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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
CAPÍTULO 8
CÔNICAS
Muitas descobertas importantes em matemática e em outras ciências estão relacionadas às
seções cônicas. Desde os tempos dos gregos clássicos como Arquimedes, Apolônio entre outros, já havia
estudos sobre essas curvas. No texto "Elementos de Euclides" (270 a.C.) tratavam de elipses, hipérboles e
parábolas ou, para usarmos o nome comum, seções cônicas. Estas são curvas obtidas quando um plano
intercepta um cone de revolução. Existe uma teoria completa das cônicas num tratado de Apolônio (
a.C.). Ele mostra, por exemplo, que uma elipse é o lugar descrito por um ponto que se movimenta de tal
modo que a soma de suas distâncias a dois pontos dados, os focos, permanecem constantes e também que
uma hipérbole é o lugar descrito por um ponto que se movimenta de tal modo que a diferença de suas
distâncias a dois pontos dados, os focos, permanecem constantes. Desde o tempo de Apolônio que as seções
cônicas têm contribuído para descobertas importantes na Física. Em 1604, Galileu descobriu que,
lançando-se um projétil horizontalmente do topo de uma torre, supondo que única força atuante seja a da
gravidade, sua trajetória é uma parábola Kepler (que era mais astrônomo e físico do que matemático)
descobriu por volta de 1610 que os planetas se movem em elipses com o sol num dos focos. Por volta de
1686, Newton provou em seu livro "Principia Mathematica" que isso pode ser deduzido da lei de gravitação
e das leis da Mecânica. A pedra angular da Mecânica Quântica é o teorema espectral para transformações
lineares auto-adjuntas, descendentes das seções cônicas. Nos resultados obtidos por Newton sobre o
movimento planetário, aparece a equação das cônicas em coordenadas polares. A hipérbole é utilizada no
estudo descritivo da expansão dos gases em motores a explosão. A parábola é a curva que descreve a
trajetória de um projétil, desprezando a resistência do ar. Aparece ainda na construção de espelhos
parabólicos, utilizados em faróis de automóveis e em antenas parabólicas.
Como vimos no pequeno histórico acima, as seções cônicas são curvas
planas obtidas da interseção de um plano com um cone de revolução. São elas: a
parábola, a elipse e a hipérbole. A circunferência não é considerada uma cônica,
apesar de poder ser obtida também por uma seção de um cone. Devido a sua
inquestionável importância na matemática, em particular na geometria, e em outras
ciências, estaremos também introduzindo o estudo da circunferência.
Circunferência
Parábola Hipérbole
Elipse
EXPRESSÃO GERAL DE UMA CÔNICA
As cônicas e a circunferência são figuras planas. Portanto, suas
representações serão realizadas no plano cartesiano (ℜ
2 ).
A expressão geral de uma cônica, exceto para a circunferência, é uma
equação do 2º grau da forma: Ax Bxy Cy Dx Ey F 0
2 2
O termo "xy" da equação geral das cônicas é chamado de "termo
retângulo". Quando a equação geral apresentar o termo retângulo, dizemos que a
equação é "degenerada". Quando a equação geral não apresentar o termo retângulo,
simplesmente chamares de equação geral. Geometricamente, a diferença entre a
equação geral e a equação geral degenerada está na posição da cônica em relação
aos eixos coordenados. Quando a equação geral é degenerada o eixo de simetria da
cônica é inclinado em relação aos eixos coordenados e quando a equação geral não é
degenerada o eixo de simetria da cônica é paralelo a um dos eixos coordenados.
Neste capítulo estaremos estudando somente as cônicas com equação
geral não degenerada. Posteriormente, quando introduzirmos o estudo de translação
e rotação de eixos estudaremos as cônicas com equação geral degenerada.
