Geometria - III, Notas de estudo de Matemática

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2ª Edição Florianópolis, 2011

Geometria III

Milton dos Santos Braitt

William Glenn Whitley

Laboratório de Novas Tecnologias - LANTEC/CED

Coordenação Pedagógica Coordenação Geral: Andrea Lapa, Roseli Zen Cerny Núcleo de Formação : Nilza Godoy Gomes, Marina Bazzo de Espíndola Núcleo de Pesquisa e Avaliação: Daniela Karine Ramos

Núcleo de Criação e Desenvolvimento de Materiais Design Gráfico Coordenação: Laura Martins Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira Projeto Gráfico Original: Diogo Henrique Ropelato, Marta Cristina Goulart Braga, Natal Anacleto Chicca Junior Redesenho do Projeto Gráfico: Laura Martins Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira Diagramação: Laura Martins Rodrigues, Gabriel Nietsche Ilustrações: Ângelo Bortolini Silveira, Grazielle Xavier, Kallani Maciel Bonelli Capa: Tarik Assis Design Instrucional Coordenação: Elizandro Maurício Brick Design Instrucional: Elenira Oliveira Vilela, Juliana Machado Revisão do Design Instrucional: Jaqueline Luiza Horbach

Revisão Gramatical: Tony Roberson de Mello Rodrigues

Copyright © 2011, Universidade Federal de Santa Catarina/CFM/CED/UFSC Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Coordenação Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade à Distância.

Ficha Catalográfica

B814g Braitt, Milton Santos Geometria III / Milton Santos Braitt, William Glenn Whitley. —

2. ed. — Florianópolis : UFSC/EAD/CED/CFM, 2011. 241 p. : il. ; grafs. , tabs. Inclui bibliografia UFSC. Licenciatura em Matemática na Modalidade a Distância ISBN 978-85-8030-013-
   1. Geometria. I. Whitley, William Glenn. I. Título. CDU 51

Catalogação na fonte pela Biblioteca Universitária da UFSC

Sumário

• Apresentação
• 1. Um Pouco da História da Matemática Antiga
  • 1.1 Introdução
  • 1.2 A China
  • 1.3 A Índia
  • 1.4 A Mesopotâmia e regiões adjacentes.......................................
  • 1.5 O Egito
  • 1.6 Os gregos
    • 1.6.1 Os primórdios
    • 1.6.2 Os fenícios
    • 1.6.3 O desenvolvimento da matemática
    • 1.6.4 Thales de Mileto
    • 1.6.5 A escola pitagórica
    • 1.6.6 De Pitágoras a Platão
    • 1.6.7 Platão e a escola de Atenas
    • 1.6.8 Euclides
    • 1.6.9 Arquimedes
    • 1.6.10 A escola de Alexandria
  • Conclusões
  • Questões para pesquisa e discussão
  • Resumo
• 2. A Lógica Dedutiva e o Método Axiomático
  • 2.1 Experiência
  • 2.2 Autoridade
  • 2.3 Revelação
  • 2.4 Raciocínio
    • 2.4.1 Raciocínio indutivo
    • 2.4.2 Analogia
    • 2.4.3 Raciocínio dedutivo
    • 2.4.4 A escolha dos axiomas
  • 2.5 Lógica informal
  • 2.6 Teoremas e demonstrações
    • 2.6.1 Justificativas
  • 2.7 As regras de lógica ou os argumentos lógicos
    • 2.7.1 Os argumentos válidos
    • 2.7.2 As demonstrações
    • 2.7.3 A negação
    • 2.7.4 As conjunções
    • 2.7.5 Os quantificadores
    • 2.7.6 Mais algumas regras de lógica
  • 2.8 A ficha de demonstração...........................................................
  • 2.9 Como demonstrar um teorema
  • Exercícios resolvidos e propostos
  • Resumo
• 3. Geometria de Incidência
  • 3.1 Geometria de incidência............................................................
  • 3.2 Modelos para um sistema axiomático
    • 3.2.1 Modelo das três letras
    • 3.2.2 Modelo dos seis alunos
    • 3.2.3 O uso dos modelos
  • 3.3 Cultura geral
  • 3.4 Demonstração dos teoremas
  • Exercícios
  • Resumo
• 4. Entreposição de Pontos numa Reta
  • 4.1 Axiomas de ordem
    • 4.1.1 Teoria de conjuntos
    • 4.1.2 Definições
  • 4.2 Teoremas
  • 4.3 O Triângulo
  • Exercícios
  • Resumo
• 5. Congruência
  • Exercícios
  • Resumo
• 6. Continuidade, Paralelas e Medidas
  • 6.1 Modelo de Poincaré..................................................................
  • 6.2 Princípios de continuidade
  • 6.3 Paralelas e perpendiculares
  • 6.4 Medida de segmentos e ângulos
  • Exercícios
  • Resumo
• 7. Axioma das Paralelas e Áreas.........................................
  • Exercícios
  • Resumo
• 8. O Mundo é Plano?
• Referências

