Álgebra - I, Notas de estudo de Matemática

Baixe Álgebra - I e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!

2ª Edição – Revisada Florianópolis, 2011

Álgebra I

Oscar Ricardo Janesch

Inder Jeet Taneja

Laboratório de Novas Tecnologias - LANTEC/CED

Coordenação Pedagógica Coordenação Geral: Andrea Lapa, Roseli Zen Cerny Núcleo de Formação : Nilza Godoy Gomes Núcleo de Pesquisa e Avaliação: Claudia Regina Flores

Núcleo de Criação e Desenvolvimento de Materiais Design Gráfico Coordenação: Laura Martins Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira Projeto Gráfico Original: Diogo Henrique Ropelato, Marta Cristina Goulart Braga, Natal Anacleto Chicca Junior Redesenho do Projeto Gráfico: Laura Martins Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira Diagramação: Laura Martins Rodrigues Ilustrações: Kallani Bonelli Capa: Rafael Naravan Kienen Design Instrucional Coordenação: Elizandro Maurício Brick Design Instrucional: Maria Carolina Machado Magnus

Revisão Gramatical: Daniela Piantola, Evillyn Kjellin, Hellen Melo Pereira

Copyright © 2011, Universidade Federal de Santa Catarina/CFM/CED/UFSC Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Coordenação Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade à Distância.

Ficha Catalográfica

J35a Janesch, Oscar Ricardo Álgebra I / Oscar Ricardo Janesch , Inder Jeet Taneja. – 2. ed. rev. – Florianópolis : UFSC/EAD/CED/CFM, 2011. 215 p. : il. ; grafs. , tabs. Inclui bibliografia UFSC. Licenciatura em Matemática na Modalidade a Distância ISBN xxx

1. Álgebra. I. Taneja, Inder Jeet. II. Título. CDU 519.

Elaborada pela Bibliotecária Eleonora M. F. Vieira – CRB – 14/

Sumário

Apresentação

Este material foi elaborado para o curso de ensino à distância de Álgebra I. Os objetivos principais desta disciplina são o estudo de estruturas algébricas e das propriedades dos elementos de cada estrutura algébrica.

O conteúdo está dividido em seis capítulos. Cada capítulo está dividido em seções, de acordo com os assuntos abordados, e ter- mina com um resumo.

Os capítulos 1, 2 e 3 são menos extensos, e os exercícios referentes a cada um destes capítulos aparecem no final do respectivo capí- tulo. Os capítulo 4, 5 e 6 têm mais conteúdo e por isso os exercí- cios destes capítulos são colocados no final de cada seção.

Os exercícios integram ao texto. É indispensável resolvê-los. As dúvidas que surgirem podem ser sanadas com os colegas de cur- so, com os tutores ou com o professor da disciplina.

O programa da disciplina foi desenvolvido de forma que inicias- se com os conceitos básicos e exigisse o mínimo de pré-requisitos. Todas as seções, com exceção da primeira, utilizam conceitos e re- sultados das seções anteriores. Desta forma, nenhuma parte deste material pode ser deixada de lado sem a possibilidade de prejuízo de aprendizado.

Todo o material deste livro é de responsabilidade do Professor Oscar Ricardo Janesch.

Oscar Ricardo Janesch

se dedicavam à tentativa de axiomatizar operações em conjuntos de forma geral, pois o objetivo principal era obter a axiomatização dos conjuntos numéricos    , , , e (^) .

O conjunto dos números complexos foi o primeiro a ter sua cons- trução descrita pelo método axiomático. Isso ocorreu em 1833, com trabalhos de Willian R. Hamilton (1805-1865). O último foi o conjun- to dos números naturais em 1899, graças aos estudos de Giuseppe Peano.

Conjuntos com operações que satisfazem axiomas determinados previamente são chamados de estruturas algébricas. O conceito da estrutura algébrica chamada anel, fundamental para a axiomatiza- ção da álgebra, surgiu como conseqüência da sistematização dos conjuntos numéricos. A definição formal de anel foi elaborada em 1914 pelo alemão A. Fraenkel (1891-1965).

A estrutura algébrica chamada anel é o assunto do curso de Álgebra I. Veremos que um anel é um conjunto não vazio onde estão de- finidas operações que satisfazem propriedades bem determinadas. Por exemplo, o conjunto dos números inteiros (^)  , com as operações usuais de adição e multiplicação, é um anel.

A definição de anel surge da necessidade de saber em quais conjun- tos temos boas propriedades aritméticas que permitem fazer contas. De outra forma, o conceito de anel está relacionado com as seguintes perguntas: Qual o conjunto mínimo de propriedades da adição e da multiplicação em  , a partir do qual é possível demonstrar as de- mais propriedades de ^? Quais propriedades as operações de um conjunto A devem satisfazer para que possamos fazer contas em (^) A de forma semelhante a que fazemos em ^?