Como a equação geral das cônicas apresenta uma expressão semelhante
para todas, ou seja, Ax Bxy Cy Dx Ey F 0
2 2
- = , uma forma de identificar a
cônica através da sua equação geral é utilizar a seguinte classificação:
seB 4 AC 0 hipérbole
seB 4 AC 0 parábola
seB 4 AC 0 elipse
2
2
2
Por exemplo:
a) Se 5 x 6 xy 5 y 4 x 4 y 4 0
2 2
- − + − = ⇒ B 4 AC 6 4 5 5 64 0
2 2 − = − ⋅ ⋅ =− < ⇒ elipse.
b) Se x 2 xy y 2 x 4 y 3 0
2 2 − + + − + = ⇒ B 4 AC ( 2 ) 4 1 1 0
2 2 − = − − ⋅ ⋅ = ⇒ parábola.
c) Se 3 x 18 xy 3 y 24 2 x 24 0
2 2
- − = ⇒ B 4 AC 18 4 3 3 288 0
2 2 − = − ⋅ ⋅ = > ⇒
hipérbole.
Elipse de equação geral
não degenerada
x
y eixo de simetria
Elipse de equação geral
degenerada
x
y
eixo de simetria
Solução: Note a circunferência foi dada na forma da sua equação normal. Para
determinarmos o centro e o raio e necessário passar para forma reduzida,
completando os quadrados. Então:
x 4 x 4 4 y 6 y 9 9 3 0
(^2 ) (y 3 )
2
(x 2 )
2 − + − + + + − − =
− +
⇒ (x 2 ) (y 3 ) 16
2 2 − + + =. Agora na forma da
equação reduzida podemos ver que o centro é igual C(2,-3) e o raio é igual a r = 4.
Exemplo (2): Determine a equação reduzida da circunferência, sabendo-se que um
de seus diâmetros é o segmento de extremos A(1,3) e B(5,-3).
Solução: O diâmetro é o segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência
passando pelo centro e vale d = 2 r. Logo o centro C(m,n) da circunferência é ponto
médio do diâmetro. Então: ( 3 , 0 ) 2
C( m,n) =
=. A distância entre A e B é o
valor do diâmetro. Assim, d |AB| ( 5 1 ) ( 3 3 ) 2 13
2 2 = = − + − − = , logo 13 2
d r = =.
Portanto, a equação reduzida é (x 3 ) y 13
2 2 − + =.
2 ELIPSE
Definição: Dados dois pontos fixos F 1 e F 2 do plano, com F 1 F 2 = 2 c, chamamos de
elipse o lugar geométrico dos pontos deste plano, cuja soma das distâncias aos
pontos F 1 e F 2 é uma constante 2a>2c.
- C(m,n) é o centro;
- A 1 , A 2 , B 1 e B 2 são vértices;
- F 1 e F 2 são focos;
- A 1 A 2 = 2 aé o eixo maior;
- B 1 B 2 = 2 b é o eixo menor;
- F 1 F 2 = 2 c é a distância focal;
n
m
P
B 2
B 1
A 1 A 2
Oy
Ox
F 1 C F 2
a
c
b
O
- Relação notável para elipse: Do triângulo CB 1 F 2 vem que
2 2 2 a = b +c.
c e =. A excentricidade mede a abertura das cônicas, ou seja,
quanto mais "arredondada" ou "achatada" é a figura. Como, para elipse, c < a,
então 0 < e< 1. Assim, quanto mais próximo de 1 estiver a excentricidade, mais
achatada (alongada) é a elipse e, quanto mais próximo de zero, mais arredondada
ela será.
Seja P(x,y) um ponto qualquer da elipse. A distância do ponto P ao foco F 1
é dada por | F 1 P |e a distância do ponto P ao foco F 2 é dada por | F 2 P |. Portanto, pela
definição da elipse escrevemos a expressão | F 1 P |++++ |F 2 P|==== 2 achamada de equação
vetorial da elipse.
O desenvolvendo da equação vetorial resulta em outra expressão chamada
de equação reduzida da elipse. Vamos fazer este desenvolvimento.
Considere uma elipse de centro C( m,n), focos F 1 ( m− c,n) e F 2 (m+ c,n) e
eixo maior horizontal, ou seja, o eixo maior da elipse A 1 A 2 é paralelo ao eixo
coordenado Ox. Seja P( x,y) um ponto qualquer da elipse como mostra a figura
abaixo.
