Elementos - de - Análise, Notas de estudo de Matemática

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Elementos de Análise

Mirian Buss Gonçalves

Daniel Gonçalves

Florianópolis, 2009

Laboratório de Novas Tecnologias - LANTEC/CED

Coordenação Pedagógica Coordenação Geral: Andrea Lapa, Roseli Zen Cerny Núcleo de Formação : Nilza Godoy Gomes Núcleo de Pesquisa e Avaliação: Claudia Regina Flores

Núcleo de Criação e Desenvolvimento de Materiais Design Gráfico Coordenação: Laura Martins Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira Projeto Gráfico: Diogo Henrique Ropelato, Marta Cristina Goulart Braga, Natal Anacleto Chicca Junior Diagramação: Kallani Bonelli, Thiago Rocha Oliveira, Laura Martins Rodrigues, Natália de Gouvêa Silva Ilustrações: Kallani Bonelli, Cristiane Amaral Design Instrucional Coordenação: Juliana Machado Design Instrucional: Daynitti Ventura de Jesus

Revisão Gramatical: Christiane Maria Nunes de Souza, Marcos Eroni Pires

Copyright © 2009, Universidade Federal de Santa Catarina / Consórcio RediSul Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Coordenação Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade à Distância.

Ficha Catalográfica

G635e Gonçalves, Mirian Buss Elementos de análise / Mirian Buss Gonçalves, Daniel Gonçal- ves. - Florianópolis : UFSC/EAD/CED/CFM, 2009. 158p. ISBN 978-85-99379-66-

1. Elementos de análise. I. Gonçalves, Daniel. II. Título. CDU 517

Elaborada pela Bibliotecária Eleonora M. F. Vieira – CRB – 14/

Sumário

 - n ��������������������������������������������������� 1 Noções Topológicas em  

• 1.1 O espaço Euclidiano  n
• 1.2 Espaços Métricos
• 1.3 Métricas em  n
• 1.4 Um Exemplo de Métrica num Conjunto de Funções
• 1.5 Métrica Induzida
• 1.6 Diâmetro de um Conjunto; Distâncias entre Conjuntos
• 1.7 Bolas Abertas
• 1.8 Conjuntos Abertos
• 1.9 Conjuntos Fechados
• 1.10 Pontos de Acumulação.............................................................
• 1.11 Fecho de um Conjunto
• 2 Convergência........................................................................
  • 2.1 Sequências de Números Reais..................................................
  • 2.2 Sequências em um Espaço Métrico
  • 2.3 Limite de uma Sequência..........................................................
  • 2.4 Subsequências.............................................................................
  • 2.5 Sequências Limitadas - através de Sequências 2.6 Caracterização dos Conceitos do Capítulo 1,
  • 2.7 Alguns Resultados Interessantes em ...................................
    • 2.7.1 O Conjunto de Cantor
    • 2.7.2 Princípio dos Intervalos Encaixados
    • 2.7.3 Outra Versão do Teorema de Bolzano-Weierstrass
  • 2.8 Sequências de Cauchy
  • 2.9 Espaços Métricos Completos
• 3 Continuidade........................................................................
  • 3.1 Funções Contínuas
  • 3.2 Conjuntos Compactos
  • 3.3 Continuidade Uniforme
  • 3.4 Conjuntos Conexos
  • 3.5 Teorema do Valor Intermediário
• Respostas dos Exercícios
• Referências

Apresentação

Caro Leitor,

Seja bem-vindo ao estudo de Análise Matemática.

Provavelmente esta é uma das últimas disciplinas que faltam para você se graduar em Matemática. Os conteúdos apresentados neste livro aprofundam o seu conhecimento anterior e têm como principal finalidade ampliar sua intuição matemática e seu racio- cínio lógico.

Para isso, você será introduzido na linguagem formal da Ma- temática, onde os conceitos, proposições etc. são tratados com formalismo e rigor. No entanto, a linguagem matemática clara e precisa que vamos usar não será carregada em demasia, de forma a não prejudicar o desenvolvimento das ideias e o próprio aprendizado.