As respostas para as perguntas acima levaram aos seis axiomas de anel. Isto é, um conjunto mínimo de propriedades que as operações de adição e de multiplicação em ^ (e de qualquer outro conjunto com duas operações) devem satisfazer para que possamos deduzir outras propriedades.

Seja A um conjunto onde estão definidas duas operações que satisfa- zem os seis axiomas de anel. Chamaremos A^ de anel. Suponha que

a partir dos seis axiomas de anel consigamos provar outras quinze propriedades operacionais. Como usamos apenas os seis axiomas de anel para deduzir estas quinze novas propriedades, elas valem não apenas para A , mas para todo conjunto com duas operações que satisfaçam os seis axiomas de anel.

Note que isso leva a uma mudança de enfoque. Deixamos de estu- dar um conjunto baseados na natureza de seus elementos, e pas- samos a estudá-lo com base nas propriedades de suas operações. Veremos que este procedimento é útil para obter informações sobre vários conjuntos.

Existem várias outras estruturas algébricas, mas neste curso trata- remos apenas com estruturas algébricas que são anéis, ou que são anéis e satisfazem novos axiomas. Especificamente estudaremos as estruturas algébricas chamadas anéis comutativos, anéis com uni- dade, anéis comutativos com unidade, domínios e corpos.

No Capítulo I definiremos formalmente as estruturas algébricas ci- tadas acima, veremos alguns exemplos e provaremos propriedades aritméticas comuns aos anéis. O Capítulo seguinte trata de anéis específicos. A saber, os anéis de funções, os anéis de matrizes, os anéis ^ n e os anéis produto direto. No Capítulo III estudaremos subanéis como uma ferramenta para produzir novos anéis, e tra- taremos de elementos especiais em anéis. O Capítulo IV aborda os ideais como a família de subanéis para a qual é possível construir um anel quociente. As funções que relacionam anéis, chamadas de homomorfismos de anéis, serão tratadas no Capítulo V. O último Capítulo traz um estudo do corpo dos números complexos, e de alguns subanéis de (^) .

Capítulo 1

Anéis, Domínios e Corpos

Para indicar que consideramos no conjunto  as operações usuais de adição ( + )e multiplicação ( )⋅ , escrevemos ( , + , ⋅).

Nosso interesse é por propriedades das operações de ( , +, ⋅). Existem muitas, mas vamos destacar seis delas, que chamaremos de axiomas de anel :

(i) Comutatividade da adição: a + b = b + a , ∀ a b , ∈ .

(ii) Associatividade da adição: ( a + b ) + c = a + ( b + c ), ∀ a b c , , ∈ .

(iii) Existência de elemento neutro para a adição: 0 + a = a + 0 = a , ∀ a ∈ .

(iv) Existência de elemento simétrico em relação à adição: Dado a ∈  , existe ( − a )∈  tal que a + −( a ) = ( − a ) + a = 0_._

(v) Associatividade da multiplicação: ( a b ⋅ ) ⋅ c = a ⋅ ( b c ⋅ ), ∀ a b c , , ∈ . (vi) Distributividade da multiplicação em relação à adição:

• a^ ⋅^ (^ b^ +^ c )^^ =^ a b ⋅^^ +^ a c ⋅^^ ,^ ∀ a b c^ , , ∈^ ;
• (^) ( a + b ) ⋅ c = a c ⋅ + b c ⋅ , ∀ a b c , , ∈ .

Pelo fato de ( , + , ⋅)satisfazer os axiomas acima, dizemos que ( , +, ⋅) é um anel.

É evidente que existem outros conjuntos munidos de duas ope- rações que satisfazem os axiomas de anel. Por exemplo, ( , + , ⋅), ( , +, ⋅)e ( , +, ⋅)com operações usuais. Veremos neste capítu- lo que existem muitos outros. Na verdade existem infinitos con- juntos munidos de duas operações que satisfazem os axiomas de anel. Em analogia ao que fizemos com ( , +, ⋅), cada um desses conjuntos com suas operações será chamado de anel.

É claro que ( , +, ⋅) também satisfaz outros axiomas, mas no momento estamos interessados apenas nos axiomas (i)-(vi) citados acima. A importância desses seis axiomas está no fato de forma- rem o menor conjunto de axiomas, a partir dos quais é possível provar as propriedades operacionais básicas de ( , +, ⋅).

Para ilustrar de que maneira os axiomas de anel podem ser usados para provar propriedades operacionais de ( , +, ⋅), va- mos provar um fato bem conhecido:

a ⋅ 0 = 0,∀ a ∈ .

Pelo axioma (iii): 0 = 0 + 0.

Multiplicando por a : a ⋅ 0 = a ⋅ (0 + 0).

Pelo axioma (vi): a ⋅ 0 = a ⋅ 0 + a ⋅ 0. Pelo axioma (iv), existe um simétrico x = −( .0) a para a ⋅ 0. Somando x em ambos os lados da igualdade acima: a ⋅ 0 + x = ( a ⋅ 0 + a ⋅ 0)+ x. Pelo axioma (ii): a ⋅ 0 + x = a ⋅ 0 + ( a ⋅ 0 + x ).