Temos que:
FP x (m c),y n FP (x m) c,y n
FP x (m c),y n FP (x m) c,y n
2 2
1 1 ⇒
[ ]
[ ]
2 2 2
(^22) 1
|FP| (x m) c (y n )
|FP| (x m) c (y n)
Como | F 1 P |+ |F 2 P|= 2 a ⇒ | F 1 P |= 2 a−|F 2 P|. Elevando ao quadrado ambos os lados
desta última igualdade vem que: ( )
2 2
2 | F 1 P| = 2 a−|FP| ⇒
2 2 2
2 2 | F 1 P |= 4 a − 4 a⋅|FP|+|FP| ⇒ | FP| |FP| 4 a 4 a|F 2 P|
2 2 2
2 1 −^ = − ⋅ ⇒
[( x m) c] (y n) [( x m) c] (y n) 4 a 4 a|F 2 P|
2
2 (^22)
2 (^2 ) = − ⋅
n
m
P
B 2
B 1
A 1 A 2
Oy
Ox
F 1 F 2
C
c
O
c
m-c xm+c
y
OBS: Em uma elipse, se a = b, temos que
2 2 2 a = b +c ⇒
2 2 2 2 2 a = b +c =a −a ⇒
c = 0. Fazendo a = b na equação reduzida vem que: 1 a
(y n)
a
(x m)
2
2
2
2
=
2 2 2 (x − m) +(y−n) =a , que é a equação de uma circunferência de raio R = a, ou
seja, a circunferência pode ser considerada uma elipse de excentricidade nula, pois,
a
a
c e = = =.
Desenvolvendo-se a equação reduzida da elipse obtém-se outra expressão
chamada de equação geral, a qual tem a forma x y x y 0
2 2 αααα ++++ββββ ++++γγγγ ++++θθθθ ++++φφφφ====. Vamos
fazer este desenvolvimento para o caso de uma elipse de eixo maior horizontal, cuja
equação reduzida é 1
b
(y n)
a
(x m)
2
2
2
2
=
. Multiplicando toda a equação por
2 2 ab
vem que:
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
a b b
ab (y n)
a
a b (x m)
2 2 2 2 2 2 b ⋅ (x−m) +a ⋅(y−n) =ab ⇒
2 2 2 2 2 2 2 2 b ⋅ (x − 2 mx+m )+a ⋅(y − 2 ny+n )=ab ⇒
b x 2 mb x b m a y 2 na y an a b 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − + + − + − = ⇒
b x a y 2 mb x 2 na y (an b m ab ) 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b x a y 2 mb x 2 na y (an b m ab ) 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
α β γ θ φ
, obtém-se a equação geral
da elipse x y x y 0
2 2 αααα ++++ββββ ++++γγγγ ++++θθθθ ++++φφφφ====.
Considere como na figura abaixo, uma elipse E de eixo maior horizontal,
com centro em C( m,n), com eixo maior A 1 A 2 = 2 a e eixo menor B 1 B 2 = 2 b, a
circunferência Ci com centro em C( m,n) e raio igual a "b", inscrita na elipse, a
circunferência Cc com centro em C( m,n) e raio igual a "a", circunscrita na elipse e
P( xE, yE )um ponto qualquer da elipse E.
Por P, traça-se uma paralela ao eixo Oy, que determina em Cc o ponto
R( xc ,yc ) e uma paralela ao eixo Ox, que determina em Ci o ponto M( xi ,yi). De
acordo com as equações paramétricas de uma circunferência tem-se:
= + ⋅ θ
= + ⋅ θ
y n b sen
x m b cos (I):
i
i e
= + ⋅ θ
= + ⋅ θ
y n a sen
x m a cos (II): c
c , 0 ≤ θ≤ 2 π.
Por outro lado, os pontos C, M e R são colineares. De fato:
m acos n asen 1
m bcos n bsen 1
m n 1
Equivalentemente, o segmento PM é paralelo ao eixo Ox. Dessa forma, xE = xc e
yE = y i, ou seja:
= + ⋅ θ
= + ⋅ θ
y n b sen
x m a cos (I): E
E , 0 ≤ θ≤ 2 π. Portanto, as equações
paramétricas da elipse são:
= + ⋅ θ
= + ⋅ θ
y n b sen
x m a cos
E
E , 0 ≤ θ≤ 2 π.
