2 Definição de derivada...............................................................
    • 4.2.1 Derivadas laterais.............................................................
    • 4.2.2 Derivabilidade e continuidade ........................................
  • 4.3 Cálculo das derivadas – regras de derivação ........................
    • 4.3.1 Derivada da função composta – a regra da cadeia .......
    • 4.3.2 Derivada da função inversa ............................................
    • 4.3.3 Derivada da função exponencial ....................................
    • 4.3.4 Derivada da função logarítmica
    • 4.3.5 Derivada das funções trigonométricas ..........................
    • 4.3.6 Derivada das funções trigonométricas inversas...........
  • 4.4 Derivada de funções implícitas
    • 4.4.1 Derivada da função exponencial geral..........................
    • 4.4.2 Resumo das fórmulas de derivação...............................
  • 4.5 Derivadas sucessivas (ou de ordem superior)
• 5. Aplicações da Derivada
  • 5.1 Taxa de variação
  • 5.2 Taxas relacionadas
  • 5.3 Máximos e mínimos .................................................................
  • 5.4 Extremos absolutos em intervalos fechados .........................
  • 5.5 Funções crescentes e decrescentes
  • 5.6 Extremos relativos – critérios para encontrá-los
  • 5.7 Problemas que envolvem máximos e mínimos
  • 5.8 Concavidade e pontos de inflexão
  • 5.9 Assíntotas verticais e horizontais
  • 5.10 Esboço de gráficos
  • 5.11 Regra de L’Hospital
  • 5.12 Fórmula de Taylor
• Referências

Apresentação

Esta disciplina, Cálculo I, continua uma jornada que começou com as disciplinas Fundamentos de Matemática I e Introdução ao Cálculo (estudo dos conjuntos numéricos e funções). As discipli- nas de Cálculo, mais precisamente Cálculo Diferencial e Integral, que se iniciam com o Cálculo I têm como objetivo estudar o com- portamento das funções, fazendo uso de conceitos até então não abordados: limites, derivada, continuidade, integral, séries. Estes conceitos foram desenvolvidos no século XVII por dois grandes matemáticos, independentemente: Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). O que Newton e Leib- niz fizeram foi universalizar as regras para lidar com problemas de áreas, taxas de variação, máximos e tangentes, que até então eram tratados para casos particulares de funções.

A disciplina de Cálculo I vai estudar os conceitos de limites, deri- vadas e continuidade. No capítulo 1, estudaremos seqüências (um conceito fundamental em Matemática), como uma introdução ao estudo de limites. Começaremos com as progressões aritméticas e geométricas (já conhecidas) para generalizar a idéia de seqüên- cia infinita e o estudo de sua convergência. O conceito de limite de uma seqüência é o objetivo principal deste capítulo, e de sua compreensão depende o desenvolvimento dos capítulos posterio- res. No capítulo 2, apresentaremos o conceito de limite de uma função, que determina como se comportam os valores (^) f ( ) x de uma função (^) f quando x toma valores arbitrariamente próximos de um determinado ponto x 0 de seu domínio. Esta idéia estará presente ao longo de todas as disciplinas de Cálculo. No capítu- lo 3, será estudada uma classe de funções “bem comportadas”: as funções contínuas. A continuidade confere à função uma es- pecial regularidade de comportamento e seu estudo depende do conceito de limite. Algumas conseqüências da continuidade serão apresentadas, incluindo um teorema essencial para o Cálculo: o Teorema do Valor Intermediário. No capítulo 4, será estudada a derivada de uma função. O conceito de derivada também depen- de do conceito de limite, e está relacionado ao comportamento de uma função. Este capítulo estuda a derivada de uma função de modo geral e o cálculo da derivada das funções elementares, já previamente estudadas em Introdução ao Cálculo.

Capítulo 1

Sequências

Observação. Três termos consecutivos de uma P.A. de razão r po- dem ser representados por x , x+ r, x+ 2 r. No entanto, para resolver certos problemas é conveniente representá-los por x - r, x, x+r.

Exercício resolvido

1. Os lados de um triângulo retângulo formam uma P.A. Saben- do que o perímetro do triângulo vale 24 m, calcule o compri- mento de cada lado.

