Baixe Análise de Sequências e Funções Quadráticas e outras Notas de estudo em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
Pensando em sequências
Uma das finalidades para operarmos com funções é a possibilidade que estas nos
fornecem de podermos modelar determinados fenômenos, afim de prevermos seus
comportamentos em um dado momento.
Tomando esta ideia por motivação, você saberia determinar o próximo valor de cada
uma das sequências abaixo?
Existe uma generalização para cada uma das sequências?
Para contextualizarmos a última sequência, consideremos a seguinte situação:
A população de células em um meio foi medida de t em t unidades de tempo.
Depois de um certo período de observação produziu-se a seguinte tabela:
Obs. : em t = 0 não houve marcação.
t t
Conseguiu identificar um padrão?
Vejamos o que acontece se subtrairmos os valores das populações em cada marcação
pelos valores que lhe antecedem na tabela.
Agora já é possível perceber algum padrão?
Vejamos o que acontece se executarmos o procedimento de subtração mais uma vez.
Observamos que neste caso específico podemos generalizar os termos da sequência
como:
P(t) = t
2
Obs.: Um modo prático de se avaliar quando se tem uma sequência quadrática é calculando a
diferença da diferença entre os termos da sequência para se verificar se os resultados expressam
uma constante.
Disso podemos concluir que a função possui um ponto de mínimo. Mas qual será este
ponto?
Bem, para x basta avaliarmos o valor de x em que há mudança de sinal em ( x + 2).
É relativamente fácil observar isso, uma vez que:
para x > - 2 temos x + 2 > 0;
para x = - 2 temos x + 2 = 0; e
para x < - 2 temos x + 2 < 0.
Portanto, o valor x = - 2 é o valor mínimo de x.
Quando aplicamos o valor mínimo de x em f ( x ) = ( x + 2)
2
f ( - 2 ) = ( - 2 + 2)
2
f ( - 2 ) = - 1
Logo, - 1 é o valor mínimo de f ( x ). Assim, V = (-2; - 1).
; y v
) chamamos de ponto de mínimo ou vértice da função.
iii) O gráfico da função corresponde a uma parábola côncava para cima, por se tratar de
uma quadrática cujos pontos notáveis devem pertencer à curva. Assim:
Atividade
- Faça o estudo analítico das seguintes funções:
a) f ( x ) = ( x + 3 )
2
2
g) f ( x ) = x
2
b) f ( x ) = ( x - 2)
2
2
- 5 h) f ( x ) = ( 3 x + 1 ) ( x + 1 )
c) f ( x ) = - 2 x
2
2
2
Generalização do Estudo da Função Quadrática
Uma vez conhecido o comportamento de uma função quadrática é importante
estabelecer alguns elementos que possam constituir um algoritmo geral que possibilite agilizar
alguns processos e até mesmo implementá-lo computacionalmente. Deste modo, seja:
f : ℝ→ ℝ
x | → 𝑎𝑥
2
Temos:
2
2
𝑏
𝑎
2
2
2
2
2
2
2
2
Fazendo 𝑏
2
− 4 𝑎𝑐 = ∆, fica:
2
Observemos que para 𝑥 = −
𝑏
2 𝑎
a função f ( x ) terá valor −
∆
4 𝑎
. Assim, o ponto
𝑏
2 𝑎
∆
4 𝑎
) será um ponto crítico da função quadrática f. Sabemos também que o ponto
crítico da função quadrática corresponde ao seu vértice, portanto:
𝑣
𝑣
Portanto:
1
2
𝑏
𝑎
e 𝑥
1
2
𝑐
𝑎
Este resultado nos ajuda a sistematizarmos a análise da função quadrática. Assim:
2
2
[
2
1
2
1
2
)]
[
2
1
2
1
2
)]
[
2
1
2
1
2
]
= 𝑎[𝑥(𝑥 − 𝑥
1
2
1
)] =
1
2
Logo:
1
2
Agora, supondo 𝑥
1
2
, temos:
Fazendo 𝑓
1
2
podemos realizar o estudo dos sinais da função de
modo mais prático:
Ex: Seja 𝑓
2
Temos:
2
Assim, x 1
= - 1 e x 2
Fazendo:
Daí definimos que:
Logo:
De onde podemos concluir que o gráfico de f ( x ) possui um ponto de mínimo.
Atividades
- Realize o estudo das seguintes funções quadráticas:
a) 𝑓
2
b) 𝑓(𝑥) = −𝑥
2
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
d) 𝑓
2
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
f) 𝑓(𝑥) = −𝑥
2
- Para que valores reais de k a função 𝑓
2
- 5 𝑥 + 𝑘 + 3 admite duas raízes reais e
distintas?
- O gráfico da função f ( x ) = ax ² + bx + c está representado abaixo. Determinar os valores de
a , b e c.