nios com algum rigor, para saber quais, como e quando usá-los. O aluno provavelmente estranhará o grande trabalho inicial para provar resultados muito simples e considerados “óbvios”, mas também poderá perceber que isso possui um motivo: serão as ba- ses do enorme edifício que será construído.

Gostaríamos de alertar o aluno da importância em desenvolver a habilidade em escrever as demonstrações dos teoremas. A falta de desenvoltura em lidar com os conceitos iniciais poderá dificultar enormemente a assimilação do material que se segue. Por outro lado na medida que o aluno domine a linguagem dos primei- ros axiomas, definições, teoremas e suas demonstrações, deverá sentir-se cada vez mais seguro e capaz de ir adiante.

Esperamos que estudem com seriedade e confiança para obter o êxito, pois o verdadeiro sucesso só é alcançado com muito suor.

Milton dos Santos Braitt

William Glenn Whitley

Agradecimentos

Agradecemos a todos aqueles que colaboraram com a elaboração deste livro, em especial ao professor José Luiz Rosas Pinho que indicou erros no texto da primeira edição e sugeriu novos exercí- cios, e ao co-autor, meu orientador e amigo, professor Dr. William Glenn Whitley (Bill), em homenagem póstuma, por ter me guiado pelos caminhos da matemática em uma agradável convivência.

Milton dos Santos Braitt

Capítulo 1

Um Pouco da História da

Matemática Antiga

Capítulo 1

Um Pouco da História da

Matemática Antiga

Neste Capítulo, veremos um pouco da história do início

do desenvolvimento da matemática no mundo. Desta-

camos a importância do que ocorreu na Grécia aproxi-

madamente em 500 a.C., em um período relativamente

curto da história das civilizações: a união da lógica com

a matemática. Nesta época, de um amontoado de regras

e métodos desconexos, alguns homens notáveis percebe-

ram que poderiam encadear o conhecimento a partir de

fatos bem simples, quando eles eram pensados de ma-

neira lógica: surgiu o método axiomático.

1.1 Introdução

É difícil dizer quando e como a matemática começou. Sabe-se que no final da Idade da Pedra os povos já a usavam. Não é pos- sível tirar conclusões muito precisas e detalhadas baseadas em algumas pinturas em cavernas, ossos e pedras marcadas, mas os arqueólogos nos dizem que os povos antigos viviam em bandos migratórios ou semimigratórios relativamente grandes. Deve- riam conhecer a geometria básica, saber contar e ter uma aritmé- tica rudimentar que fosse suficiente para seu uso. Recuando até aproximadamente quatro mil anos antes de Cristo, no entanto, podemos ter uma ideia mais clara da matemática utilizada em cada região do mundo.

Naquela época, a civilização já havia desenvolvido um sistema complexo de escrita e de construção. Sobrevivem até hoje constru- ções ornamentadas e cópias escritas de problemas matemáticos. Havia também a produção de metal puro, e portanto, a necessida- de de um sistema de pesos e medidas. As sociedades já contavam com vários milhões de pessoas, o que exigia um sistema de enu-

meração e aritmética para o controle da população, cobrança de impostos e operações de abastecimento de alimentos, água, etc. Em 3000 a.C., já haviam estruturas de pedra, tijolo e navegações atravessando o mediterrâneo, o que exigiu uma geometria refina- da para topografia, navegação e agrimensura.