Resolução. Seja r a razão da progressão. Representando os lados do triângulo por x – r , x, x + r,, temos que:

( ) ( ) 24 3 24

x r x x r x x

A razão não pode ser zero, pois neste caso o triângulo seria equiláte- ro, e não retângulo. Considerando r > 0 , a hipotenusa corresponde a x + r. Pelo Teorema de Pitágoras: 2 2 2 2 2 2 2 2

x r x x r r r r r r r r r

Logo, x – r = 6, x= 8 e x^ +^ r=10. Resposta. Os lados do triângulo medem 6, 8 e 10 metros. (Note que, caso considerássemos r < 0 , obteríamos o mesmo resultado).

A proposição a seguir estabelece uma relação entre um termo de uma P.A. e a sua posição na progressão.

Proposição 1. Seja an um termo de uma P.A. de razão r cujo primei- ro termo é a 1. Então, a (^) n = a 1 +(n - 1 )rpara todo número natural (^) n.

Demonstração. Sabemos que an é o termo da P.A. que ocupa a posi- ção n. Queremos provar que este termo se relaciona com o primeiro termo e com a razão através da igualdade a (^) n = a 1 +( n- 1 )r. De fato, usando a definição de P.A., temos:

a a r.

a a r

a a r

n n 1

3 2

2 1

Somando ambos os lados destas igualdades:

( ) ( ) ( )  ( )  . n 1 vezes

a 2 a 1 a 3 a 2 a 4 a 3 an an 1 r r r

Observe que a 2 , a 3 , ... , an (^) - 1 e seus opostos - a 2 , - a 3 , ... , - an (^) - 1 aparecem como parcelas no membro da esquerda. Como a soma de um número com seu oposto é zero, teremos após a soma: an - a 1 = ( n - 1) r.

Logo, a (^) n = a 1 +(n - 1 )r. ■

Observação. Ao termo an , que ocupa a posição n , chamamos de termo geral da P.A. Assim, a expressão do termo geral da P.A. é dada por a (^) n = a 1 +( n- 1 )r.

Exercícios propostos

1. O primeiro termo de uma P.A. vale^4 3

e a razão 1 9

. Calcule o décimo sexto termo.

2)Sabendo que o primeiro termo de uma P.A. é 4 e o vigésimo primeiro termo é - 4, calcule a razão da progressão.

3)O décimo segundo termo de uma P.A. vale 52, e o vigésimo quinto termo vale 117. Calcule o primeiro termo e a razão.

Exercício resolvido

2. No início do ano, João possuía R$ 400,00 guardados e foi con- templado com uma bolsa de estudos. A partir de janeiro co- meçou a guardar R$ 50,00 por mês. Quantos reais João terá acumulado no final de 2 anos? Resolução. Os valores que João acumula a partir de janeiro formam uma P.A. de razão r = 50. O primeiro termo dessa P.A. corresponde ao valor que ele acumula no primeiro mês, ou seja, a 1 = 400 + 50 = 450. A quantia acumulada no segundo mês corresponde a a 2 e assim su- cessivamente.

Seja r a razão da P.A. Então, a 2 + an (^) - 1 = ( a 1 + r ) + ( an - r ) = a 1 + an + ( r - r )= a 1 + an.

Da mesma forma,

a 3 + an (^) - 2 = ( a 1 + 2 )r + ( an - 2 )r = a 1 + an. De modo geral, se 1 ≤ k≤n, então

ak + an (^) - ( k - 1) = ( a 1 + ( k - 1) ) r + ( an - ( k - 1) ) r = a 1 + an.

Portanto, no membro da direita de (1) somam-se n parcelas, cada uma com soma a 1 + an.

Logo, (1) é equivalente a: 2 S (^) n = n ⋅ ( a 1 +an)

1 2

Sn = n ⋅^ a^ +a^ n  . ■

Exercícios resolvidos

3. Calcule a soma de todos os múltiplos naturais de 6 que pos- suem 3 algarismos em sua representação decimal.

Resolução. A diferença entre dois múltiplos de 6 consecutivos é constante e é 6. Devemos, pois, achar a soma dos termos de uma P.A. finita de razão 6.

Para aplicar a fórmula dada pela Proposição 2, a saber,

1 2

Sn = n ⋅^ a^ +a^ n  

devemos achar a 1 , an e n. Como os números naturais com três algarismos são maiores ou iguais a 100, temos que:

• O menor múltiplo de 6 , maior do que 100 , é 102. Assim, a 1 =^102.
• O maior múltiplo de 6 , menor do que 1000 , é 996. Assim, an = 996.

Pela fórmula do termo geral, a (^) n = a 1 +(n - 1 )r. Então,

n n n n

Logo, (^150)

S

Resposta. A soma pedida é 82350.