Sem descuidar do rigor matemático, procuramos apresentar os conteúdos de uma maneira envolvente, de forma a lhe propiciar uma aprendizagem autônoma e agradável. Caberá a você a busca do entendimento dos conceitos, das demonstrações, bem como a resolução dos exercícios propostos.

Os conceitos explorados são: noções básicas de topologia em espa- ços métricos, com ênfase para os espaços Euclidianos; convergên- cia de sequências em espaços métricos, explorando alguns resul- tados relevantes em  ; continuidade, destacando-se os teoremas mais importantes utilizados no estudo de Cálculo.

A fim de tornar a notação utilizada mais leve e simples, inicial- mente apresentamos os conceitos no contexto de um espaço mé- trico geral. No entanto, no decorrer de todo o texto, a maior parte dos exemplos e aplicações é desenvolvida nos espaços Euclidia- nos  n , n = 1, 2,3.

Mesmo que os conteúdos possam lhe parecer difíceis em alguns momentos, enfrente o desafio. Estude com afinco e dedicação.

Acreditamos que esta disciplina vai lhe proporcionar uma visão mais abrangente da Matemática, lhe abrindo horizontes como pro- fessor desta bela e desafiadora área do conhecimento humano.

Se você gostar do estudo de Análise, você é um forte candidato a seguir uma carreira acadêmica em Matemática, cursando um mestrado e, quiçá, um doutorado.

Quando finalizar a disciplina, guarde seu livro, pois ele ainda poderá lhe ser útil em seu caminho profissional.

Mirian Buss Gonçalves

Daniel Gonçalves

1 Noções Topológicas em^ 

n

Neste capítulo você vai adquirir conhecimentos básicos de

Topologia no  n , com ênfase para n = 1, 2,3. Isso oportu-

nizará a você uma visão mais ampla e mais fundamentada

das disciplinas do ensino médio, quando lecioná-las.

Em particular, vamos explorar o conceito de métrica , que

nos permite medir distâncias, tais como distância entre

dois pontos e distância entre conjuntos. Veremos também

as noções de conjunto aberto, conjunto fechado, inte-

rior, fecho e fronteira de um conjunto.

Antes de iniciar o capítulo, vejamos o que Cantor e Hilbert afir- maram sobre o estudo de conjuntos:

“Por ‘conjunto’ entendemos a entidade formada quando colocamos certos objetos, definidos e distintos m, da nossa intuição ou pensa- mento. Estes objetos são chamados os ‘elementos de M’”. (G. Cantor, 1895, Werke, p. 282, apud [6, Hairer-Wanner])

“Ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor criou para nós”. (Hilbert, Math. Ann, vol 95, p. 170, apud [6, Hairer-Wanner])

Embarcaremos agora no paraíso criado por Cantor, munidos principalmente de nossa intuição geométrica, a qual será nossa guia durante toda esta unidade. Não esqueça que durante o seu estudo é de extrema importância que você resolva os exercícios propostos neste livro, utilizando uma linguagem matemática cla- ra e precisa.

1.1 O espaço Euclidiano 

n

“[...] É muito util considerar números “complexos”, ou números for- mados por várias unidades [...]” (Peano, 1888a, Math. Ann., vol. 32, p.450, apud [6, Hairer-Wanner])

Definição 1.1. Uma norma em  n é uma função || ||:  n^ → tal que para quaisquer x y , ∈  n e  ∈  , valem as seguintes proprie- dades:

N 1:|| x || ≥ 0 e || x || = 0 ⇔ x =0;

N 2 :||  x || |= ||| x ||;

N 3 :|| x + y || ||≤ x || +|| y ||.

A norma de  n que mais vamos utilizar é a norma Euclidiana, dada por || ||:  n^ →

2 2 2 x = ( x 1 (^) , x 2 (^) ,  , xn ) →|| x ||= x 1 (^) + x 2 +  + xn.

Observação. Veremos que outras normas podem ser definidas em  n. Sempre que não fizermos uma referência explícita à nor- ma, estaremos subentendendo que a norma usada é a norma Eu- clidiana.

No nosso estudo, de forma geral, vamos trabalhar nos espaços ^ n , n = 1, 2,3. Isso nos permite visualizar geometricamente os conceitos que vamos explorar.