Como x é simétrico de a ⋅ 0 : 0 = a ⋅ 0 + 0.

Pelo axioma (iii): 0 = a ⋅ 0.

Note que na demonstração acima não foi relevante o fato de trabalharmos com números inteiros, mas sim o fato de valerem os axiomas de anel. Isso leva à conclusão seguinte:

Qualquer conjunto não vazio A , com duas operações que satisfazem os axiomas de anel, tem a propriedade a · 0 = 0 , para todo a ∈ A.

De forma mais geral:

Toda propriedade provada a partir dos axiomas de anel vale para qualquer conjunto que satisfaz os axiomas de anel.

Isso leva a uma mudança de enfoque. A saber, estudar um con- junto não pela natureza de seus elementos, mas sim pelas pro- priedades de suas operações. Esse novo enfoque começou a ser

Observação 1.2.3. Por indicar que o conjunto A é anel, em relação às operações ∗ e ∆ , escrevemos ( A , ∗ ∆, ). A primeira operação ∗ , na notação ( A , ∗ ∆, ) , é chamada de adição. A segunda operação ∆ é chamada de multiplicação. Quando não houver possibilida- de de confusão sobre as operações consideradas, podemos nos referir simplesmente ao anel A , sem mencionar as operações.

Observação 1.2.4. O elemento (^0) A do axioma (iii) é chamado de elemento neutro ou zero da adição do anel A. Quando apenas o anel A for considerado denota-se (^0) A simplesmente por 0.

Observação 1.2.5. O elemento − a ∈ A , visto no axioma (iv), é chamado de simétrico de a. Note que o axioma (iv) garante que todo elemento de A tem simétrico em A. Assim, se a b , ∈ A en- tão a ,− b ∈ A e podemos efetuar a operação a + −( b ). Para facili- tar a escrita, usamos a notação a − b para indicar a + −( b ), isto é, a + − ( b ) = a − b. Chamamos de operação subtração em A a opera- ção que a cada ( , ) a b ∈ A × A associa o elemento a − b ∈ A.

Observação 1.2.6. Ao efetuarmos a multiplicação dos elementos a e b do anel ( A , + , )⋅ , é comum omitir o símbolo ⋅ que indica a operação. Isto é, a b ⋅ = ab.

Observação 1.2.7. Os axiomas (i)-(vi) são chamados de axiomas de anel.

Antes de apresentar exemplos de anel, veremos que anéis cujas operações satisfazem novos axiomas têm denominação especial. Lembre que quando dizemos que A é um anel , fica subentendida a existência de duas operações que satisfazem os axiomas de anel.

Definição 1.2.2. O anel A é comutativo quando: (vii) ab = ba , ∀ a b , ∈ A.

Definição 1.2.3. O anel A é unitário ou com unidade quando: (viii) Existe (^1) A ∈ Atal que (^1) A ⋅ a = a ⋅ (^1) A = a , ∀ a ∈ A.

Observação 1.2.8. O elemento (^1) A da definição acima é chamado de unidade do anel A. Quando não houver possibilidade de con-

fusão sobre o anel considerado, escrevemos apenas 1 para indicar a unidade do anel A.

Observação 1.2.9. Um elemento a do anel A é chamado divi- sor de zero quando a ≠ 0 e existe b ∈ A , b ≠ 0 , tal que a b = 0 ou b a = 0.

Definição 1.2.4. Dizemos que o anel A é um anel sem divisores de zero quando: (ix) a b , ∈ A e ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0.

Definição 1.2.5. Um domínio de integridade é um anel unitário, comutativo e sem divisores de zero.

Observação 1.2.10. Um domínio de integridade também é cha- mado de anel de integridade ou simplesmente domínio.

Definição 1.2.6. Um corpo é um anel unitário e comutativo K que satisfaz: (x) a ∈ K e a ≠ 0 ⇒ ∃ x ∈ K a x ; = 1.

Observação 1.2.11. O elemento x da definição acima é chamado de inverso do elemento a ∈ K , e denotado por a −^1. Assim, um corpo é um anel unitário e comutativo no qual todo elemento diferente de zero tem inverso.

Observação 1.2.12. A estrutura algébrica de um conjunto com operações é a denominação dada ao conjunto em função dos axio- mas satisfeitos pelas operações. Nosso interesse é pelas estruturas algébricas de anel (anel comutativo e anel com unidade), domínio e corpo.

Segue das definições acima que:

• Todo domínio é anel;
• Todo corpo é um anel.

Veremos agora que todo corpo é um domínio. Por isso, usa- remos o lema abaixo, cuja demonstração é cópia do que fizemos para verificar que a ⋅ 0 = 0,∀ a ∈ .