Geometria - II, Notas de estudo de Matemática

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2ª Edição Florianópolis, 2010

Geometria II

Celso Melchiades Doria

Laboratório de Novas Tecnologias - LANTEC/CED

Coordenação Pedagógica Coordenação Geral: Andrea Lapa, Roseli Zen Cerny Núcleo de Formação : Nilza Godoy Gomes Núcleo de Pesquisa e Avaliação: Claudia Regina Flores

Núcleo de Criação e Desenvolvimento de Materiais Design Gráfico Coordenação: Laura Martins Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira Projeto Gráfico Original: Diogo Henrique Ropelato, Marta Cristina Goulart Braga, Natal Anacleto Chicca Junior Redesenho do Projeto Gráfico: Laura Martins Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira Diagramação: Laura Martins Rodrigues Ilustrações: Laura Martins Rodrigues, Ana Clara Miranda Gern Capa: Talita Ávila Nunes Design Instrucional Coordenação: Juliana Machado Design Instrucional: Alessandra Zago Dahmer, Elenira Oliveira Vilela Revisão do Design Instrucional: Carla Mörschbächer

Revisão Gramatical: Jane Maria Viana Cardoso

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Ficha Catalográfica

D696g Doria, Celso Melchiades Geometria II / Celso Melchiades Doria. – Florianópolis : UFSC/ EAD/CED/CFM, 2010. 225p. ISBN 978-85-99379-90-

1. Geometria. I. Título. CDU 51

Elaborada pela Bibliotecária Eleonora M. F. Vieira – CRB – 14/

Sumário

Apresentação

Historiadores dizem que a geometria surgiu da necessidade de estimarmos comprimentos, áreas e volumes, mas isto não é toda a verdade, apenas uma parte importante dela. Diversas manifesta- ções culturais são estruturadas sobre princípios de simetria. Na geometria, o arquétipo é a simetria. Isto é mais evidente quando o aspecto visual está presente (figuras, danças, esculturas), po- rém, na poesia e na música também percebemos a importância da simetria. Nada mais sintetiza tão expressivamente a busca pela simetria do que uma Mandala. O sentido literal da palavra mandala (do sânscrito) é círculo ou centro. Mandala é uma re- presentação geométrica ou dinâmica entre o homem e o cosmos. Sua estrutura de combinações variadas de círculos, quadrados e triângulos em torno de um centro simbolizando a união do plano espiritual com o material, servindo para organizar visões religio- sas do mundo, sistemas cósmicos e simbólicos, assim como fato- res de nossa psique.

Figura 0.1 Figura 0.2 Figura 0.

No entanto, a natureza humana é acrescida do desejo e da habi- lidade para quantificar o que lhe cerca. Nosso objetivo será de- senvolver métodos eficientes para quantificarmos comprimentos, áreas e volumes. Apesar desse aspecto racional e pragmático que nosso objetivo nos impõe, em momento algum ignoraremos a necessidade da intuição para resolvermos nossos problemas, por isto, é importante fazermos figuras. Os problemas estão para a matemática assim como a sobrevivência está para a vida. Feliz- mente, as soluções requerem mais do que simplesmente um al- goritmo lógico, requerem idéias! É claro, nosso objetivo não será resolver questões em aberto, não precisaremos ter idéias inéditas como quem está na busca de uma descoberta, precisaremos, ape-

Veja na webteca diversas imagens interessantes que mostram a importância dos estudos geométricos e suas manifestações nas artes e na religião.

Arquétipo Do grego arché , antigo, é o primeiro modelo de alguma coisa.

Lembra-se? Você já estu- dou as simetrias no Ca- pítulo 6 da Geometria I. Naquele momento você percebeu a importância deste conceito?

nas, estudá-las, reconhecê-las e aprender como aplicá-las. Na Ma- temática, é necessário entender as estruturas que regem as ques- tões sobre as quais estamos interessados.

É muito importante que ao aprendermos Matemática também re- flitamos sobre os fundamentos dos métodos e da abrangência dos mesmos. Desta forma, poderemos ganhar bastante experiência e capacidade para resolvermos os problemas. Geometria é uma área fundamental da Matemática por exigir que o estudante alie razão com intuição, pragmatismo com estética e, finalmente, do- mínio da linguagem matemática.

A Geometria Euclidiana baseia-se sobre dois resultados: o Teore- ma de Thales e o Teorema de Pitágoras. Ambos eram conhecidos por povos mais antigos do que os gregos, porém, é mérito dos gregos tê-los demonstrado. Eles são fundamentais para os métodos que desenvolveremos.

Teorema 0.1 (Thales) – Sejam l 1 (^) , l 2 e l 3^ retas paralelas e r , s retas transversais a l 1 (^) , l 2 e l 3. Sejam Ai = li ∩ r e Bi = li ∩ s , i = 1, 2,3, os pontos de interseção (figura 0.4). Então,

1 2 1 2 2 3 2 3

B B A A

B B A A

A 1

A 2

A 3

B 1

B 2

B 3

l 1

l 2

l 3

Figura 0.