Exemplo 1.1. Identifique, no espaço ^1 , o conjunto X = { x ∈ ^1 / || x || <1}.

Observe que o espaço ^1 nada mais é que o conjunto dos núme- ros reais, que identificamos geometricamente com a reta real. Temos || x || |= x | < 1 ⇔ − 1 < x < 1. Portanto, X é o intervalo aberto ( 1,1)− , representado na figura 1.1.

• 1 0 1 x

Figura 1.

Exemplo 1.2. Identifique no espaço  2 o conjunto S = { x = ( x 1 (^) , x 2 )/ || x ||< 1}.

Geometricamente o espaço  2 é o plano cartesiano  ×. Se ne- cessário, reveja a seção 3.7 do livro texto de Introdução ao Cálculo.

Temos || x || = x 1^2 + x 2^2 < 1 ⇔ x 12 (^) + x^22 < 1.

Portanto, S é o conjunto dos pontos interiores à circunferência de centro em (0,0) e raio 1, ilustrada na figura 1.2.

x 2

1^ x 1

Figura 1.

Exemplo 1.3. Identifique no espaço  3 o conjunto S = { x = ( x 1 (^) , x 2 (^) , x 3 )/ || x || = 1}.

^3 é o espaço cartesiano  ×  × , que você utilizou no estudo da Geometria Analítica e no Cálculo para representar figuras geo- métricas espaciais como cubos, esferas e outras superfícies.

Temos || x || = x 1^2 + x 2^2 + x^23 (^) = 1 ⇔ x 12 (^) + x 22 (^) + x 32 = 1.

Assim, neste caso, S é o conjunto dos pontos de uma esfera de centro na origem (0,0,0) e raio 1, como mostra a figura 1.3.

x 3

1^ x 2

x 1

Figura 1.

Definição 1.2. Seja M um conjunto. Uma métrica em M é uma fun- ção d : M × M →  , onde M × M é o produto cartesiano de M por M : M × M = {( x 1 (^) , x 2 (^) ) / x 1 (^) , x 2 ∈ M },tal que para quaisquer x y z , , ∈ M , temos:

M 1: d x y ( , ) ≥ 0 e d x y ( , ) = 0 ⇔ x = y ; M 2: d x y ( , ) = d y x ( , );

M 3: d x z ( , ) ≤ d x y ( , ) + d y z ( , ).

O par ( M d , ), onde M é um conjunto e d uma métrica, é chama- do um espaço métrico.

Exemplo 1.4. M =  ,.

A partir das propriedades dos números reais podemos verificar fa- cilmente que d é uma métrica em .

Temos:

M 1: d x y ( , ) =| y − x |≥ 0

d x y ( , ) = 0 ⇔| y − x | = 0 ⇔ y − x = 0 ⇔ x = y ;

M 2: d x y ( , ) = d y x ( , ), pois | y − x | |= x − y |;

M 3 :3:^ ( , )^ |^ |

M d x z z x z y y x z y y x y x z y d x y d y z

Exemplo 1.5. Seja M ≠ ∅ qualquer. A função

0, se ( , ) 1, se

x y d x y x y

^ =

satisfaz as propriedades de métrica, sendo denominada métrica trivial ou métrica 0 − 1. Qual a deficiência que você identifica nesta métrica?

Ela não diferencia a distância entre pontos distintos. Por exemplo, se M =  , d (4,9) = 1 , d (5,7) = 1 , etc.

Essa é a métrica que você utilizou nas disciplinas de Cálculo, quando estudou, por exemplo, limite de sequências. Se necessário, reveja a seção 1.3.4 do texto de Cálculo I [5, Gimenez-Starke].

Exercício Resolvido

1. A função d x y ( , ) = x^2 + 2 xy é métrica em ? Justifique.

Resolução: Note que d não é uma métrica em  , pois não satisfaz a proprie- dade M 1. Por exemplo, d (1, −3) = − 5 < 0.

1.3 Métricas em 

n

Sejam x = ( x 1 (^) , x 2 , , xn )e y = ( y 1 (^) , y 2 , , yn )pontos de  n.