Analogamente podem ser determinadas as equações paramétricas de uma
elipse de eixo maior vertical. De uma forma geral temos:
Equações Paramétricas:
a) Elipse de eixo maior horizontal:
==== ++++ θθθθ
==== ++++ θθθθ
y n bsen
x m acos , 0 ≤≤≤≤ θθθθ≤≤≤≤ 2 ππππ
b) Elipse de eixo maior vertical:
==== ++++ θθθθ
==== ++++ θθθθ
y n asen
x m bcos , 0 ≤≤≤≤ θθθθ≤≤≤≤ 2 ππππ
OBS: É muito comum determinar as equações paramétricas fazendo a seguinte
identificação: da equação reduzida temos 1 b
y n
a
x m
2 2
^ =
. Usando a relação
fundamental da trigonometria cos sen 1
2 2
θ + θ= e, confrontando as duas expressões
teremos: a
x m cos
θ = ⇒ x = m+acosθ e b
y n sen
θ = ⇒ y = n+bsenθ.
Ox
Oy
R
m xE=xc
yE=yi
B 2
B 1
A 1
A 2
C
P
Q
M
N
n
θ
Cc
Ci
3 HIPÉRBOLE
Definição: Dados dois pontos fixos F 1 e F 2 de um plano, tais que F 1 F 2 = 2 c,
chamamos de hipérbole o lugar geométrico dos pontos do plano, cujo módulo da
diferença das distâncias aos pontos F 1 e F 2 é uma constante 2 a < 2 c.
Seus elementos são:
- C(m,n) é o centro;
- A 1 , A 2 são vértices;
- F 1 e F 2 são focos;
- A 1 A 2 = 2 aé o eixo real (ou eixo transverso);
- B 1 B 2 = 2 b é o eixo imaginário (ou eixo conjugado);
- F 1 F 2 = 2 c é a distância focal;
- Relação notável para elipse: Do triângulo CA 2 Q ⇒
2 2 2 c =a +b
c e =. Como, para hipérbole, a < c, então e > 1. Assim, quanto
mais próximo de 1 estiver à excentricidade, mais fechados são os ramos da
hipérbole e, mais abertos eles serão à medida que a excentricidade se afasta de 1.
- As retas (r 1 ) e (r 2 ) são chamadas de assíntotas. Elas são muito úteis no esboço da
hipérbole, norteando a abertura dos ramos, uma vez que, os ramos não
interceptam e nem tangenciam as assíntotas. Suas equações são determinadas
por: (x m) a
b (y − n)=± − para hipérbole de eixo real horizontal (eixo real A 1 A 2
paralelo ao eixo Ox) e (x m) b
a (y − n)=± − para hipérbole de eixo real vertical (eixo
real A 1 A 2 paralelo ao eixo Oy).
y
x
P
n
m
(r 1 )
F (^1) A 1 A 2 F 2
B 2
B 1
C a
c b
(r 2 )
Q
Seja P(x,y) um ponto qualquer da hipérbole. Pela definição temos que:
| F 1 P |−−−− |F 2 P|==== 2 aque é a equação vetorial da hipérbole.
A exemplo do que foi realizado com a elipse, o desenvolvimento da
equação vetorial resulta na equação reduzida. Então:
Equação reduzida:
a) Hipérbole de eixo real horizontal: 1
b
(y n)
a
(x m)
2
2
2
2
==== −−−−
b) Hipérbole de eixo real vertical: 1
a
(y n)
b
(x m)
2
2
2
2
====
O desenvolvimento da equação reduzida resulta na equação geral, ou
seja, uma equação da forma: x y x y 0
2 2 αααα ++++ββββ ++++γγγγ ++++θθθθ ++++φφφφ====.