Teorema 0.2. (Pitágoras) – Seja ∆ ABC um triângulo retângulo no vértice A ( A ˆ^ = 90 ^ ) tal que a hipotenusa mede a e os catetos medem b e c (figura 0.5). Então,

Notação: Indicaremos:

1. Os pontos por letras latinas maiúsculas. As letras minús- culas serão empregadas para expressarmos as medidas dos segmentos, enquanto as letras gregas minúsculas serão uti- lizadas para as medidas dos ângulos.
2. Por AB o segmento definido pelos pontos A e B.
3. Por lAB

a semi-reta orientada definida pelos pontos A e B.

4. Por AOB ˆ o ângulo com vértice em O formado pelas semi- retas lOA

e lOB

. Em algumas circunstâncias, também usare- mos AOB ˆ para indicarmos a medida do ângulo.

5. Para efeitos de notação e de simplicidade da exposição, ∆ ABC significa um triângulo com vértices nos pontos A , B e C do plano (figura 0.6). O lado oposto ao vértice A mede a , o oposto a B mede b , e o oposto a C mede c. Os ângulos internos em cada um dos vértices medem  (no vértice A ),  (no vértice B ) e  (no vértice C ).

Figura 0.

Capítulo 1

Relações Métricas em

Triângulos: Trigonometria

Capítulo 1

Relações Métricas em

Triângulos: Trigonometria

Neste capítulo, determinaremos diversas medidas rela-

tivas a um triângulo ∆ABC em função dos comprimen-

tos dos lados. Inicialmente, obteremos algumas relações

quando ∆ABC é retângulo e, a seguir, consideraremos

o caso geral.

1.1 Relações Métricas em Triângulos

Nesta seção, vamos obter relações que nos permitem determinar diversas medidas importantes no estudo de triângulos. A primei- ra e mais famosa é conhecida como Teorema de Pitágoras. Para realizar este estudo começamos considerando triângulos retân- gulos para, então, generalizarmos para triângulo qualquer.

1.1.1 Relações Métricas num Triângulo Retângulo

Consideramos que  = 90 ° e D é o pé da altura relativa ao lado BC. Abaixo, a tabela estabelece uma nomenclatura e uma nota- ção para os segmentos definidos no ∆ABC , conforme ilustra a tabela 1.1:

Segmento Nome Comprimento BC hipotenusa^ a AC cateto^ b AB cateto^ c BD projeção^ m CD projeção^ n AD altura^ h Tabela 1.

Num triângulo retângulo, os segmentos que a altura determina sobre a hipotenusa são chamados de projeções (sob ângulo de 90°) dos catetos.

Sobre os elementos do tri- ângulo, veja o tópico 3. do livro de Geometria I.

D

Figura 1.

Os triângulos ∆ABC ,∆DBA , e ∆DAC são semelhantes (caso AA). Comparando-os, temos as seguintes relações:

1. ∆^ ABC^ ∆DBA.

= = ⇒ m

c h

b c

a (^2)

bc ah i c am ii bm ch iii

^ =

2) ∆ DBA ∆DAC

h

c n

b b

a 2 , ( ) , ( )

b an i cn bh ii

3) ∆DBA^ ~∆^ DAC

b n h (^) h (^2) mn c h m

Teorema 1.1. (Pitágoras) – Num triângulo retângulo ∆ABC^ cuja hipotenusa mede a e os catetos medem b e c, vale a identidade a^2 = b^2 + c^2. (1.4)

Demonstração: Decorre das identidades 1.1(ii) e 1.2(i) que b 2 + c 2 = a m( + n) = a^2. ■ O triângulo sendo retângulo também vale a identidade

2 2 2

b c h

A verificação é simples, pois 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 c b a 1 b c b c a h h

Veja mais casos de seme- lhança de triângulo no li- vro de Geometria I, tópico 7.3.

8. Seja a um número real positivo. Construa um segmento com comprimento igual a a 7.

9. Sejam∆ABC um triângulo retângulo em A D, o ponto mé- dio de AB e DE ⊥ BC. Mostre que ( EC )^2 - ( EB) 2 = ( AC)^2.

10. Mostre que, dados dois círculos tangentes externamente, o segmento AA’ definido pelos pontos de contato é a média geométrica entre os diâmetros dos círculos (figura 1.2).

A'

O'

r'

A

Figura 1.

11. Suponha que, no triângulo ∆ABC (^) , os ângulos B e C são agudos e a razão dos quadrados dos lados opostos a esses ângulos é igual à razão das projeções desses lados sobre BC. Mostre que ∆ABC é retângulo ou isósceles.