As métricas usualmente utilizadas no espaço  n são:

i) Métrica Euclidiana

d :  n^ ×  n →

2 2 2 d x y ( , ) = ( y 1 (^) − x 1 (^) ) + ( y 2 (^) − x 2 ) +  + ( yn − xn ).

Nota. Observe que para esta métrica, a distância de x até y é dada pela norma euclidiana de x − y , isto é, d x y ( , ) =|| x − y ||.

ii)Métrica Retangular ou de Ângulo Reto

1 1 1 1 2 2

n n

n n

d d x y y x y x y x

× →

iii)Métrica do Máximo

2 2 1 1 2 2

( , ) max{| |,| |, ,| |}.

n n

n n

d d x y y x y x y x

× →

Observações.

1. Em nosso estudo a Métrica Euclidiana será considerada a mé- trica usual de  n.

2. Pode-se provar que

d (^) 2 ( , x y ) ≤ d x y ( , ) ≤ d 1 (^) ( , x y ) ≤ kd (^) 2 ( , x y ),

onde k é uma constante. Devido a estas desigualdades, dizemos que as três métricas são equivalentes. A equivalência é no sentido de que elas vão produzir os mesmos abertos e fechados em  n.

i) Para a métrica Euclidiana, temos 2 2 2 2 d x o ( , ) = 1 ⇔ ( x 1 (^) − 0) + ( x 2 (^) − 0) = 1 ⇔ x 1 (^) + x 2 = (^1).

ii) Para a métrica retangular, vem d 1 (^) ( , x o ) = 1 ⇔| x 1 (^) − 0 | + | x 2 (^) − 0 | = 1 ⇔| x 1 (^) | + | x 2 | = (^1).

iii) Para a métrica do máximo, temos

d 2 (^) ( , x o ) = 1 ⇔ max{| x 1 (^) − 0 |,| x 2 (^) − 0 |} = 1 ⇔ max{| x 1 (^) |,| x 2 |} = 1.

A figura 1.7 ilustra as 3 situações.

x 2

1^ x 1

(i)

x 2

1^ x 1

(ii)

x 2

1^ x 1

(iii) Figura 1.

Exercício Proposto

1. Refaça a figura 1.7, usando as equações obtidas em (i), (ii) e (iii) e sobrepondo as 3 figuras no mesmo sistema de coordenadas.

1.4 Um Exemplo de Métrica num Conjunto de Funções

Seja X um conjunto não vazio. Seja M o conjunto das funções f : X →  limitadas, isto é, tais que existe uma constante positiva k ∈  , de tal forma que | f ( ) | x ≤ k , ∀ ∈ x X.

A função d : M × M → 

é uma métrica em M.

É importante você revisar bem a seção 2.6, que explora os conceitos de supremo e ínfimo, no texto de Introdução ao Cálculo [4, Gimenez-Starke].

A figura 1.8 ilustra a métrica dada para X = [ , ] a b ⊂ . x 2 g d ( f , g ) f a b x^1 Figura 1. Observe que para todo x ∈ X , temos um número real | g x ( ) − f ( ) | x. O supremo do conjunto desses números é a distância de f a g (note que este supremo existe, pois f e g são limitadas). Vamos verificar as propriedades de métrica. Sejam f , g h , ∈ M. M M 1:1: d ( f , g ) ≥ 0 pela própria definição da métrica. ( , ) 0 sup{| ( ) ( ) |} 0 | ( ) ( ) | 0 x X d f g g x f x g x f x ∈

p{| ( ) ( ) |} 0 | ( ) ( ) | 0 x X g x f x g x f x ∈ = ⇔ − = ⇔ − = , ∀ ∈ x X ⇔ f ( ) x = g x ( ), ∀ ∈ x X. M M 2 :2: d ( f , g ) = d g ( , f ). É imediata pelas propriedades de módulo de números reais. M 3: Seja x ∈ X. Temos | ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | sup | ( ) ( ) | sup | ( ) ( ) | ( , ) ( , ). x X x X g x f x g x h x h x f x g x h x h x f x h x f x g x h x h x f x g x h x d f h d h g ∈ ∈