Grosso modo, existiram seis grandes civilizações antigas: a chinesa, a indiana, a mediterrânea, a da Mesopotâmia e a do vale do Rio Nilo. Havia ainda uma outra civilização no vale do Rio Mekong, mas que sumiu sem deixar história matemática. Aparentemente, a civilização chinesa começou às margens dos rios Amarelo e Yang- tse, mais ou menos na mesma época em que as civilizações dos vales dos rios Nilo, Tigre e Eufrates, e bem antes da grega.

1.2 A China

A história da matemática na China é incerta. Vamos mencionar algumas datas, mas muitas delas podem estar erradas. O calen- dário foi alterado várias vezes e fatos históricos e lendas se mistu- raram porque só foram registrados por escrito centenas de anos mais tarde, depois de terem sido transmitidos oralmente (e talvez alterados) por séculos. Há discordância de até 1500 anos sobre a data de certos fatos na China Antiga.

Para complicar as coisas ainda mais, no ano 213 a.C., o Imperador Shï Huang-ti decidiu ser o responsável por todo o conhecimento na China. Para resolver o problema de o que fazer com o conheci- mento já existente, ordenou que todos os livros fossem queimados e que os homens de conhecimento que resistissem a isso fossem enterrados vivos. Assim, todo o conhecimento seria recriado a partir daquele momento, e ele, Shï Huang-ti, seria o pai da ciência chinesa. É claro que uma ordem dessa natureza não podia ser completamente obedecida. Muitos livros foram perdidos, mas ou- tros sobreviveram em sua forma original ou em forma de cópias feitas após o ano 213 a.C..

Da história antiga chinesa sabemos que Fuh-hi, considerado o primeiro imperador da China, reinou de 2752 até 2738 a.C. Não há informação detalhada sobre a matemática desenvolvida nessa

Figura 1.1 – A muralha da China começou a ser erguida por volta de 221 a.C.

Agrimensura Ciência antiga que tem por objetivo medir e demarcar campos e propriedades rurais.

imprecisos ou simples e elaborados. Isso nos leva a acreditar que a matemática chinesa era puramente experimental, sem qualquer preocupação com demonstrações das propriedades usadas. Eles tinham, por exemplo, fórmulas corretas para a área de triângulos, retângulos e trapézios, mas usavam 3 2 4

d para a área da circunfe- rência de diâmetro d. Isso nos dá o valor de 3 para , coisa reco- nhecidamente falsa até para os chineses da época, que conheciam aproximações melhores para , tais como 3,1547, 10 , 92 29

e 142 45

Infelizmente, não há indícios de progresso significativo no estudo da geometria plana na China posterior a essa obra. As rupturas violentas e abruptas na sociedade e na política chinesa, aliadas ao alto grau de misticismo existente entre aquela população, certa- mente prejudicaram avanços científicos e desestimularam o pen- samento racional necessário a uma matemática rigorosa.

1.3 A Índia

A história da matemática na Índia é ainda mais incerta que a da matemática chinesa. A escrita de textos matemáticos só foi feita a partir da invasão muçulmana no século 7 d.C., muito depois do período que está sendo considerado aqui. Os registros que existem foram completamente contaminados com erros introdu- zidos através de lendas religiosas. Alegava-se, por exemplo, que uma obra foi escrita no ano 2.165.000 a.C. Apesar da confusão de datas, pode-se concluir que havia um calendário preciso e uma astronomia rica para a época, o que evidencia uma matemática refinada. Há vestígios de que as sociedades indiana e chinesa tinham um forte intercâmbio religioso, comercial e científico. O mesmo desenho Pitagórico que apareceu na China é encontrado em manuscritos em sânscrito na Índia. Nota-se que todos os zodíacos têm 12 símbolos, e isso pode ser explicado por um inter- câmbio científico China - Índia - Mesopotâmia - Mediterrâneo. De toda forma, a Índia contribuiu significativamente para o de- senvolvimento da matemática, mas suas contribuições são já da era cristã e, por isso, não se enquadram nesta revisão dos tempos iniciais da matemática.