12. Se os números positivosb c, e h satisfazem a relação

2 2 2

b c h

mostre que existem 2 triângulos com lados medindo b c, e a altura relativa ao terceiro lado medindo h. Num dos triân- gulos, a soma dos ângulos opostos aos lados (^) b e c , respec- tivamente, será igual a 90°, no outro, a diferença dos ângulos mencionados será 90°.

13. Considere duas circunferências externas com raiosr, r’ e cuja distância entre os centros mede d. Determine os com- primentos dos segmentos tangentes comuns (existem 4 tan- gentes comuns, figura 1.3).

A'

B' O'

Figura 1.

1.1.2 Relações Métricas num Triângulo qualquer

Agora, seja ∆ABC um triângulo qualquer (figura 1.4).

A B

b

Figura 1.

Suponhamos que as medidas a b, e c dos lados de ∆ABC são conhecidas. Sejam D o pé da altura relativa ao lado AB , hc a medida da altura CD e m a medida da projeção do lado AC so- bre o lado AB. Observe que há dois casos para analisarmos: (a) ∆ ABC é acutângulo (b) ∆ABC é obtusângulo. Em ambos os ca- sos, a construção da altura CD gera dois novos triângulos, ambos retângulos ∆ADC e ∆BCD.

a) ∆ ABCé acutângulo (figura 1.4a). S uponhamos que Aˆ^ < 90 ^. Neste caso, temos que D está en- tre A e B , e c = m + ( c - m): ∆ADC ⇒ b^2 = m 2 + h c^2 , ∆BDC ⇒ a 2 = ( m - c )^2 + hc^2. Conseqüentemente, a 2 = b 2 + c 2 - 2 cm. (1.6)

b) ∆ ABCé obtusângulo (figura 1.4b). Suponhamos que Aˆ^ > 90 ^. Neste caso, temos que D não está entre A e B , e BD = c + m: 2 2 2 ∆ADC ⇒ b = m + h c, (^2) ( ) 2 2 ∆BDC ⇒ a = m + c + hc.

Analogamente (^1) 2 ( 2 2 ) 2 B 2 m = a + c - b , (1.9)

(^1) 2 ( 2 2 ) 2 C 2 m = a + b - c. (1.10)

O ponto de interseção das medianas é denominado baricentro do triângulo (figura 1.6) e o denotamos por G.

A seguir, mostraremos algumas propriedades do baricentro. Inicial- mente, fixamos a seguinte notação: sejam PA , PB ,PC os pés das me- dianas mA , mB ,mC , respectivamente, e G o baricentro (figura 1.6).

Proposição 1.2. Considerando o triângulo da figura 1.6, valem as seguintes igualdades: 1 B A 2

P P = AB, 1

A C 2

P P = AC, 1

B C 2

P P = BC.

Demonstração. Na figura 1.6, decorre do Teorema de Thales que P P P A B A C (^) é um paralelogramo. Portanto,

B A C 2

P P = AP = AB. Os outros casos são análogos. ■

Proposição 1.3. Num triângulo ∆ABC qualquer valem as relações:

2 3 A

GA = m , 2 3 B

GB = m , 2 3 C

GC = m. (1.11)

Demonstração. Conforme ilustra a figura 1.5, temos o caso de semelhança ∆GAB^ ^ ∆GP PA B, do qual,

2 A B A B

GA GB AB

GP GP P P

e GA = 2 ( GPA), GB = 2 (GP (^) B), GC = 2 ( GPC). Conseqüentemente,

3 , 3

A A (^) A A A A

m GA GP (^) GP m GP GP

Figura 1.

Este teorema está discu- tido na Introdução e no livro de Geometria I (Teo- rema 7.10).

B B (^) B B B B

m GB GP (^) GP m GP GP

Analogamente, 3

GPC = m^ C. Assim, a relação 1.11 está verificada, pois (^2). 3 3

m (^) A = m^ A+ GA ⇒ GA = mA ■

Exemplo. Se G é o baricentro de ∆ABC , então

( AB )^2 + ( BC ) 2 + ( CA) 2 = 3 (( GA) 2 + ( GB )^2 + ( GC)^2 ). (1.12)

Ao somarmos as relações abaixo, satisfeitas pelas medianas de ∆ ABC ; 2 2 2 2 2 C 2 a + b = m + c ,

2 2 2 2 2 A 2 b + c = m + a ,

2 2 2 2 2 B 2 a + c = m + b.

obtemos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) A B C 2 a + b + c = m + m + m + a^ +^ b^ +c ,

da onde, (^2 2 2 4) ( 2 2 2 ) 3 A^ B^ C

a + b + c = m + m + m.

Como 3 ( ) A 2 m = GA, 3 ( ) B 2 m = GB e 3 ( ) C 2 m = GC , a verificação da expressão 1.12 está completa.

Lista de Exercícios 3

1. Num triângulo qualquer de lados medindoa b, e c , seja D o pé da mediana relativa ao lado BC e E o ponto obtido pela projeção da mediana AD sobre o lado BC. Fazendo n = DE, mostre que c^2 - b 2 = 2 amn.