Considere uma hipérbole de eixo real horizontal como na figura abaixo,
com centro em C( m,n), com eixo real A 1 A 2 = 2 a, imaginário B 1 B 2 = 2 b e distância
focal F 1 F 2 = 2 c. Traça-se uma circunferência C 1 com centro em C( m,n)e raio igual a
"c", a circunferência C 2 com centro em C( m,n)e raio igual a "a" e uma das assíntotas
(r 1 ).
A 1
A 2
C
m
n
hipérbole de eixo real vertical
A 1 A 2
m
n C
hipérbole de eixo real horizontal
Q
F 1
P
F 2
A 1 A 2
C a
c
y=b+n
n
m x=m+c
θ
(r 1 )
C 1 C 2
B 1
B 2
b
Assíntotas: (x 1 ) 4
(y + 2 )=± − Eq. paramétricas:
=− + θ
= + θ
y 2 3 tg
x 1 4 sec
Exemplo (6): O eixo real de uma hipérbole é vertical e suas assíntotas são as retas
(r 1 ) : 2 x+ y− 3 = 0 e (r 2 ): 2 x− y+ 3 = 0. Escreva sua equação reduzida sabendo-se
que ela passa pelo ponto P(0,7) e faça um esboço.
Solução: A interseção das assíntotas é o centro C(m,n). Resolvendo o sistema linear
2 x y 3 0
2 x y 3 0 , determinamos o centro C(0,3). Fazendo uma identificação com as
equações das assíntotas (x m) b
a (y − n)=± − e
y 2 x 3
y 2 x 3 , determinamos os
coeficientes angulares 2 b
a = ±. Dai, podemos escrever que a=2b. Como a hipérbole
passa pelo ponto P(4,6)=(x,y), então ele satisfaz a equação reduzida
a
(y n)
b
(x m)
2
2
2
2
.Logo: 1
( 2 b)
b
2
2
2
2
=
4 b
b
2 2
⇒ b = 2 e
a = 4. Portanto, a equação reduzida é 1 16
(y 3 )
4
x
2 2
4 PARÁBOLA
Definição: É o lugar geométrico dos pontos do plano, eqüidistantes de uma reta (d)
fixa e de um ponto fixo (F), não pertencente à reta (d).
A 1
A 2
C(0,3)
3
7
(r 1 ) (r 2 )
Q
O
2
p
m
(d)
P
V F
n
2
p
R
Os elementos da parábola são:
- Vértice: V(m,n)
- F: foco
- (d): reta diretriz
- A reta que passa por F e V é o eixo de simetria da parábola
- O segmento RF = p, onde p é chamado de parâmetro da parábola
- Os segmentos 2
p RV =VF=
Seja P(x,y) um ponto qualquer da parábola. Pela definição temos que:
| QP|====| FP |que é a equação vetorial.
O desenvolvimento da equação vetorial resulta na equação reduzida.
Considere uma parábola com eixo de simetria horizontal (paralelo ao eixo Ox) como
na figura abaixo. Então sua equação vetorial é | QP|=| FP|. Como P( x,y),
Q m− ,y 2
p e
F m+ ,n 2
p , vem que
QP = x−m+ , 0 2
p e
FP = x−m− ,y−n 2
p .
Assim: | QP|= |FP|⇒
2
2
2
p
2
2
p (x m) (x m) +(y−n)
= ^ − −
2
2
2
p
2
2
p (x m) (x m) +(y−n)
=^ − −
2 4
2 p 4
2 p (x m) (x m) p (x m) (x m) p (y n)
2 2 − + − ⋅ + = − − − ⋅ + + − ⇒
(y n) 2 p (x m )
2 − = ⋅ −. Que é a equação reduzida de uma parábola com eixo de
simetria horizontal.