Figura 1.3 – Na Índia existem estátuas que datam de antes de Cristo.

1.4 A Mesopotâmia e regiões adjacentes

Vamos olhar para uma região que atualmente inclui Iraque, Jor- dânia, Palestina, Síria, parte do Irã e a Península Arábica. De acor- do com o que conhecemos atualmente, a primeira civilização na região foi formada pelos Ubaidianos no século 40 a.C. na região conhecida como Sumer. As cidades mais importantes nesta época eram Adab, Eridu, Isin, Kish, Kullab, Lagash, Larsa, Nippur e Ur. Entretanto, a primeira civilização de interesse para nós foi a dos Sumérios. Por volta de 3250 a.C. eles migraram, provavelmente do Irã, e começaram a se casar com a população nativa. Mas, ao invés de assimilarem a cultura local, esta é que assimilou a deles; a língua e os costumes, então, passaram a ser os dos Sumérios. Esse povo utilizava um sistema de escrever em tabuletas de barro, conhecido como escrita cuneiforme , que foi largamente adotado por quase dois mil anos. Muitas dessas tabuletas, de três mil anos antes de Cristo, existem até hoje, e os arqueólogos estão encontrando mais tabuletas antigas a cada ano. A partir delas, pode-se concluir que eles tinham um sistema de enumeração desenvolvido, uma arit- mética rica, uma astronomia refinada e um calendário aceitável.

A sociedade Suméria persistiu até o século 18 a.C., quando foi en- golida por uma nova sociedade que denominamos de Babilônios. Embora a sociedade dos Sumérios tenha sido extinta, sua cultu- ra, ciência e matemática não o foram; os Babilônios simplesmente as englobaram na sua cultura, quase sem alteração. Esta extensão da cultura suméria durou mais doze séculos. Portanto, faremos um relato unificado das duas sociedades. Primeiro, porém, iremos fazer uma pequena análise daquela época.

É interessante mencionar alguns acontecimentos climatológicos. Aproximadamente há vinte mil anos a.C., partes extensas da Europa e da Ásia eram cobertas de grossas camadas (dois mil metros) de gelo. O clima de regiões que hoje são um deserto escaldante era fresco e chuvoso e a terra sustentava uma robusta cobertura de florestas e campos. Esta

Figura 1.4 – Os Zigurates são construções mesopotâmicas, alguns foram construídos no final do terceiro milênio antes de Cristo.

Figura 1.5 – Mesopotâmia e regiões adjacentes.

A escrita cuneiforme é uma das escritas mais antigas, foi criada por volta de 3.500 a.C. pelos Sumérios.

IRÃ

ARÁBIA SAUDITA

IRAQUE

SÍRIA

JORDÂNIA

ISRAEL

LÍBANO

Mesopotâmia

te desenvolvida. Eles sabiam calcular as áreas de figuras como o quadrado, o retângulo, o triângulo retângulo, o círculo e o tra- pézio e os volumes de figuras como paralelepípedos e cilindros. Além disso, sabiam expandir expressões do tipo ( a + b )^2. Há indí- cios de que conheciam o ábaco.

Da mesma forma que no caso dos Nove Capítulos , da China, as tabuletas de barro dos Sumérios não mostram qualquer desen- volvimento sistemático da geometria ou da matemática em geral. Eles usaram uma fórmula de área de quadriláteros que, apesar de válida para trapézios, não vale em geral. Sua matemática apresen- ta outro incômodo para nós que queremos estudar a geometria: toda ela, a geometria incluída, era baseada na aritmética.

Havia outra semelhança entre a sua matemática e a chinesa (em contraste com a egípcia, grega, latina): ela usava uma notação posicional para representar números. Aparentemente ambas as sociedades admitiram o uso do número zero. Afinal, num siste- ma posicional, como se pode representar ‘cento e um’ sem um símbolo, e, portanto, um número, para expressar a ausência de múltiplos de dez?