4. Calcule a soma dos números naturais menores do que^500 , que na divisão por 5 deixam resto 2.

Resolução. Se um número deixa resto 2 na divisão por 5 , ele é da forma 5 k + 2 , para algum k natural.

O primeiro número que deixa resto 2 na divisão por 5 é 2 , pois 2 = 5 0⋅ + 2.

O último número a ser considerado (menor do que 500 ) é 497 , pois 497 = 495 + 2 , ou seja, 497 = 5 99⋅ + 2.

Portanto, devemos achar a soma dos termos de uma P.A. de razão 5 , cujo primeiro termo é 2 e o último termo é an = 497.

Para achar n , observe que 497 = a 1 + ( n - 1)r.

497 2 ( 1) 5 5 ( 1) 495 1 99

n n n n

Logo, 100 2 497 100 24950 2

S = ^ + ⋅ =

Resposta. A soma pedida é 24950.

Exercícios propostos

4. Calcule a soma dos duzentos primeiros termos da P.A.: (^199) , 198 , 197 , 200 200 200

 ^.

5)Calcule a soma dos números naturais inferiores a mil que não são múltiplos de 7.

2 1 1 2 1 1 2 1

P P

P

P P P

P P

Se P 3 representa a população daquele país daqui a 2 anos, temos:

3 2 2 3 2

P P

P

P P

De maneira análoga conclui-se que se Pk (^) + 1 representa a população daqui a k anos, então Pk (^) + 1 = 1, 02Pk.

Note que os números P 1 , P 2 , P 3 , ... formam uma sequência que obe- dece à seguinte regra:

“O quociente entre dois termos consecutivos é constante.”

De fato, k^1 1, 02, 1 k

P (^) k P

Exemplo 9. Suponha que uma bomba a vácuo retira a cada sucção 3% do líquido existente em uma câmara. Seja L 0 a quantidade ini- cial e L 1 a quantidade de líquido que permanece na câmara após a primeira sucção. Então, 1 0 0 1 0

L L

L

L L

Houve um decréscimo da quantidade de líquido na câmara.

Analogamente, após a n -ésima sucção, a quantidade de líquido na câmara será Ln = 0,97Ln (^) - 1. A sequência L 0 , L 1 , L 2 ,… também obedece

à regra n^1 0, n

L

L

• (^) = (constante), ∀n ≥ 0.

Proposição 3. Uma sequência de números ( P 1 , P 2 , P 3 , ...) tem taxa de crescimento constante i se, e somente se, Pn (^) + 1 = (1 + i P) (^) n , ∀n ≥ 1.

Demonstração. Observe que neste resultado aparece a expressão “se, e somente se,”. Isso significa que devemos provar duas implicações:

1) Se uma sequência de números ( P 1 , P 2 , P 3 , ...) tem taxa de cresci- mento constante i^ , então Pn (^) + 1 = (1 + i P) (^) n , ∀n ≥ 1.

2) Se para uma sequência de números ( P 1 , P 2 , P 3 , ...) tem-se Pn (^) + 1 = (1 + i P) npara todo n ≥ 1 , então essa sequência tem taxa de crescimento constante igual a i^.

(1) Hipótese. A sequência de números ( P 1 , P 2 , P 3 , ...) tem taxa de crescimento constante i.

Tese. Pn (^) + 1 = (1 + i P) (^) n , ∀n ≥ 1. Da Definição 2 decorre:

1

1 1 (1^ )

n n n n n n n n

P P (^) i P P P iP P i P

(2) Hipótese. Pn (^) + 1 = (1 + i P) (^) n , ∀n ≥ 1.

Tese. A sequência de números ( P 1 , P 2 , P 3 , ...) tem taxa de crescimen- to constante i.

Por definição, a taxa de crescimento é dada por:

n 1 n (1^ )^ n n (1^ 1) n n n n

P P i P P i P i P P P

• -^ = +^ -^ = +^ - = , portanto, constante.

■

Tarefa. Volte agora aos Exemplos 8 e 9 e verifique a validade da Proposição 3.

Definição 3. Uma progressão geométrica (P.G.) é uma sequência P 1 , P 2 , P 3 , ... de números reais satisfazendo: Pn (^) + 1 = qPn, para todo n ≥ 1 , sendo q uma constante chamada razão.

Observações:

1. De acordo com a Proposição 3, toda sequência com taxa de crescimento constante i é uma P.G. de razão 1 + i e toda P.G. de razão q tem taxa de crescimento constante igual a q - 1.