Analogamente demonstra-se a equação reduzida de uma parábola com
eixo de simetria vertical (paralelo ao eixo Oy). Então:
Equação reduzida:
a) Parábola com eixo de simetria horizontal:
^
p Retadiretriz:x m
(y n) 2 p(x m)
2
Q
O
2
p
m
(d)
P
V^ F
n
2
p
R
2
p m + 2
p m − x
y
Equações Paramétricas:
a) Parábola com eixo de simetria horizontal: ≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ ππππ
==== ++++ θθ θθ
==== ++++ θθθθ
, 0 2
tg 2
p y n
tg 8
p x m
2
b) Parábola com eixo de simetria vertical: ≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ ππππ
==== ++++ θθθθ
==== ++++ θθθθ
, 0 2
cotg 8
p y n
cotg 2
p x m
2
Exemplo (7): Determine o vértice, foco e a reta diretriz da parábola y x 6 x 8
2 = − +.
Faça um esboço da parábola.
Solução: A equação dada está na forma normal e é de uma parábola de eixo vertical
com concavidade para cima. Vamos passar para forma reduzida, então:
y x 6 x 9 9 8
2 (x 3 )
2 = − + − +
−
⇒^ (x^3 )^1 (y^1 )
2 − = ⋅ +. Identificando com a equação
(x m) 2 p(y n )
2 − = − , temos que o vértice V(m,n) = (3,-1) e 2p = 1 ⇒ 4
p e 2
p = =.
Logo, o foco é F( m,n ) ( 3 , ) 4
3 2
p
- = − e a reta diretriz (d): 4
y = −^5.
Exemplo (8): O foco de uma parábola é o ponto F(4,3) e sua reta diretriz é (d):
x=2. Determine sua equação normal e as equações paramétricas.
Solução: Se a diretriz é a reta x = 2, então a parábola é de eixo horizontal. O vértice
V(m,n) é ponto médio do segmento QF que une a reta diretriz ao foco, logo V(3,3) e
o parâmetro p = 2. Como o foco está à direita da diretriz, sua concavidade é voltada
para a direita. Veja a figura abaixo. Desenvolvendo a equação reduzida obtemos a
equação normal:
(y n) 2 p(x m) (y 3 ) 4 (x 3 )
2 2 − = − ⇒ − = − ⇒ y 6 y 9 4 x 12
2 − + = − ⇒ 4
y 2
y 4
x
2 = − +
As equações paramétricas são:
= + θ
= + θ
tg 2
p y n
tg 8
p x m
2
= + θ
= + θ
y 3 tg
tg 4
x 3
2
4
−^3
4
−^5
F
V (d)
Exercícios Propostos
- Determine a equação normal da circunferência que tem centro sobre o eixo Ox e
na qual uma de suas cordas tem por extremo os pontos A(6,4) e B(3,-5).
Resp: x y 6 x 16 0
2 2
- Escrever a equação normal da circunferência que passa pelos pontos A(0,1),
B(1,2) e C(1,8). Resp: x y 6 x 10 y 9 0
2 2
- Um satélite em órbita elíptica e excentricidade 3
(^1) , viaja ao redor da Terra, situada
num dos focos da trajetória do satélite. Sabendo-se que a distância mais próxima
do satélite a Terra é de 300 Km, calcular a maior distância. Resp: 600 Km
- Dada a elipse de equações paramétricas
= + θ
= + θ
y 2 3 sen
x 3 5 cos , determine a interseção
dela com a reta 5
3 x 14 (r ):y
=. Resp: A(8,2) e B(3,-1)
- Uma hipérbole eqüilátera é aquela em que b = a. Determine a equação reduzida e
as equações paramétricas de uma hipérbole eqüilátera de focos F 1 (-4,0) e F 2 (4,0).
Resp:
= θ
= θ
x 2 2 sec x y 8 e
2 2
- Mostre que a equação 4 x y E
2 2 − = , sendo E ∈ℜ e E ≠ 0 , representa uma família
de hipérboles de excentricidade constante igual a 5.
- Determine o parâmetro, o foco, o vértice, a reta diretriz da parábola de equação
y 12 x
2 =. Resp: p = 6 ,V( 0 , 0 ),F( 3 , 0 )e(d):x=− 3
- Determine o parâmetro, o vértice, o foco e a reta diretriz da parábola
y x 2 x 3
2 = − + +. Resp: 2
,V( 1 , 4 ),F( 1 , )e(d):y^9 2
p 1 2
=^7 =
Q
p
(d)
V F