Provavelmente havia algum intercâmbio entre as duas culturas, mas o desenvolvimento matemático deve ter ocorrido quase in- dependentemente nas duas. Note-se que os chineses usavam um sistema posicional decimal (base dez) enquanto os babilônios usavam uma base sexagesimal.

O último império Sumério foi o império dos Kaldi, que durou pouco tempo, aproximadamente 60 anos, mas durante sua exis- tência deu forte estímulo para as ciências e para a matemática. Da sua astronomia, eles concluíram que a Terra era uma esfera e dividiram-na em 360 meridianos, um para cada dia do ano do seu calendário. Eles progrediram o suficiente na sua astronomia para precisar de medidas para pequenos ângulos e espaços de tempo. A circunferência foi dividida em 360 graus, cada grau e hora foi divido em 60 minutos e cada minuto em 60 segundos. Esta siste- mática para a medição de ângulos e tempo continua até hoje.

Ábaco Instrumento mecânico, em geral uma tábua de madei- ra com bolinhas, usado para contar.

Sistemático Algo é dito sistemático quan- do segue um sistema, uma ordenação ou um método.

Notação posicional Representação de números em que a posição de cada símbolo influi no seu valor, por exemplo: 35 significa 30

• 5, enquanto o número VIII romano é simplesmente 5+ e não 53.

1.5 O Egito

Embora exista informação confiável sobre grande parte do desen- volvimento matemático do Egito antigo, há muita controvérsia a respeito do seu valor científico. O vale do Rio Nilo forneceu um ambiente protegido, isolado e propício para o desenvolvimento de uma sociedade. O clima árido contribuiu para a preservação de muitas de suas relíquias. Pinturas de parede do quarto milênio a.C. mostram uma arte muito mais avançada que a das outras sociedades e pressupõe-se o mesmo de sua ciência e matemática. Sabe-se que, em 4241 a.C., havia um calendário com doze meses de trinta dias cada e mais cinco dias de festa religiosa, dando um total de 365 dias/ano. Somente em 1582 o Papa Gregório III conseguiu implantar um calendário melhor. Houve avanços ex- traordinários na construção civil em 3000 a.C. No espaço de me- nos de 200 anos, os egípcios passaram da construção da primeira estrutura de tijolos até a construção de grandes pirâmides. O pla- nejamento dessas obras exigiu uma engenharia competente e, por consequência, uma matemática refinada.

Notamos que, nas grandes pirâmides, o erro máximo dos compri- mentos dos lados é 0,63 polegada ou 0,0000714% e que o erro má- ximo nos ângulos da base é doze segundos ou 0,00003375% de um ângulo reto. Os ângulos de inclinação das três grandes pirâmides são respectivamente, 51˚ 51˚, 52˚ 20˚ e 51˚ , o que representa uma va- riação de 0,0001822% nas alturas. A precisão na construção dessas três pirâmides não pode ser atribuída a métodos rústicos de cons- trução ou ao famoso olhômetro. Havia necessidade de uma topo- grafia refinada e, portanto, de uma geometria avançada. É interes- sante notar que a variação dos ângulos de inclinação é de um grau e um terço em 52, ou seja, dois por cento. Entretanto, a variação das alturas é de 0,0001822%, como dito acima. É razoável concluir que os egípcios conheciam uma forma do teorema de Pitágoras - alguns alegam que eles conheciam o triângulo 3 por 4 por 5 - e sabiam tra- balhar com triângulos semelhantes, mas não tinham medidas de ângulos ou não tinham instrumentos para medi-los com precisão. Certamente não tinham teodolitos, porque não tinham o vidro.

Há duas outras evidências fortes do desenvolvimento da geome- tria no Egito. O império estava situado no Vale do Rio Nilo e as

Figura 1.6 – As três grandes pirâmides do Egito foram cons- truídas por volta de 2.550 a.C. para servir de tumba.

Teodolito Instrumento utilizado em trabalhos geodésicos e to- pográficos para medir ân- gulos verticais e horizontais. Igualmente pode ser usado para determinar as coorde- nadas celestes horizontais.